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Exercices – TS – limites de fonctions Exercice 1 Déterminer dans chacun des cas la limite demandée
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29 jan 2010 · Quatre exercices utilisant les développements limités : exercice 1 : calculs classiques exercice 2 : limites exercice 3 : primitive exercice
Comment maîtriser les limites ?
Le plus simple est de prendre un exemple : la fonction inverse : On voit bien que quand x tend vers +?, la fonction « tend » vers 0, c'est-à-dire qu'elle se rapproche de plus en plus de 0 sans jamais la toucher. Et bien on appelle cela une limite, puisque la fonction « tend vers » quelque chose.Comment comprendre limite et continuité ?
Alors f admet une limite (à gauche) en b . Soit f:I?R f : I ? R une fonction et a?I a ? I . On dit que f est continue en a si f admet pour limite f(a) en a : ??>0, ??>0, ?x?I, x?a<??f(x)?f(a)<?.Comment trouver l'asymptote d'une fonction ?
Pour obtenir une asymptote horizontale, on étudie une fonction en plus l'infini ou moins l'infini et quand cette fonction tend vers un chiffre. Pour l'asymptote verticale, on étudie la limite d'une fonction depuis un point précis, dans cet exemple 2+ et 2- .- Pour lever une indétermination, il existe de nombreuses techniques, par exemple via des procédés algébriques (factorisation, multiplication par la quantité conjuguée, etc.) ou des procédés analytiques (utilisation de la dérivée, de développements limités, de la règle de L'Hôpital, etc.).
On note
sa courbe représentative dans un repère orthonormal.1° a) Calculer la limite en ∞. Interpréter graphiquement.
b) Etudier la position de la courbe par rapport à la droite D d"équation 3. ☺ On calculera 3, puis on étudiera le signe de 3.2° a) Déterminer la dérivée, et montrer que
b) Etudier le signe de ′3° Dresser le tableau de variations complet de la fonction .
Ex3 : On donne le tableau de variation d"une fonction définie sur 1;∞De plus, on sait :
coupe l"axe des abscisses en deux points d"abscisse 2 et 5La droite d"équation 6 est asymptote à
en ∞.Tracer les asymptotes et une courbe possible
1 3
0 1Ex4 : (d"après ex171p90)
Soit la fonction définie sur 2;∞ par
2 4 21° Montrer que la droite D d"équation 2 est une asymptote oblique à la courbe
représentative de la fonction2° Etudier la position de par rapport à .
3° Démontrer que "#$
Que peut-on en déduire pour la courbe
4° Compléter la figure avec les asymptotes.
5° On donne
a) Calculer ′ pour ∈ 2;∞ et retrouver le résultat donné par un logiciel de calcul formel. b) Etudier le signe de ′6° Dresser le tableau de variation complet.
Ex2 : On donne la courbe de deux fonctions et définies sur ∞;3∪3;∞ .Par lecture graphique, déterminer les limites aux bornes ouvertes de l"ensemble de définition, puis dresser le tableau
de variation. Préciser les éventuelles asymptotes.Limites :
10; "#$→' 1Asymptotes :
la droite d"équation 1 en ∞et en ∞; la droite d"équation 3Tableau de variations :
∞ 3 ∞1 1
2°Limites : "#$
0; "#$→'Asymptotes : la droite d"équation 0 en ∞; la droite d"équation 3 en ∞; la droite d"équation 3
Tableau de variations :
∞ 3 4 ∞ 0 + 0 2 Ex2 : On considère la fonction définie sur 0; +∞[ par : =3 + 4 + 3 + 11° a) Calculer les limites en +∞. Interpréter graphiquement.
est une fonction rationnelle,3+ 4 + 3
+ 1= "#$→' 3 = "#$→'3 = 3 Ainsi = 3 et la droite d"équation = 3 est asymptote à (en +∞) b) Etudier la position de la courbe )* par rapport à la droite D d"équation + = ,.On calcule :
- 3 =3 + 4 + 3 + 1- 3 =3 + 4 + 3 - 3 + 1 + 1=4 + 1On étudie le signe :
0 +∞ 4²+1
0 +
-3 0 + D"où est au-dessus de D sur ]0 ; +∞[ coupe D au point d"abscisse 02° Dérivée :
Pour ∈ [0 ; +∞[ = 3² + 4 + 3 . = 6 + 4 = ² + 1 / = 26 + 4×
+ 1- 2 ×3+ 4 + 3
+ 1 6 (+ 4+ 6 + 4 - 6(- 8- 6 + 1=-4 + 4 + 1De plus 4
1 -1 + = 4
1 + - -
= 41 - = 4 - 4²
D"où
=4 1 - 1 + + 1²2° b) Signe de *′
2 0 1 ∞ 4 1 1 1² + 03° Tableau de variation de la fonction *
0 1 ∞ + 0 53 3
Ex3 : On donne le tableau de variation d"une fonction définie sur 1;∞De plus, on sait que :
coupe l"axe des abscisses en deux points d"abscisse 2 et 5La droite d"équation 6 est asymptote à
en ∞.Tracer les asymptotes et une courbe possible
1 3 ∞ 0 1 Ex4 : (d"après ex171p90) Soit la fonction définie sur 2;∞ par 2 4 21° Démontrer que la courbe
admet une asymptote oblique dont on donnera une équation.Ecart :
242
Limite en ∞ de l"écart :
2 ∞3456 "#$→' 4 2 0 →'7 28 0Ainsi la droite d"équation 2 est asymptote oblique à
2° Etudier la position de
par rapport à . 2 ∞ 4 22 || +
Ainsi, la courbe est au-dessus de la droite
3° Démontrer que 9:;
2→<*
2 ∞ .
Que peut-on en déduire pour la courbe
2 0>?3456 "#$→@4 2 ∞ 2 4D"où "#$
→@A 2B ∞
Ainsi "#$
∞ et la droite D d"équation 2 est asymptote à .4° Compléter la figure avec les asymptotes.
5° a) Calculer ′
pour ∈] - 2 ;+∞[ et retrouver le résultat donné par un logiciel de calcul formel. b) Etudier le signe de ′6° Dresser le tableau de variation complet.
5° a) dérivée
Pour ∈] - 2 ;+∞[
= 1 - 4 ×-1 + 2 = 1 -4 + 2 + 2 - 4 + 2 + 2 + 2- 4 + 2 + 4 + 2 + 4 + 2 b) signe de ′ -2 0 +∞ +4 +2)² || - 0 +6° tableau de variation
-2 0 +∞ - 0 + 0Exercice supplémentaire
Soit la fonction définie sur 1 ;+∞[ par
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