[PDF] GUIDE MATHEMATIQUES 4èm
Les élèves n'ont pas les propriétés nécessaires pour résoudre les exercices 11 et 12 du livre Faso math 4e page 29. VI-EXERCICE COMPLEMENTAIRE. Exercice a)
La résolution de problèmes mathématiques au collège
Cet exercice peut être proposé en fin de cycle 4 (4e ou 3e). Il demande peu L'algèbre est ainsi constitutive des mathématiques qui furent élaborées non ...
3ème Révisions de 4ème – Développements – Factorisations
Exercice 1. Développer les expressions suivantes : A = 5 (3x + 2). B = -3 (2x – 5). C = 5x (-3x + 2). D = -4 (5x - 2). Exercice 2. Développer puis réduire les
[PDF] Algèbre - Exo7 - Cours de mathématiques
quatrième point. Le terme général de (α+β)A est égal à (α+β)ai j. D'après les ... exercices. 1. Résoudre ce système linéaire en fonction du paramètre t ...
Exercices sur les puissances
Exercice n°1 : Q.C.M. : Pour chaque ligne indiquer la ou les réponses exactes. REPONSES. A. B. C. JUSTIFICATION. N°1. « 3 puissance 4 s'écrit ».
Exercices de mathématiques - Exo7
algèbre de parties E si les conditions suivantes sont vérifiées: • A n'est ... quatrième réelle. Correction ▽. [000042]. Exercice 523. Trouver les racines ...
mathématiques au cycle 4 - motivation engagement
https://maths.ac-creteil.fr/IMG/pdf/brochure_cyc60fb.pdf
Mathématiques : du lycée aux CPGE scientifiques
En particulier les exercices de niveau 4 et 5 dépassent souvent de loin les attendus de terminale. 1. Les rappels de cours sont assez hétérogènes; ils sont
Calcul littéral exercices corrigés pdf
Pour tous les curieux et les bons esprits éveillés : Voici un nouveau blog sur les innovations écologiques : Des exercices de maths en quatrième (4ème) sur le.
Algèbre - Cours de première année
ALGÈBRE. COURS DE MATHÉMATIQUES. PREMIÈRE ANNÉE. Exo7 activement par vous-même des exercices sans regarder les solutions.
Exercices de mathématiques - Exo7
Exercice 4. Soit f une application de R dans R. Nier de la manière la plus précise possible
Mise en page 1
o commentaires sur les exercices du livre Faso-Math 4e ; o Exercice(s) complémentaire(s). Le professeur saisira toutes les occasions comme ça été le cas en
ALGEBRE LINEAIRE Cours et exercices
22 mai 2014 Montrer que toute matrice réelle symétrique d'ordre 2 est diagonalisable. Exercice 4. Pour quelles valeurs des paramètres réels a b
LALGÈBRE LINÉAIRE POUR TOUS
tiques qu'en faisant des exercices c'est-à-dire en triturant les objets mathématiques dans notre cerveau pour bien en digérer les contours.
Exercices de mathématiques - Exo7
P(0) = 1 et P(1) = 0 et P(?1) = ?2 et P(2) = 4. Correction ?. Vidéo ?. [000427]. 2 Division pgcd. Exercice
Exercices sur La proportionnalité
Calcul d'une quatrième proportionnelle. Exercice n°3 : Dans un immeuble les charges payées sont proportionnelles à la surface au sol de la propriété pour.
ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE
I. Les matrices et abrégé d'algèbre linéaire Exercice 1. ... L'article de Fabio Acerbi du site Image des mathématiques1 présente.
Mathématiques financières EXERCICES CORRIGES
près). Soit un écart de -14% environ par rapport au calcul du 1°). Exercice 2 : La société MIXE remet à 30 jours de l'échéance un effet à l'escompte d'une
Racine carrée - Exercices corrigés
EXERCICES CORRIGES. Les carrés parfaits : ( sauf 1 ). 4 9
Exercices de maths en 4ème à télécharger en PDF
Exercices de maths 4ème corrigés et à télécharger gratuitement en PDF sur les nombres relatifs les fractions le théorème de Pythagore
Maths en 4ème : cours et exercices corrigés en PDF à imprimer
Le site web maths- pdf propose des exercices et des cours sur ces différents sujets adaptés aux élèves de 4ème Ces exercices et ces cours leur permettent de
EXERCICES CORRIGES DE MATHEMATIQUES DE 4ème - Toupty
Exercices de math pour la 4ème avec corrigés Exercices sur les fractions le calcul littéral la géométrie les puissances et l'écriture scientifique
Exercices de maths en 4ème corrigés à télécharger en PDF
Exercices de maths en 4ème corrigés à télécharger en PDF · Les nombres relatifs · Le théorème de Pythagore · Les fractions · Les puissances · Le calcul littéral · La
[PDF] Cours et TD de 4eme - •••> Les Mathématiques
Exercice ? (dans ton cahier) Nicolas veut repeindre un des murs de son salon Ce mur a la forme d'un rectangle de longueur m et de largeur m
4e - maths et tiques
Cours et exercices - Niveau QUATRIÈME CONFORME AUX PROGRAMMES ET AUX REPÈRES ANNUELS DE EXERCICES CORRIGÉS Pour s'entraîner Chapitre 3 : WORD · PDF
[PDF] Exercices sur les puissances
Exercice n°1 : Q C M : Pour chaque ligne indiquer la ou les réponses exactes REPONSES A B C JUSTIFICATION N°1 « 3 puissance 4 s'écrit »
[PDF] [PDF] GUIDE MATHEMATIQUES 4èm
o commentaires sur les exercices du livre Faso-Math 4e ; o Exercice(s) complémentaire(s) Le professeur saisira toutes les occasions comme ça été le cas en
Exercices de maths de niveau quatrième
Les exercices mathématiques niveau quatrième : équations du premier degré calcul numériquethéorème de Pythagore
[PDF] 4eme_mathematiques_courspdf - Cours Pi
2) un cahier sur lequel vous traiterez les exercices en apportant du soin à Ce Cours de Mathématiques 4ème est strictement conforme aux tout derniers
Où trouver les corrigés sur Maths PDF ?
Maths-pdf.fr est un site web qui propose une large gamme de documents PDF gratuits et téléchargeables consacrés aux mathématiques. Le site propose des fiches de cours, des exercices, des corrigés, des annales et des livres de mathématiques pour les élèves de tous les niveaux, de l'école primaire au lycée en France.Comment être bon en maths en 4eme ?
1Ne pas apprendre, comprendre La première chose à faire, je pense, pour devenir bon en maths est de ne pas apprendre les maths, mais de les comprendre 2Faire des exercices. Le 2ème point consiste à faire des exercices. 3Ne pas regarder les solutions. 4Essayer de tout redémontrer. 5Une vidéo pour résumer.Quel est le programme de mathématiques en 4e ?
calcul littéral : calcul d'expression littérale en utilisant des variables numériques, comparer les nombres relatifs, équation de 1er degré avec une inconnue. Traiter les données : calcul d'une moyenne, d'une médiane et d'une étendue. Calcul des effectifs et des fréquences. représenter graphiquement des données.Développer une expression littérale ou numérique, c'est transformer un produit en somme ou différence.
1Exemple 1 : Développer A = 4 × 12 C'est un produit de 4 par 12. 2Exemple 2 : Développer B = 4 × ( 6 + 2 x ) C'est un produit de 4 par (6+2x) 3Exemple 3 : Développer A = 4 × ( 6 + 2 ) C'est un produit de 4 par (6+2x)
Filière ingénieur
3ème année de pharmacie
ALGEBRE LINEAIRE
Cours et exercices
L. Brandolese
M-A. Dronne
Cours d"algèbre linéaire
1. Espaces vectoriels
2. Applications linéaires
3. Matrices
4. Déterminants
5. Diagonalisation
1Chapitre 1
Espaces vectoriels
1. Définition
Soit K un corps commutatif (K = R ou C)
Soit E un ensemble dont les éléments seront appelés des vecteurs. On munit E de : · la loi interne " + » (addition vectorielle) : E)yx(,E)y,x(2Î+Î" · la loi externe " . » (multiplication par un scalaire) :E)x.( K,λE,xÎlÎ"Î"
(E, +, .) est un espace vectoriel (ev) sur K (K-ev) si :1) (E,+) est un groupe commutatif
· l"addition est associative : )zy(xz)yx(,E)z,y,x(3++=++Î"· l"addition est commutative :
xyy x,E)y,x(2+=+Î"· Il existe un élément neutre
E0EÎ tq x0 xE,xE=+Î"
E0x"x"x x tqE x"! E,x=+=+Î$Î" (x" est appelé l"opposé de x et se note (-x))2) la loi externe doit vérifier :
2E)y,x( K,λÎ"Î",y.x.)yx.(l+l=+l
Ex ,K),λ(2
21Î"Îl",x.x.x).(2121l+l=l+l
Ex ,K),λ(2
21Î"Îl",x)..()x..(2121ll=ll
x1.x E,x=Î"Propriétés :
Si E est un K-ev, on a :
1)KλE,xÎ"Î",
EE0ou x0λ0λ.x
2) )x.()x.(x).(-l=l-=l-Exemple :
Soit K = R et E = Rn. (Rn,+, . ) est un R-ev
1) loi interne :
)x..., ,x,(x x,Rxn21n=Î" et )y..., ,y,(yy ,Ryn21n=Î" )yx..., ,yx,y(xyxnn2211+++=+2) loi externe :
)x..., ,x,x(.x : R ,Rxn21nlll=lÎl"Î" 22. Sous espace vectoriel (sev)
Définition :
Soit E un K-ev et
EFÌ. F est un sev si :
· F ¹ AE
· la loi interne " + » est stable dans F :
F)yx(,F)y,x(2Î+Î"
· la loi externe " . » est stable dans F :
F)x.( K,λF,xÎlÎ"Î"
Remarque : Si E est un K-ev, {}E0 et E sont 2 sev de EExercice 1 :
Soit E l"ensemble défini par {}0xx2x/R)x,x,x(E3213321=-+Î=
Montrer que E est un sev de R
3Exercice 2 :
Soit E un ev sur K et F
1 et F2 deux sev de E. Montrer que 21FFI est un sev de E
3. Somme de 2 sev
Théorème :
Soit F
1 et F2 deux sev de E. On appelle somme des sev F1 et F2 l"ensemble noté (F1 + F2) défini par :
{}2121Fyet Fy / xxFFÎÎ+=+On peut montrer que F1 + F2 est un sev de E
Somme directe de sev :
Définition :
On appelle somme directe la somme notée F
1 + F2
E2121210FFFFFFFF
I Remarque : Si F = E, on dit que F1 et F2 sont supplémentairesPropriété :
F = F1 + F2 ssi FzÎ", z s"écrit de manière unique sous la forme z = x + y avec 1FxÎ et 2FyÎ
Exercice 3 :
{}R xavec ,0,0)(xF111Î= et {}232322R)x,(x avec )x,x(0,FÎ=
Montrer que F
1 et F2 sont supplémentaires de R3 c"est-à-dire F1 + F2 = R3
34. Combinaisons linéaires, familles libres, liées et génératrices
Définition :
Soit E un K-ev et
{}IiixÎ une famille d"éléments de E. On appelle combinaison linéaire de la famille {}IiixÎ, l"expression ∑ ÎlIiiix avec KiÎl
Définition :
On dit que la famille
{}IiixÎ est libre si Ii 00xiEIiiiÎ"=l⇒=l∑Définition :
On dit que la famille
{}IiixÎ est liée si elle n"est pas libre : ()()EIiiip10xλ tq0,...,0,...,=¹ll$∑Définition :
On appelle famille génératrice de E une famille telle que tout élément de E est une combinaison
linéaire de cette famille : ()∑IiiiIiixλ x tqλ ,Ex
Définition :
On dit que la famille
{}IiixÎ est une base de E si {}IiixÎ est une famille libre et génératricePropriété :
On dit que la famille
{}IiixÎ est une base de E ssi ExÎ", x s"écrit de manière unique ∑Iiiixλx
Démonstration (1) ⇒ (2) (D1)
Exercice 4 :
Soit 21R)0,1(eÎ= et 2
2R)1,0(eÎ=. La famille {}21e,e est-elle une base ?
Remarque :
La famille {}n21e,...,e,e avec )1,...,0,0(e),...,0,...,1,0(e),0,...,0,1(en21=== constitue la base canonique
de RnPropriétés :
{}x est une famille libre 0x¹Û · Toute famille contenant une famille génératrice est génératrice · Toute sous-famille d"une famille libre est libre · Toute famille contenant une famille liée est liée· Toute famille
{}p21v,...,v,v dont l"un des vecteurs vi est nul, est liée 45. Espace vectoriel de dimension finie
Définitions :
· Soit {}IiixÎ une famille S d"éléments de E. On appelle cardinal de S le nombre d"éléments de S
· E est un ev de dimension finie si E admet une famille génératrice de cardinal fini.Théorème :
Toutes les bases d"un même ev E ont le même cardinal. Ce nombre commun est appelé la dimension
de E. On note dimECorollaire :
Dans un ev de dimension n, on a :
- Toute famille libre a au plus n éléments - Toute famille génératrice a au moins n élémentsRemarque : si dimE = n, pour montrer qu"une famille de n éléments est une base de E, il suffit de
montrer qu"elle est libre ou bien génératrice.Exercice 5 :
Dans R
3, soit e1= (1,0,0), e2= (1,0,1) et e3= (0,1,2)
Montrer que
{}321e,e,e est une base de R3Théorème de la base incomplète :
Soit E un ev de dimension finie et L une famille libre de E. Alors il existe une base B de cardinal fini
qui contient L.6. Caractérisation des sev de dimension finie
Proposition :
Soit E un K-ev de dimension n et F un sev de E :
EdimFdim£
EFEdimFdim=Û=
6.1. Coordonnées d"un vecteur
Définition :
Soit E un K-ev de dimension n et
{}n1x,...,xB= une base de E (c"est-à-dire ExÎ", x s"écrit de manière unique =l= n 1i iixx), les scalaires l1, ...,ln sont appelés les coordonnées de x dans la base B. 56.2. Rang d"une famille de vecteurs. Sous-espaces engendrés
Définition :
Soit {}p1x,...,xG= Le sev F des combinaisons linéaires des vecteurs x1, ..., xp est appelé sous-espace engendré par G et
se note : {}p1x,...,xVectVectGF== =p 1ip p1iiR)λ,...,(λ avec xλx/ExF Remarque : {}{}p1p1x,...,xx,...,xVectFÛ= est une famille génératrice de FDéfinition :
La dimension de F s"appelle le rang de la famille G : dimF = rgGPropriétés : Soit {}p1x,...,xG=
prgG£Û=prgG G est libre
· On ne change pas le rang d"une famille de vecteurs : - en ajoutant à l"un d"eux une combinaison linéaire des autres - en multipliant l"un d"eux par un scalaire non nul - en changeant l"ordre des vecteurs6.3. Détermination du rang d"une famille de vecteurs
Théorème :
Soit E un K-ev de dimension finie n et
{}n1e,...,eB= une base de E. Si {}p1x,...,x est une famille d"éléments de E (np£) telle que les xi s"écrivent ∑ =a= n 1j ji,jiex avec0i,i¹a et 0i,j=a pour j < i, alors {}p1x,...,x est libre.
Application : Méthode des zéros échelonnésSoit E un ev de dimension finie n et
{}n1e,...,eB= une base de EPour déterminer le rang d"une famille
{}p1x,...,xG= avec np£ :1) On écrit sur p colonnes et n lignes les vecteurs x
1,...,xp dans la base B
2) En utilisant les propriétés relatives au rang d"une famille de vecteurs, on se ramène à la disposition
du théorème précédent. 6Exercice 6 :
Déterminer le rang de la famille
{}321a,a,a avec a1 = (1,4,7), a2 = (2,5,8), a3 = (3,6,1)6.4. Existence de sous-espaces supplémentaires en dimension finie, bases et sous-espaces
supplémentairesPropositions :
Soit E un K-ev de dimension finie n
1) Tout sev F admet au moins un sous-espace supplémentaire, c"est-à-dire qu"il existe un sev G tq
E = F + G
2) Soit F ¹ AE et G ¹ AE deux sev de E et soit B
1 une base de F et B2 une base de G
La famille
{}21B,B est une base ssi E = F + G3) Soit G et G" deux sous-espaces supplémentaires de F dans E, alors G et G" ont la même
dimension : dimG = dimG" = dimE - dimF6.5. Caractérisation des sous-espaces supplémentaires par la dimension
Corollaire :
Soit E un K-ev de dimension finie
F + G = E ssi
GdimFdimEdim0GF
EI6.6. Dimension d"une somme de sev
⇒ Formule de GrassmanProposition :
Soit E un K-ev de dimension finie et F et G deux sev de E, alors : )GFdim(GdimFdim)GFdim(I-+=+ 7Chapitre 2
Applications linéaires
Définitions : Soit f une application quelconque de E dans F :1) f est injective si
yx)y(f)x(f,E)y,x(2=⇒=Î" (équivaut à :)y(f)x(fyx,E)y,x(2¹⇒¹Î")2) f est surjective si f(x)y tqExF,y=Î$Î"
3) f est bijective ssi f est injective et surjective : f(x)y tqEx!F,y=Î$Î"
1. Définition d"une application linéaire
Soit E et F deux K-ev (K = R ou C) et f une application de E dans F.On dit que f est linéaire ssi
22K),(et Ey)(x,Îml"Î", )y(f)x(f)yx(fm+l=m+l
Remarques :
1) f : E ® F est une application linéaire ssi :
)x(f)x(f K,λet Exl=lÎ"Î" )y(f)x(f)yx(f,Ey)(x,2+=+Î"2) f(0
E) = 0F
Démonstration de la remarque 2 (D1)
2. Image et noyau d"une application linéaire
Soit f une application linéaire de E dans F
1) On appelle image de f et on note Im(f) le sous-ensemble de F défini par :
{}y)x(f,Ex/Fy)fIm(=Î$Î=2) On appelle noyau de f et on note Ker(f) le sous-ensemble de E défini par :
{}F0)x(f/Ex)f(Ker=Î=Théorème :
Im(f) est un sev de F
Ker(f) est un sev de E
Démonstration (D2)
Théorème :
Soit f une application linéaire de E dans F.
f est injective ssi {}E0)f(Ker=Démonstration (D3)
8Théorème : f est surjective ssi Im(f) = F
Démonstration (D4)
Définitions :
1) Une application linéaire f de E dans F est un homomorphisme de E dans F.
2) Si f est un homomorphisme bijectif de E dans F, alors f -1 est linéaire et f est un isomorphisme de E
dans F.3) Si E = F, f est un endomorphisme de E.
4) Si f est un endomorphisme bijectif, f est un automorphisme.
Notations :
£(E,F) est l"ensemble des applications linéaires ( = homomorphismes) de E dans F.£(E) est l"ensemble des endomorphismes de E.
3. Applications linéaires en dimension finie
3.1. Propriétés
Soit f une application linéaire de E dans F avec dimE = n · f est injective ssi f transforme toute base de E en une famille libre de F · f est surjective ssi l"image de toute base de E est une famille génératrice de F · f est bijective ssi l"image de toute base de E est une base de F Démonstration de la 1ère propriété (D5)3.2. Rang d"une application linéaire
Définition :
Le rang d"une application linéaire f est égal à la dimension de Im(f) : )fdim(Im)f(rg=Propriétés :
1) on a toujours
Edim)f(rg£
2) f est surjective ssi rg(f) = dimF
3) f est injective ssi rg(f) = dimE
4) f est bijective ssi rg(f) = dimE = dimF
Remarque : Si f est un endomorphisme de E, alors : bijective fsurjective finjective fÛÛ4. Théorème fondamental :
Soit f une application linéaire de E dans F avec dimE = n, alors Edim)Kerfdim()f(Imimd=+Remarque : ce n"est vrai qu"en dimension finie !
9Chapitre 3
Matrices
1. Définitions
On appelle matrice de type (n,p) à coefficients dans K, un tableau de n.p éléments de K rangés sur n
lignes et p colonnes : AEn abrégé, on note
()pj1et n i1ijaA££££=On désigne par M
n,p(K) l"ensemble des matrices à coefficients dans K, à n lignes et p colonnes.Cas particuliers :
· Si n = p, on dit que la matrice est carrée · Si n = 1, M1,p est l"ensemble des matrices lignes · Si p = 1, Mn,1 est l"ensemble des matrices colonnes· Si les coefficients sont tq aij = 0 pour i > j, on dit que la matrice est triangulaire supérieure
2. Matrice associée à une application linéaire
Soit E et F deux ev de dimensions finies p et n respectivement Soit {}p1e,...,eB= une base de E et {}n1"e,...,"e"B= une base de F SoitÎf £(E,F) et on pose ∑
n 1i iijj"ea)e(f (donc nnj2j21j1j"ea..."ea"ea)e(f+++=)On définit une matrice
()pj1et n i1ijaM££££= )e(f...)e(f)e(fp21 n2 1 np2n1np22221p11211"e..."e"e a...aa............a...aaa...aaM
M est appelée la matrice associée à f dans les bases B et B". On la note MBB"(f). Remarque : la matrice d"une application linéaire dépend des bases choisies (B et B") 10Exercice 1 :
Soit f : R
3 ® R3
())x x, x2x x, xx(2xx,x,x21321321321+++++® ())x x, x2x x, xx(2xx,x,xf21321321321+++++=1) Montrer que f est un endomorphisme de R
3 (c"est-à-dire Îf £(R3))
2) Déterminer la matrice associée à f dans la base canonique de R
3Exercice 2 :
Soit f une application linéaire de R
3 dans R2
Soit B et B" les bases canoniques de R3 et R2
La matrice associée à f dans les bases B et B" est : Î011001)f(M"BB M2,3(R)
Déterminer l"expression analytique de f
Théorème :
L"application qui à
Îf £(E,F) fait correspondre MBB"(f) est bijective.3. Opérations sur les matrices
3.1. Addition interne et multiplication externe
Soit ()Î=ijaA Mn,p(R) et ()Î=ijbB Mn,p(R)
Alors ()Î+=+ijijbaBA Mn,p(R) Et, ()Îl=Îl"ijaλA R, Mn,p(R)Exemples :
132200011
A et1011214010
B0313014001
BA et264400022
A23.2. Produit de deux matrices
Soit E, F, G trois K-ev de bases respectives {}n1e,...,eB=, {}m1"e,...,"e"B= et {}p1""e,...,""e""B= f : E ® F de matrice associée MBB"(f) Î Mm,n
11 g : F ® G de matrice associée MB"B""(g) Î Mp,m ()Îf o g£(E,G), on détermine la matrice associée de cette application linéaire : m 1j jjim 1j jjiii)"e(ga"eag))e(f(g)f)(e o (g∑∑∑∑ m 1jp 1k kjikjkp 1k kjm 1j ji""eab""ebaOn pose
m 1j jikjkiabc Donc kp 1k kii""ec)e(f) o (g∑La matrice associée à
()f o g est ()Îf o gM""BB Mp,nRemarque :
Pour que le produit existe, il faut que l"on ait M p,m x Mm,n = Mp,nEn pratique : ())f(M)g(Mf o gM"BB""B"B""BB´=
( )nmmii2 i11...a...............a......a...
3 npki mpkm2k1k2M ............c............ ............b...bb............ M=Exemple :
( )32012001A´ et ( )23121001B´
Calcul de
BA´ :
( )221201BA´Remarque : ABBA´¹´
Dans le cas précédent
δBAM2,2 et δAB M3,3
Donc (A + B)2 = A2 +AB + BA +B2
123.3. Propriétés
Si les produits sont définis :
C)BA()CB(A´´=´´
)CA()BA()CB(A´+´=+´ )AC()AB(A)CB(´+´=´+quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14[PDF] exercices maths arithmétique 3eme
[PDF] exercices maths avant prépa
[PDF] exercices maths bac pro
[PDF] exercices maths bac pro agricole
[PDF] exercices maths bac s
[PDF] exercices maths bcpst 1
[PDF] exercices maths bilan 6eme
[PDF] exercices maths bl
[PDF] exercices maths brevet
[PDF] exercices maths bts
[PDF] exercices maths bts cg
[PDF] exercices maths ce1 lutin bazar
[PDF] exercices maths ce1 nombres 0 à 20
[PDF] exercices maths ce1 période 4