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PSY 1004 Techniques d'analyses en psychologie

La lecture d'une table statistique 1

Annexe 3 : La lecture d'une table statistique

0.0.

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L'objectif de ce document est d'indiquer comment lire les valeurs tabulées dans les Tables 1 à 5 du cours. Chacune de ces tables présentes le même type d'information, mais toutes sous des formats différents. De plus, certaines tables sont disponibles pour plusieurs seuils de décision alors que d'autres ne sont disponibles que pour un seul seuil. À la fin de chaque section, plusieurs exemples résolus sont présents. Dans ce qui suit, on utilise le mot "événement " dans un sens très large comme étant le résultat d'une observation, le constat d'une situation ou encore pour dénoter une valeur possible. Deux principes vont revenir souvent dans la suite. a.

La probabilité de l'événement inverse

Lorsque l'on connaît la probabilité qu'un événement se produise, on connaît immédiatement la probabilité que l'événement ne se produise pas. Dans un monde idé al, soit

un événement a lieu, soit il n'a pas lieu. Il n'y a pas d'entre deux. Par exemple, un chandail est

bleu ou il n'est pas bleu. Une équipe gagne un match ou ne gagne pas le match. Puisque la probabilité qu'il y ait quelque chose doit totaliser 100%, il s'ensuit que la probabilité de

l'événement et de l'événement inverse doit totaliser 100%. Par exemple, si la probabilité que je

porte du vert aujourd'hui est de 80%, il reste une probabilité de 20% que je ne porte pas du vert aujourd'hui. Si je connais une probabilité (disons x%), je peux calculer l'autre avec la formule 100% - x%. Notons que 100% vaut la même chose que 1, et que, par exemple, 80% vaut la même chose que 0.80. Donc, la probabilité inverse peut aussi se calculer 1 - 0.80. b. La probabilité d'événements disjoints Si on considère différents événements tous mutuellement exclusifs, comme avoir les cheveux blonds, avoir les cheveux bruns et avoir les cheveux verts. Ces événements sont disjoints en ce sens qu'on ne peut pas avoir les cheveux blonds et verts simultanément. S'il existe une probabilité assignée à chacune de ces situations, on peut connaître la probabilité d'être dans n'importe laquelle de ces situ ations en additionnant les probabilités des événements individuels. Par exemple, si les probabilités sont d e 15%, 65%, et 3% respectivement, la probabilité d'avoir les cheveux blonds, bruns ou v erts au total est de 83%. Rappelons qu'une probabilité ne peut jamais dépasser 100%. Si vous arrivez à un nombre plus grand que 1, ou bien il y a une erreur dans votre calcul ou alors les événements ne sont pas disjoints. C'est sans doute ce qui pourrait arriver avec la couleur des cheveux puisque de plus en plus, on peut avoir les cheveux d'une couleur avec des mèches d'une autre couleur. L'ordre des sections qui suivent respecte l'ordre des tables.

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Section 1.

Lecture de la table Binomiale

a.

But de la table

La Table 1 donnes la probabilité d'obtenir un certain nombre d'événements dans une

suite de Bernoulli. Par exemple, elle peut être utilisée pour connaître la probabilité d'obtenir

10 piles sur 20 essais.

Pour lire la table, il faut connaître deux paramètres: le nombre t otal d'essais (N) et la probabilité d'obtenir un succès sur un essai particulier (p). Tous les essais doivent être identiques, de telle façon que la probabilité p ne change pas au cours des N essais. De plus,

ces deux paramètres doivent être connus a priori, c'est à dire avant de collecter l'échantillon.

La table est tabulée pour chaque N (allant de 1 à 20) et p (5%, 10%, 15%, 20%, ¼, 30%,

35%, 40%, 45%, et ½. Pour une probabilité de succès p supérieures à ½, interchangez le mot

succès avec le mot échec, et utilisez 1 - p. Elle donne pour chaque valeur r entre 0 et N la probabilité d'obtenir r succès. Dans l'exemple ci-haut, la probabilité p d'un pile est de ½, le nombre total d'essai est 20,

et le nombre de succès recherché est 10, d'où N = 20, p = ½ et r = 10. En regardant dans la

table, on trouve 17.62%. Autrement dit, si 100 personnes lancent 20 pièces de monnaies, on s'attend à ce que près de 18 d'entre elles obtiennent exactement 10 piles. Pour que la table binomiale soit applicable, il est important que chaque essai soit binaire (succès ou échec), ce qui implique que le nombre total de succès soit un nombre entier. On ne peut pas demander quelle est la probabilité d'obtenir 14,5 succès sur 20 essais. La table binomiale est la plus longue car elle donne la probabilité p our tous les cas possibles, ce qui permet de dessiner le graphe des fréquences attendus (voir ci-bas). Il en va de même pour la table . Les autres tables ne donnent que quelques valeurs sur le graphe des fréquences attendues. Les trois graphes qui suivent donnent la probabilité d'obtenir r succès (sur l'axe horizontal) en fonction de N et de p. Ces valeurs sont directement dans la table, comme on le voit dans la Figure 1.

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012345678910

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

012345678910

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

01234567891011121314151617181920

0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15 0.175 (N = 10, p = ¼) (N = 10, p = ½) (N = 20, p = ½)

Figure 1 (haut) trois distributions binomiales différentes selon le paramètre p. (bas) Quelques

points sur la table binomiale pour les paramètres N = 10 et p ½.

17.62%

b. Relation avec un test statistique Dans un test statistique, on veut connaître la probabilité d'événements rares. Par

exemple, si on lance 20 pièces de monnaies, on s'attend à obtenir près de 10 piles. Cependant,

on s'attend très peu à obtenir 0 pile. C'est toujours possible, mais extrêmement peu commun.

En règle générale, on décide a priori ce qu'on entend par rare en mettant un seuil de décision (tel 5%): sera considéré rare tout résultats qui a moins de 5% de chance de se produire par simple hasard. Dans le cas d'une suite d'événements binaires, si N et p est connu, on peu choisir quels sont les nombres totaux de succès qui sont rarement obtenues (i.e., obtenus moins de 5% du temps). Dans le cas de lancés de 10 pièces de monnaies, on voit dans la table ci-haut que la

probabilité d'obtenir 0 piles est de 1 sur 1000, effectivement très rare. La probabilité d'obtenir

1 seul pile est de 9.8 sur 1000, proche de 1 sur 100, encore très rare. Par contre, la probabilité

d'obtenir 2 piles est de 4.39 sur 100. Une autre façon de voir la cho se: Si on refait 1000 fois la

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tâche de lancer 10 pièces de monnaies, dans à pe u près un cas, on devrait obtenir exactement

0 pile, dans près de 10 cas, on devrait avoir 1 seul pile, et dans près de 44

cas, on devrait obtenir 2 piles. La probabilité d'obtenir zéro ou 1 seul pile est additive. Elle est donc de 1 sur 1000 plus

9.8 sur 1000 (0.0010 + 0.0098), soit 10.8 sur 1000 (0.0108). La probabilité d'obtenir zéro, 1 ou 2

piles est de 0.0010 + 0.0098 + 0.0439, soit 0.0547 ou un peu plus de 5%.

Si dans un test, on

cherche un nombre total de succès qui soit rare, et qu'on considère que 5% ou moins de

chance de se produire est rare, il faut alors conclure que zéro ou un seul pile sur 10 lancés est

un événement rare, mais que de zéro à deux piles est un événement non rare. c. Exemples 1. Deux parents ayant les yeux bleus ont fondé une famille. Comme le gène de la couleur bleue est un gène récessif, il y a une chance sur quatre qu'un de leur enfant ait les deux gènes de la couleur bleue de ses deux parents et donc qu'il ait effectivement les yeux bleus. Si la famille compte 3 enfants, quelle est la probabilité qu'un seul enfant ait les yeux bleus? que deux des trois enfants aient les yeux bleus? que tous aient les yeux bleus?

Premièrement, on s'assure que la table binomiale est la bonne table puisque ce sont des événements

binaires (l'enfant a ou n'a pas les yeux bleus). Il faut ensuite identifier les paramètres N et p. Dans

ce cas-ci, ils ont les valeurs 3 et ¼ respectivement. Après un regard dans la table, on voit que la

probabilité d'exactement 1 succès est de (r = 1) 42%, la probabilité de deux enfants aux yeux bleus

est de 14.06% et la probabilité de trois enfants aux yeux bleus sur trois est de 1.56%. 2. Si dans l'exemple 1, la famille compte 10 enfants, quelle est la probabilité que deux enfants ou moins aient les yeux bleus? qu'au moins 3 enfants aient les yeux bleus?

La question est semblable à la précédente excepté que maintenant, N = 10. De plus, on veut savoir

la probabilité d'avoir 2 ou moins, c'est à dire la probabilité d'avoir 0, ou 1 ou 2 enfants aux yeux

bleus. Puisque ces probabilités sont additives, nous avons (en arrondissant) 5.3% + 18.8% +

28.2%, soit près de 52.3% (52.6 pour être exact).

Pour connaître la probabilité d'avoir 3 ou plus, il faut additionner la probabilité d'avoir 3 ou 4 ou 5

ou 6 ou 7 ou 8 ou 9 ou 10 enfants aux yeux bleus, soit 25.0% + 14.6% + 5.8% + 1.6% + 0.3% +

0.00% + 0.00% + 0.00%, soit 47.3% (47.4 pour être exact). Alternativement, on peut faire

l'inverse, regarder la probabilité d'avoir 2 ou moins enfants aux yeux bleus (i.e. r = 0 ou 1 ou 2), ce

qui donne, nous l'avons vu plus haut, 52.6%. Comme avoir 3 enfants aux yeux bleus ou plus est exactement l'inverse d'avoir 2 enfants ou moins aux yeux bleus, on peut utiliser le fait que la

probabilité de l'événement inverse est 1 - probabilité d'un événement et calculer 1 - 52.6%, ce qui

donne 47.4%. 3. On veut tester si une pièce est truquée. On prévoit la lancer 2

0 fois. Si la pièce est

normale, on prévoit obtenir autour de 10 piles. Par contre, si la piè ce est truquée pour produire plus de piles, on s'attend à obtenir un nombre anormalement élevé de piles. À partir de combien va-t-on juger que ce nombre est anormalement élevé? On suppose un seuil de décision de 5%, i.e. on cherche un nombre de pile qui devrait se produire par hasard 5% du temps ou moins.

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On identifie N = 20 et p = ½ si la pièce n'est pas truquée. De plus, on cherche à identifier un

nombre élevé de piles, donc des valeurs plus grandes que 10. En commencent par la fin, onquotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

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