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Editeurs titre année

LE SPATIAL ET LE GÉOMÉTRIQUE, LE YIN ET LE YANG

Catherine Houdement*

RESUME

: revenir sur des travaux français " anciens »

de didactique de la géométrie et enrichir la réflexion par travaux internationaux. Ce projet nous a conduite à nous

centrer sur une des facettes de la géométrie, le spatial, dont les occurrences semblent très variables selon les pays, aussi bien

dans les recherches que dans les curricula. Dans les travaux français de didactique des mathématiques, le spatial est étudié

sous deux angles : outiller le et préciser ses rapports avec le géométrique. Les études françaises sont plutôt basées , liées à une variation des milieux (tailles , appuyés sur des apports cognitifs concernant la visualisation. Les travaux internationaux pointent (pas seulement géométriques), . Les types de tâches qui nourrissent souvent proposés sous forme papier crayon. A la lumière des travaux internationaux, approfondie l spatial dans lapprentissage de différents domaines de savoir. Mots clefs : géométrie, spatial, raisonnement spatial,

ABSTRACT

This lecture answers an order from the scientific leaders of the summer school: to address "old" French research in didactics

of geometry, and to enrich the discussion studying international research. This project led to focus on one of the facets of

geometry, the spatial, whose occurrences seem very variable depending on the country, both in research and in curricula.

In the French didactics of mathematics, the spatial is studied from two angles: to equip the citizen in his relations to the

sensitive space and to clarify the relationships between spatial and geometry. French studies are rather based on the design

and analysis of didactic situations, related to a variation of milieu(scale of space, graphic traces, artefacts), supported by

cognitive contributions on visualization. International studies on education point to the impact of spatial in many (not just

geometric) scientific learning, including the study of correlations between successes in spatial skills tests and scientific

knowledge. The types of tasks that feed the tests seem to be much more varied than in France, even though often paper-and-

pencil tests. In the light of international work it would be interesting to study in depth the impact of spatial in different

disciplinary learning. Key words: geometry, spatial, spatial reasoning, visualization, space sizes ns la potentialité, non complètement explorée, de travaux français anciens (notamment Berthelot & Salin,

ée pour soi, per se

spatial qui guide le texte. bien sûr pas exhaustive. En particulier ne figurent ni

français de didactique de mathématiques liés à des formations professionnelles où le spatial

est sollicité, ni des recherches françaises dans des champs de savoirs où le spatial est en jeu

(par exemple la géographie, les sciences cognitives, la neuropsychologie). Le voyage dans les

travaux internationaux montre plus de diversité, déjà dans les articles qui relèvent de

La finalit

spatial, relativement ignoré de la didactique des mathématiques française, en dehors du rôle

* Université Rouen Normandie, ESPE, LDAR (EA 4434), UA-UCP-UPD-UPEC-URN

2 C. HOUDEMENT

PROLÉGOMÈNES

1. Trois fonctions pour la géométrie

Dans le séminaire national ARDM de janvier 2009, Perrin-Glorian et Salin (2010) rappellent (Brousseau, 1983, 2001 ; Bkouche, 1990 ; Chevallard & Jullien, 1990-91) : - La 1, " mode de production de connaissances relatives aux objets matériels de » (Perrin-Glorian & Salin, 2010, p. 51) qui donne des moyens de prévision et de contrôle des problèmes qui se posent dans ce environnant. Bkouche (1990) parle de " science des situations spatiales », Chevallard et Jullien (1990-91) considèrent la géométrie comme " » (p. 60) et écrivent " la géométrie part du monde sensible pour le constituer en monde géométrique, celui des points, des droites, des cercles, des sphères, des courbes, des surfaces et des volumes, etc. » (p. 52). - La géométrie comme théorie (en acte) de la rationalité (ibid., p. 59). - La géom

géométrique ou géométrisation ; Bkouche (1990) cite, par exemple, les segments représentant

les longueurs, la géométrie comme métaphore. Nous nous intéresserons aux premier et second points, et surtout au premier point.

2. Sur les termes modèle, espace

ce texte est proche de la vision de Streefland2 (1985, citée dans Van den Heuvel-Panhuizen, (2003, p. 14)) utilise dans qui

part du réel pour aller vers un monde de symboles (mathématisation horizontale, selon

Treffers, 19783, cité dans ibid., p.12). Le modèle correspond au passage de niveaux informels, dont relèvent des représentations sémiotiques personnelles, voire culturelles, ,

tels que schémas, dessins à main levée, à des niveaux plus formels. Ces niveaux plus formels

permettent en mathématiques de résoudre une vaste gamme de problèmes, ou, autres , den prévoir évolution. Les termes utilisés par Streefland sont model of et model for. Pour Streefland le passage de model of à model for est odèle construit, prendre du recul sur un premier usage local, apprendre des mathématiques. Le point de vue de Streefland suppose un enrichissement spiralaire du modèle, un model for devenant lui-même un peu plus tard ou dans un autre domaine scientifique un model of. Nous illustrerons plus loin ce point en géométrie.

Les utilisations du terme espace sont variées. Perrin-Glorian et Godin (à paraître)

définissent une " théorie physique de la géométrie graphique servant " physique »

Pour Chevallard et Jullien (1990-91, p. 50) :

s

objets géométriques sont le siège). Il est un ensemble de localisations possibles, un même objet

1 Chevallard et Jullien (1990-91, p. 52) renoncent au terme espace physique, car

comporte masses et forces.

2 Streefland, L. (1985). Wiskunde als activiteit en de realiteit als bron. Nieuwe Wiskrant, 5(1), 6067.

3 Treffers, A. (1978), Wiskobas Doelgericht. IOWO, Utrecht, The Netherlands

LE SPATIAL ET LE GÉOMÉTRIQUE 3

Ces deux auteurs distinguent deux points de vue sur la figure (au sens géométrique commun) s objet conduit à des difficultés . La figure est " une représentation (matérielle graphique) occuper » (ibid., 1990-91, par une rotation correspond à la superposition de " renferme » ; ce dont rend mieux compte points (pixels). Nous utiliserons espace sensible, pour rendre compte du réel environnant. Notre étude de la géométrie euclidienne se limitera à la géométrie plane.

3. Trois paradigmes pour la géométrie plane élémentaire

Houdement et Kuzniak (1999, 2003a) proposent de considérer la géométrie élémentaire

constituée de trois paradigmes : la géométrie naturelle G1, une géométrie déjà schématisée ; la

géométrie axiomatique naturelle G2 ; et la géométrie axiomatique formelle G3.

" Les objets de la Géométrie 1 sont des objets matériels, traces graphiques sur le papier ou traces

virtuelles sur

épures au sens que lui donnent Chevallard et Jullien (1990-91). Dans les pratiques usuelles, ce sont

souvent des objets du micro-espace (Berthelot & Salin 2000) censés représenter, dans un espace

petit et propice à des contrôles, des objets réels plus grands ou plus complexes. Ils sont donc le

ée représentant le

" rond ». Ce sont des productions commodes notamment pour la reproduction et la description : le rond ficatif de Naturelle.

La Géométrie idéels.

ligne sont des points. ». Les axiomes proposés dans la Géométrie euclidienne, prototype de la

Géométrie II sont fortement appuyés sur les objets de la Géométrie I, conservant ainsi un lien fort

Ses objets [de la Géométrie 3] sont aussi idéels, le raisonnement hypothético-déductif le

moteur et la source des nouvelles connaissances. Ce qui la différencie de la Géométrie II est le fait

II, vivent des îlots déductifs. La Géométrie III a émergé avec la

naissance des géométries non euclidiennes. Elle est culturellement peu convoquée dans les savoirs

» (Houdement, 2007, p. 73-75)

Nous ne reviendrons pas plus en détail sur ces travaux. G1 est un modèle analogique (model ofmodel for et a fortiori de G1. G3, a posteriori, modélise. Ces trois

ou géométrique et de la complexité des jeux qui se jouent dans la pensée géométrique. Mais

(voir Houdement & Kuzniak, 2006 ;

Houdement, 2007, 2011, 2013

space de Travail Géométrique est le giron de la pensée géométrique métrique construit et résout des sous-problèmes dans G1 (notamment par la décomposition/recomposition figurale et/ou dimensionnelle des figures , Duval, 1994, 2005) pour résoudre des problèmes de G2 (voir notamment le paragraphe 3 de la partie sur le spatial dans les travaux français). Sur le plan historique, une hypothèse plausible est que G2 a émergé en partie du besoin dans des traités regroupant les connaissances accumulées. nt le

4 C. HOUDEMENT

raisonnement hypothético-déductif comme principe, sa finalité est de modéliser le réel

environnant, vu comme espace euclidien (Houdement, 2007, à partir de Szabo, 19934). de plus que G1 ? con géométriques (longueurs, aires, volumes), en minimisant les mesures, et même des grandeurs ouhaitée (Houdement,

2013 ; Houdement, 2017).

technologiques des instruments de mesure. Sur le plan didactique, la situation des médiatrices de Brousseau (1983, 2001) permet à (Houdement & Rouquès, 2016) et de les faire basculer vers la recherche de raisons pour lesquelles telle construction, à quelque

échelle soit-, 1995-96 ; Floris, 1995)

est un autre candidat, plus classique, pour ce basculement longueurs fixées (Houdement & Kuzniak, 2002) est intéressante en formation des enseignants

avec la même finalité. Citons aussi Jahncke (2007) qui outille la compréhension de la preuve

en G2, en appuyant 4. Dans les actes de , Bloch et Conne (2009, p. 11) soulèvent deux e de la géométrie : - l

- les rapports aux signes nécessaires pour cette étude (questions sémiotiques) déjà pointés

par Bessot et Vérillon (dir., 1993) : " Il y aurait donc un espace des signes et des figures dont

les sujets feraient l'expérience et avec qui la géométrie entretiendrait un autre rapport que

celui d'une simple modélisation ». De leur côté, Bloch et Pressiat (2009, p. 67) G1 et laissent ouvertes les questions suivantes :

" Que sait-on des connaissances spatiales des élèves, en amont de tout enseignement

géométrique perceptivo-e spatiale au fait de

pouvoir penser et représenter cette expérience, mais aussi de pouvoir lire des représentations

r du spatio-. sur des recherches didactiques françaises et sur des travaux internationaux.

DÉFINIR OU DÉBUSQUER LE SPATIAL

1. Espace sensible

s (Gonseth, 1945-1955 ; Chevallard & Jullien,

1990-91

connaissances. Alors expériences spatiales, des

4 Szabó Á. (1993) Entfaltung der griechischer Mathematik. Traduction

2000. Paris : Vrin.

LE SPATIAL ET LE GÉOMÉTRIQUE 5

le mythe (Keller, 2004, 2006). On appréhende ainsi les objets, créés, construits pour la vie

quotidienne, de toute taille (artisanat, architecture), mais aussi dans les arts et par les mythes, notamment les représentations rupestres, les constructions de quelque sorte " », ce que disent Bloch et Pressiat (2009, p.72-73) pour les schémas sur papier rendant compte du trajet e.

2. Spatial et géométrique dans la noosphère

Dans une première approche toujours, on pourrait dire que spatial est ce qui est accessible aux sens et relève des formes 1D, 2D, 3D. Le spatial est donc lié à . Commentaire " Natural pattern » Commentaire : " Incroyable régularité géométrique des formes naturelles dans le désert saoudien »

Figure 1. ֙

Le commentaire des photos laisse penser la géométrie comme la perception des régularités du

monde naturel, autrement dit comme des organisations ; peut- instruments matériels et intellectuels ; finalement une projection de SA pensée sur le monde perçu. Cette remarque est en résonance avec le point de vue de Keller (2004, 2006) lors de ses

travaux sur le Paléolithique. Le géométrique semble constitué des organisations des objets de

e environnant, : taille des bifaces6 (Keller, 2006, chapitre 1, p. 3-19), construction des maisons (au début du paléolithique, ibid. chapitre 2, p. 21). On notera que " le seul espace structuré des temps paléolithiques était un espace travaillé, et par conséquent local, à portée de main : le nucléus7 de paroi rocheuse » (Keller, 2006, p. 29). Cette géométrie des origines concepts. » (Keller, 2004, p. 74). -espace, et la réduction à un espace de figures, naît sans doute des mythes et de la sédentarité, qui incitent à lieu les levers et couchers de soleil (Keller, 2006, p. 31), de construire des alignements et des premières figures géométriques : croix des levers et , rectangle contour.

5 https://twitter.com/thom_astro?lang=fr

6 Un Biface désigne un objet façonné plus ou moins complètement, un

le passage du caillou au biface, le " déconstruction dimensionnelle » matérielle.

7 Nucléus indique le .

6 C. HOUDEMENT

nôtre. Le spatial est médié par : notre environnement actuel est plutôt horizontal, vertical, mais pas seulement ; pensons à la rotondité des toits de mosquée ou

é de certains bâtiments (musées,

châteaux .

Surfaces réglées

développables

Paraboloïde hyperbolique et

hyperboloïde de révolution

Figure 2.֙

La géométrie fait partie de la culture collective, qui véhicule une représentation sociétale des

Pourtant

un arbre a une structure pseudo-fractale (Mandelbrot, 1973). " Une figure fractale est un objet mathématique, telle une courbe ou une surface, dont la structure est invariante par

changement d'échelle. Les objets fractals peuvent être envisagés comme des structures

gigognes en tout point »8. Les objets fractals ne font pas encore partie des figures géométriques usuelles9 spatial st grâce aux connaissances géométriques : le chou romanesco a une structure approximativement fractale, le projet de façade du Musée du Caire (2018) affiche un triangle de Sierpinski.

Figure 3. ֙

LE SPATIAL DANS DES TRAVAUX FRANÇAIS DE DIDACTIQUE DES

MATHÉMATIQUES

8 Wikipedia (consulté 18/10/2018) https://fr.wikipedia.org/wiki/Fractale

9 Le rapport Kahane (2002) déplore .

LE SPATIAL ET LE GÉOMÉTRIQUE 7

1. Le spatial en soi

Dans les recherches françaises de didactique sur la géométrie, notamment depuis Brousseau (1983, 2001), Galvez (1985), Berthelot et Salin (1992), le spatial a une place, que ce soit 1. entrer un cylindre dans un trou rectangulaire, le chauffeur de taxi qui se déplace sans GPS dans une grande ville), pour repérer leur acquisition (ou pas) par les individus

2. pour pointer des connaissances utiles ou obstacles pour entrer dans la géométrie10.

Berthelot et Salin (1992, 1993, 1994-95, 1999-2000) soulignent la double finalité

obligatoire : " préparer les élèves aux apprentissages ultérieurs, en particulier professionnels

ils doivent prendre dans leurs

milieux de vie » (1999-2000, p. 38). De leur point de vue, il est utile de développer les

dernières connaissances citées (pratiques, stratégies, vocabulaire et propriétés) indépendamment de celles space) ; cet apprentissage de 11 peut se faire sans

recours préalable à un apprentissage de la transposition primaire de la géométrie ;

Cela ne veut pas dire

résoudre des problèmes spatiaux. Berthelot et Salin (1992) explorent les rapports spatiaux, rapports établis par un sujet avec

son environnement pour reconnaître, décrire, fabriquer, transformer des objets ; déplacer,

trouver, communiquer la position d'objets ; reconnaître, décrire, parcourir, transformer un

espace de vie ou de déplacement. Ces rapports spatiaux seront désignés plus tard par

connaissances spat Salin, 2000-2001). Les connaissances spatiales sont définies dans les travaux français par des situations : " Ainsi lttent de (Brousseau,

2001, p. 70). Le spatial est donc maintenant défini par les connaissances spatiales mobilisées

dans sensible. Brousseau (ibid.) cherche à préciser les formes des connaissances spatiales : modèles imdésignées par vision spatiale, images mentales, souvent non explicitables ; langages en jeu dans des situations de communication, qui ne seraient pas descriptibles en termes géométriques ; énoncés :

" Les véritables connaissances sur l'espace se manifestent dans des anticipations ou dans des

inférences qui dépassent la perception, la reconnaissance ou la description de l'environnement ».

(Brousseau, ibid., p. 72) (Galvez, 1985 ; Berthelot & Salin, 1992 ; Brousseau, 1983, 2001 ; Berthelot & Salin, 2000- 2001
- Le micro-espace relation avec la coordination tactile et visuelle. - Le méso-espace défini par Brousseau (1983, p. 213) comme " espace des déplacements du sujet dans un domaine contrôlé par la vue. Objets fixes entre 0,5 et 50 fois la taille du sujet (...) ». Berthelot et Salin (1992, p. 100), en appui sur Galvez (1985), précisent : déplacements domestiques, comme des mouvements du sujet à

10 Voir aussi orientation et prototypes, selon Gentaz (2014).

11 Dans no

8 C. HOUDEMENT

espace que - Le macro-espace e sylvestre, maritime. Brousseau (2001, p. 71) explique en quoi les connaissances spatiales y sont différentes :

" La situation qui consiste à indiquer à quelqu'un les déplacements d'un mobile dans un espace

urbain en est un exemple (situation n°5). Cette situation suppose la gestion simultanée des

mouvements relatifs de six trièdres de références : ceux liés au terrain, et au mobile réel, ceux liés

à la carte et à la représentation du mobile, ceux liés aux deux interlocuteurs ; alors qu'il n'existe

même pas une méthode standard pour évoquer précisément un carrefour en patte d'oie ».

On verra plus loin que cette typologie peut être enrichie. Berthelot et Salin (1993, 1999-2000) ont mis en évidence un déficit de connaissances méso

et macro-spatiales chez les élèves de fin de primaire ou plus tard. La motivation de la thèse de

Galvez (1985), dirigée par Brousseau, résulte du constat que les enfants des rues se perdent dans la ville de Mexico quand ils changent de quartier. recherche, examinée dans le paragraphe qui suit : enrichir les connaissances spatiales des

élèves, notamment pour leur vie de citoyen.

2. Exemples de situations développant des connaissances plutôt méso- et macro-spatiales

engendrer des rapports macro-spatiaux dans un espace plus petit. Il peut sembler étrange de jongler ainsi avec les , mais la puissance de ce concept vient de sa signification comme rapport de type macro- méso- ou micro- spatial à un objet géométrique. Pour comprendre, examinons la tâche de reconnaissance de patrons de cubes (Figure 4) parmi des hexaminos (assemblages plans de six carrés identiques par au moins un de leurs

côtés) : une vision micro-spatiale consiste à essayer de " fermer » le cube devant soi ; une

vision méso-(le sol) à essayer de fermer le cube autour de soi, en relevant les murs, pour cubique. Par expérience première, le choix de la face " sol » pouvant être plus ou moins facilitateur.

Figure 4. ֙

meilleure maitrise des problèmes notamment méso- et macro-spatiaux, mais en restant matériellement dans un méso-espa, notamment suite aux a constitué une part importante des travaux de Berthelot et Salin (1992). Pour des exemples de situations spatiales de Grande Section et de CP (5-7 ans) pour d

LE SPATIAL ET LE GÉOMÉTRIQUE 9

de Mathématiques, Espace et géométrie au cycle 212 (MENESR, 2005), un document rédigé en grande partie par Marie-Hélène Salin. On pourra aussi consulter De plan de la classe, succinctement décrite dans l de Houdement et Peltier (1992-1993). Un travail sur plans et cartes a été conçu par Berthelot et Salin (1992, p. 329-339 ; 1993,

p. 90-108) pour des élèves de CE2 (9-10 ans). Ils proposent des mises en relation entre

différentes situations : création de plan, utilisation de plan simplifié à des fins de repérage ou

de déplacements, Arrêtons-nous sur la situation des Guides et des Voyageurs (Berthelot & Salin 1992), -11 ans). Cette situation, qui permet de simuler des espace urbain, modélisé par une carte , possède certaines -our les élèves, de reproduire une carte et de guider, en appui sur cette carte, un voyageur qui veut se déplacer dans la ville. Le dispositif matériel (figure 5) avec des rues et des carrefours, non nommés, et des bâtiments nommés (poste, piscine) ; déplacée pour positionner le trou sur différents endroits du plan de la ville. accès à la à travers le trou de la nappe. Ce dispositif méso-spatial permet de simuler provoquer la construction de connaissances macro-spatiales (notamment le recollement de cartes). La modélisation choisie permet de traiter un grand nombre de problèmes rencontrés (entre deux rues) et des distances, choisir une direction de parcours à un croisement, et lors du guidage, gérer la coordination de systèmes de référence différents. 18

Figure 5. ֙

Signalons une situation proche (mais visant des

connaissances méso-spatiales) proposée par Emprin (2014), qui simule virtuellement le déplac De notre point de vue, des situations de restauration de figures (Perrin-Glorian & Godin,

2014), notamment celles qui visent à " découvrir » des alignements de points et/ou de

segments pour restaurer la figure, participent aussi méso-

spatial à la " droite », rapport selon nous nécessaire à la pratique géométrique experte. La

-espace (Berthelot & Salin, 2000-

12 Ce texte a malheureusement disparu des références institutionnelles. Lien consulté 18/10/2018

10 C. HOUDEMENT

soit le plus souvent abordée implicitement comme telle , dans une la droite est représentée par un trait droit

dans le micro-espace. Cette ébauche de droite (le trait droit) pourrait avoir émergé des

pratiques de taille des pierres, de fabriquer un chopper13 pour dépecer le gibier (Keller, 2006).

3. Le spatial en relation avec G2

G2 et le micro-espace

La feuille de papier, espace de schématisation et espace usuel du travail géométrique, est un

micro-espace. Pour Berthelot et Salin (1992), il y a risque que seuls soient activés des

rapports micro-spatiaux aux objets géométriques représentés. Notamment, Salin (2014b,

p. 37) affirme que :

" Cette représentation micro-spatiale serait activée dans les activités géométriques spatio-

graphiques, i. e. sur support papier, les élèves assimilant les " figures » de la géométrie aux objets

du micro-espace, dont les possibilités de traitement sont particulièrement pauvres. Ceci pourrait

expliquer par exemple leurs difficultés à concevoir des sous et des sur figures (berthelot & Salin

1992). »

Cette représentation pourrait alors qui nécessite

très souvent des rapports aux objets géométriques représentés autres que micro-spatiaux,

comme pour la droite, les angles et les figures (Berthelot & Salin, 1992, 1994-95 ; Vadcard,

2000).

Nous pouvons considérer G2 comme une théorisation du champ spatial. Mais comment est-il espace ? Chevallard et Jullien (1990-91) déclarent citant Wallis (1616-1703)) une figure quelconque de est invariante par homothétie : (Chevallard & Jullien, 1990-91, p. 58). spatiale (des schémas, en amont des " schémas conventionnels » de Bloch et Pressiat 2009, cités plus haut)-graphique, nommé ainsi par Berthelot et Salin (1992) et

espace graphique par Perrin-Glorian et Godin (2014, à paraître), demande, de la part de

transformer en espace des figures.

Le travail de Petitfour

, pointons dans la genèse de la feuille de papier comme instrument de G2, des connaissances, plus ou moins élaborées, qui relèvent d " composante sémiotique », Petitfour (2017, p. 258), mais ici de vité géométrique. t ensemble des relations entre objets graphiques etquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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