[PDF] MATHEMATIQUES A LUSAGE DE LETUDIANT DE BAC PRO EN

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BTS

MATHEMATIQUES

A L"USAGE DE

L"ETUDIANT DE

BAC PRO EN BTS

Chercherx.

4 cm3 cm

x "En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s"y habitue." John Von Neumann (Mathématicien, physicien 1903-1957) "Il n"y a pas de problème, il n"y a que des professeurs."

Jacques Prévert (Poète 1900-1977)

Sommaire

1 Calculs dans l"ensemble des réels3

1.1 Calculs de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Les fractions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Les puissances. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.3 Les racines carrées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Développer - Factoriser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Développement d"une expression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2 Factorisation d"une expression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Résolution d"équations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1 Équations du premier degré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.2 Équation produit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.3 Résolution des systèmes de deux équations à deux inconnues : méthode par addition8

2 Les fonctions affines10

3 Trigonométrie13

3.1 L"essentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1.1 Cercle trigonométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1.2 cosinus et sinus d"un réel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Le second degré18

4.1 Équations et factorisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2 Signe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2.1 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5 Dérivation et étude de fonction21

5.1 L"essentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.1.1 Nombre dérivé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.1.2 Tableaux des dérivées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.1.3 Lien avec le sens de variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2

Chapitre 1

Calculs dans l"ensemble des réels

1.1Calculs de base

1.1.1Les fractions

Chaque dénominateur étant non nuls, on peut écrire : a a b±cd=ad±bcbdexemple=?23+54=2×4 + 5×33×4=8 + 1512=2312 a a bc d= ab×dc=adbcexemple=?1 47
9= 1

4×97=928

Propriété 1.

Exercice 1

Donner l"écriture des nombres suivants sous la forme d"un entier ou d"une fraction irréductible.

A=1

2+13-14

B=? 1-7 3?

3 +52?

C= 2×?1

3-34? +?45-53?

Solutions :

A=712,B=256,C=-1710

3

Juin 2018MathématiquesBTS

1.1.2Les puissances

Pour tous réelsaetbnon nuls,metnentiers, on peut écrire : a n×am=an+mexemple=?23×25= 23+5= 28 a n am=an-mexemple=?7572= 75-2= 73 (a×b)n=an×bnexemple=?(2×5)3= 23×53 (an)m=an×nexemple=?(72)5= 72×5= 710

Propriété 2.

Exercice 2

Simplifier les nombres suivants :

A= 33×3-2×3×35

B=2×23×24

23×26C= (32×33)2

D=22×34×5352×32×2

Solutions :

A= 37,B= 2-1=12,C= 310,D= 2×32×5

1.1.3Les racines carrées

Pour tous réelsaetbpositifs, on peut écrire : a)2=⎷a2=aexemple=?(⎷3)2=⎷9 = 3 a×b=⎷a×⎷bexemple=?⎷4×3 =⎷4×⎷3 = 2⎷3 a b=⎷ a⎷bexemple=?? 5

4=⎷

5⎷4=⎷

5 2 ?⎷a+b?=⎷a+⎷bcontrexemple=?⎷9 + 16 =⎷25 = 5⎷

9 +⎷16 = 3 + 4 = 7

Propriété 3.

Exercice 3

Simplifier l"écriture des nombres suivants :

Geneviève MAZE 4/

25Lycée VAUBAN BREST

Juin 2018MathématiquesBTS

A=⎷81

B=⎷

8C=⎷

12

D=⎷

36 + 64E=⎷

2 + 5⎷2-3⎷2

F= (2-⎷

3)2

Solutions :

A= 9,B= 2⎷2,C= 2⎷3,D= 10,E= 3⎷2,F= 7-4⎷3.

1.2Développer - Factoriser

On souhaite transformer des expressions algébriques pour les mettre sous différentes formes : ?Développer, c"est transformer un produit de facteurs en une somme de facteurs. ?Factoriser, c"est transformer une somme de facteurs en un produit de facteurs.

Définition 1.

Exemple 1

Expressions sous forme développée :

A(x) =x-2-14x+ 5

B(t) = 3t2-4t+ 1

C(α) =α3+ 6α-4Expressions sous forme factorisée :D(x) =-5(x+ 1)

E(z) = (4z+ 1)(z+ 3)

F(t) = (2t-3)2

Afin de factoriser ou développer des expressions, on utiliseles propriétés de développement, ou très

régulièrement les identités remarquables vues au collège : ?k(a+b) =ka+kb ?(a+b)(c+d) =ac+ad+bc+bd?(a+b)2=a2+ 2ab+b2 ?(a-b)2=a2-2ab+b2 ?(a+b)(a-b) =a2-b2

Propriété 4.

1.2.1Développement d"une expression

Dans les trois exercices de cette section, il s"agit de développer, réduire et ordonner les expressions

données.

Exercice 4

Utilisation de la distributivité

A(x) =-2(3x+ 1)

B(x) = (2x+ 3)-(3x+ 2)

C(x) = 4(3x-2)D(x) = (2-5x)(x-3)

E(x) = (x+ 3)(x-2)

F(x) = (-2x+ 3)(x-1)

Solutions :

D(x) =-5x2+ 17x-6,E(x) =x2+x-6,F(x) =-2x2+ 5x-3A(x) =-6x-2,B(x) =-x+ 1,C(x) = 12x-8,

Geneviève MAZE 5/25Lycée VAUBAN BREST

Juin 2018MathématiquesBTS

Exercice 5

Utilisation des identités remarquables

A(x) = (3x+ 4)2

B(x) = (2x-3)2C(x) = (5x-2)(5x+ 2)

D(x) = (-2x-4)2

Solutions :

A(x) = 9x2+ 24x+ 16,B(x) = 4x2-12x+ 9,C(x) = 25x2-4,D(x) = 4x2+ 16x+ 16

Exercice 6

Certaines expressions sont plus complexes à développer carelles contiennent à la fois des distributivités et des

identités remarquables:A(x) = 4(2x+ 5) + (x-3)(5x-7) B(x) = (2x-3)2-(4x+ 1)(x-3)C(x) = (x-3)(x+ 5)-(-3x+ 2)(x-5)

Solutions :

A(x) = 5x2-14x+ 41,B(x) = 12-x,C(x) = 4x2-15x-5

1.2.2Factorisation d"une expression

Dans les trois exercices de cette section, il s"agit de factoriser au maximum les expressions données.

Exercice 7

Utilisation d"un facteur commun

Cette technique consiste à mettre en évidence un facteur commun dans la "somme" : on décompose en produit

chaque terme de façon à trouver un facteur en commun le plus grand possible.

A(x) = 15x-12

B(x) = 5x-5

C(x) = 6x2+ 10xD(x) = (3x+ 2)(4x-1) + (3x+ 2)(-6x+ 8)

E(x) = (3x-4)2-(2x-5)(3x-4)

F(x) = (2x-3)2-(2x-3)

Solutions :

D(x) = (3x+ 2)(-2x+ 7),E(x) = (3x-4)(x+ 1),F(x) = (2x-3)(2x-4).A(x) = 3(5x-4),B(x) = 5(x-1),C(x) = 2x(3x+ 5),

Exercice 8

Utilisation des identités remarquables

On tente de "comparer" notre expression à l"une des identités remarquables : - S"il y a trois termes, ils peuvent être de la formea2+ 2ab+b2oua2-2ab+b2, - s"il y a deux termes, ils peuvent être de la forme :a2-b2.

A(x) = 9x2+ 42x+ 49

B(x) = 25x2-60x+ 36C(x) =x2-16

D(x) = 9x2-64

Solutions :

A(x) = (3x+ 7)2,B(x) = (5x-6)2,C(x) = (x-4)(x+ 4),D(x) = (3x-8)(3x+ 8).

Exercice 9

Si vous avez un moment de libre, ou une envie d"approfondir ...

Il arrive pourtant qu"un facteur commun ne saute pas aux yeux, tout comme une identité remarquable. Dans

ce cas, on examine chaque terme de la somme et on essaye de le factoriser.

A(x) = (2x-5)(7 + 3x)-(4x2-20x+ 25)

B(x) = (x-3)(3x+ 5) + (9x2+ 30x+ 25)C(x) = 3(x+ 3)(2x+ 3)-(4x2-9)

D(x) = (2x-1)2-(3-5x)2

Solutions :

A(x) = (2x-5)(x+ 12),B(x) = (3x+ 5)(4x+ 2),C(x) = (2x+ 3)(x+ 12),D(x) = (7x-4)(-3x+ 2).

Geneviève MAZE 6/25Lycée VAUBAN BREST

Juin 2018MathématiquesBTS

1.3Résolution d"équations

1.3.1Équations du premier degré

Uneéquation du premier degréest une équation de la formeax+b= 0 aveca?= 0 où

xest l"inconnue. Résoudre une telle équation consiste à " trouver le nombrex» pour lequel

ax+b= 0.

Définition 2.

La théorie :

ax+b= 0??ax=-b??x=-b adonc :S=? -ba?

La pratique :

-2x+ 4 = 0on ajoute-4des deux côtés de l"égalité ?? -2x=-4on divise par-2qui est non nul des deux côtés de l"égalité ??x=-4 -2on simplifie ??x= 2 On peut vérifier que lorsque l"on remplacexpar 2 dans-2x+ 4, on obtient-2×2 + 4 = 0.

Exercice 10

Parmi la liste de nombres

0;1;3 2;4? lesquels sont solutions des équations suivantes :

1.-x+ 1 = 0.

2. 3x+ 4 = 6x-8.

3.x(2x-3) = 0.

Solutions :

1)x= 1 2)x= 8 3)x= 0 oux=32.

Exercice 11

Résoudre les équations suivantes.

1.x-9 =-4.

2.-x+ 5 = 12.

3. 3x=-24.

4. 3,7x= 0.

5. 1

4x= 16.6. 5x-9 = 3x+ 4.

7.x-2 3=34. 8. 3x 4=23.

Solutions :

6)x=1327)x=17128)x=89.1)x= 5 2)x=-7 3)x=-8 4)x= 0 5)x= 64

Exercice 12

Pour approfondir ...

Développer chaque membre, puis résoudre les équations obtenues.

1. 4x-5(3-2x) = 4-(2x-7).

2. 9x-3(4-3x) = 2-[35-3(4-2x)].

3. 7-3(4-2x)-5[2-3(x-5)] = 4-3(x-4).

4. 4(x-2)-3[6-2(3-4x)] + 3(7-2x) = 0.

Solutions :

1)1382)-383)53124)12

Geneviève MAZE 7/25Lycée VAUBAN BREST

Juin 2018MathématiquesBTS

1.3.2Équation produit

Lorsque l"on a un produit de plusieurs facteurs qui doit êtreégal à 0, on utilise le théorème

important suivant : Un produit de facteurs est nul si et seulement si l"un des facteurs est nul:

A×B= 0??A= 0 ouB= 0.

Théorème 1.

Exemple :

(x+ 1)(x+ 11) = 0 ??x+ 1 = 0 oux+ 11 = 0 ??x=-1 oux=-11 ?? S={-11;-1}.

Exercice 13

Résoudre les équations suivantes.

1. (x-1)(x+ 2) = 0.

2. (2x+ 4)(3x-1) = 0.

3. (2 +x)(2-3x) = 0.

4.-3(x-1) = 0.

5. (x+ 1)(3x-4)(2x-3) = 0.

6.⎷

2(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) = 0.

Solutions :

5)x=-1 oux=43oux=326)x= 1 oux= 2 oux= 3 oux= 4 oux= 5.1)x= 1 oux=-2 2)x=-2 oux=1

33)x=-2 oux=234)x= 1

Exercice 14

Pour approfondir ...

Factoriser, puis résoudre les équations.

1. (5x-2)(x+ 7) + (5x-2)2= 0.

2. 2(3x+ 5) + (x+ 7)(3x+ 5) = 0.

3. (2x+ 3)2-(x+ 5)(2x+ 3) = 0.

4. (3x-2)2-81 = 0.

Solutions :(a)-5

6ou25(b)-9 ou53(c)-32ou 2 (d)-73ou113

1.3.3Résolution des systèmes de deux équations à deux inconnues :méthode par addition

Exemple 1 :Résoudre le système :?2x-3y= 7L1

x+ 5y=-3L2 DansL1on a 2xet dansL2on ax; pour éliminer lesxon va donc multiplier la ligneL2par-2 avant d"ajouter les deux lignes.

Geneviève MAZE 8/

25Lycée VAUBAN BREST

Juin 2018MathématiquesBTS

?2x-3y= 7 x+ 5y=-3

×(-2)-→?2x-3y= 7

-2x-10y= 6 Ce qui donne par addition des deux lignes :-13y= 13 c"est à direy=-1. Puis on remplaceypar-1 dans l"équation la plus simple, iciL2, et on obtient :x-5 =-3 donc x= 2.

La solution est doncx= 2 ety=-1.

Exemple 2 :Résoudre le système :?3x+ 4y= 32L1

7x+ 6y= 58L2

DansL1on a 3xet dansL2on a 7x; pour éliminer lesxon va donc multiplier la ligneL1par 7 et la ligneL2par-3 avant d"ajouter les deux lignes. ?3x+ 4y= 32 ×7

7x+ 6y= 58×(-3)-→?21x+ 28y= 224

-21x-18y=-174 Ce qui donne par addition des deux lignes : 10y= 50 c"est à direy= 5. Puis on remplaceypar 5 dans l"équation la plus simple, iciL1, et on obtient : 3x+ 20 = 32 donc x= 4.

La solution est doncx= 4 ety= 5.

Exercice 15

Résoudre les systèmes suivants :

a)? x-2y=-1

3x+y= 2b)?

3x-2y= 2

5x+ 3y= 1

Solutions :

a)x=37,y=57b)x=819,y=-719

Geneviève MAZE 9/25Lycée VAUBAN BREST

Chapitre 2

Les fonctions affines

?Une fonctionaffineest une fonction définie sur un intervalle deRpar f(x) =ax+b;aetbétant des réels. ?aest lecoefficient directeuretbl"ordonnée à l"origine.

Définition 1.

Représentation graphique :La courbe représentative d"une fonction affine est une droite. ?Premier cas : a >0

Tableau de signe :

x-∞ -ba+∞f(x)-0 + xy O 1a b a-→i-→ j b ?Deuxième cas :a= 0 fest alors une fonctionconstante: f(x) =b xy-→i-→ j b O ?Troisième cas :a <0

Tableau de signe :

x-∞ -ba+∞f(x) + 0- xy O 1 a b a-→i-→ j b 10

Juin 2018MathématiquesBTS

Exercice 1

011 d3 d1 d2 d4Déterminer graphiquement une équation de chacunedes droites ci-contre : - Équation ded1:f1(x) = ..................... - Équation ded2:f2(x) = ..................... - Équation ded3:f3(x) = ..................... - Équation ded4:f4(x) = .....................

Solutions :

f1(x) =x+ 1,f2(x) =-3x-2,f3(x) = 2,f4(x) =34x-3

Exercice 2

Dans le repère orthonormé (O,I,J) ci-contre, tracer les fonctions suivantes : -f(x) =-3x+ 2. -g(x) =1 2x-3. -h(x) =-1. -k(x) = (x+ 1)2-x2. 011

Geneviève MAZE 11/

25Lycée VAUBAN BREST

Juin 2018MathématiquesBTS

Solutions :

O1 1 Df D g DkD h

Exercice 3

Déterminer le tableau de signes des deux fonctions suivantes :f(x) =-3x+ 1 etg(x) = 2x+ 5.

Solutions :

x-∞13+∞f(x) + 0- x-∞ -52+∞g(x)-0 +

Exercice 4

Déterminer une fonctionfpouvant être représentée par le tableau de signes suivant : x-∞3 +∞ signe def(x) + 0-

Solution :f(x) =-x+ 3

Geneviève MAZE 12/25Lycée VAUBAN BREST

Chapitre 3

Trigonométrie

3.1L"essentiel

3.1.1Cercle trigonométrique

Le plan est muni d"un repère orthonormal (O,I,J) Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O, de rayon1 orienté dans le sens direct. repérage d"un point sur le cercle trigonométrique Par enroulement de la droite réelle sur le cercle trigonométriqueCon peut associer à tout réelxun unique pointMdeC Si le pointMest associé à un réelx, alors il est associé à tout réel de la formex+k×2πoùkest un entier relatif.

OIJ-→i-→

j mesures d"un angle orienté Soitxun réel etMun point du cercle trigonométrique repéré par x. On dit quexest une mesure en radians de l"angle orienté?-→OI,--→OM? Par convention on note alors?-→OI,--→OM? =x+ 2kπoùkest un entier relatif et on dit que?-→OI,--→OM?

à pour mesurexradians à

2πprès.

OIJ-→i-→

j M x remarque : La mesure d"un angle géométrique en radians est proportionnelle à sa mesure en degrés : Degrés 0° 30° 45° 60° 90° 120° 180° xen radians 0π6π4π3π22π3π mesure principale La mesure principale d"un angle orienté est l"unique mesurede cet angle appartenant à l"intervalle ]-π;π].

Propriété 1.

13

Juin 2018MathématiquesBTS

exemple : Déterminer la mesure principale des angles de mesures respectives39π 7et? -18π5? - On chercheαdans l"intervalle ]-π;π] et un entierktel que39π

7=α+k×2π.

Comme 5<39π

7<6 et 6 pair, alors-1<39π7-6<0 donc la mesure principale de39π7est?39π

7-6π?

soit-3π7 - On chercheαdans l"intervalle ]-π;π] et un entierktel que?quotesdbs_dbs10.pdfusesText_16

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