[PDF] Exercices bac -- 2011-2016 -- arithmétique et matrices E 1

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a,b,c,d n (E) : 23x-26y=1, xy ិ (-9 ;-8) (E) (E) a 0⩽a⩽2523a≡1 (mod 26) (x1;x2)x1 x2 (x1;x2) (y1;y2) S1){ y

1≡11x1+3x2(mod 26)

y

2≡7x1+4x2(mod 26)0⩽y1⩽250⩽y2⩽25.

(y1;y2) |{z} (x1;x2)ិ (S1) ិ S2){

23x1≡4y1+23y2(mod 26)

23x2≡19y1+11y2(mod 26)

(x1;x2)ិ

S2) ិ

S3){ x

1≡16y1+y2(mod 26)

x

2≡11y1+5y2(mod 26)

(x1;x2)ិ (S3) ិ (S1) x 1 x 2) x1 x2 x 1 x 2) y 1 y 2) y 1 y 2) 3 1 5 2)( x 1 x 2) C=( 3 1 5 2) y 1 y 2) z 1 z 2) z

1≡y1(26)0⩽z1⩽25

z

2≡y2(26)0⩽z2⩽25

z 1 z 2) 17 4) 55
93)
3 15) 17 4) 55
93)
3 15) x1,x2,x′1,x′2 ( x 1 x 2) x′1 x′2) z 1 z 2)

3x1+x2≡3x′1+x′2(26)

5x1+2x2≡5x′1+2x′2(26).

x1≡x′1(26)x2≡x′2(26) x1=x′1x2=x′2 ិ C′=( 2-1 -5 3) C y 1 y 2) y 1 y 2) 2-1 -5 3)( 3 15) x 1 x 2) x

1≡y1(26)0⩽x1⩽25

x

2≡y2(26)0⩽x2⩽25

z1z2 x1x2 z 1 z 2) y′1y′2 ( y′1 y 2) =C′( z 1 z 2)

C′=(

2-1 -5 3) x1x2 { x

1≡y′1(26)0⩽x1⩽25

x

2≡y′2(26)0⩽x2⩽25

3x1+x2≡z1(26)

5x1+2x2≡z2(26).

nN n

2≡N-1N.

n×n3≡1N k1 5k1≡126 k 0⩽k⩽255k≡126 A=( 4 1 3 2) , B=( 2-1 -3 4) , X=( x 1 x 2) Y=( y 1 y 2) 6A-A2

A A-1

A-1=αI+βA αβ

ិ B=5A-1

AX=Y 5X=BY

X=( x 1 x 2) x1 x2 • X Y=( y 1 y 2) Y=AX

Y R=(

r 1 r 2) r1 y1 r2 y2 r1r2 →X( 14 20) →Y=( 76
82)
→R=( 24
4)

X Y=(

y 1 y 2) Y=AX

5x1=2y1-y2

5x2= -3y1+4y2.

x

1≡16y1+5y2

x

2≡15y1+6y226

M=

1 1 1 1-1 1 I= 1 0 0 0 1 0

M2 M3=

20 10 11

12 2 9

ិ M3=M2+8M+6I

M M-1=1

6 (M2-M-8I) abc y=ax2+bx+c (-1 ;-1) abc M a b 1 -1 abc ិ abcpqr (O;⃗ı,⃗ȷ) (1 ;p) (-1 ;q) (2 ;r) pqr y=ax2+bx+c a b =M-1 p q  abc -3p+q+2r≡0[6]

3p-3q≡0[6]

6p+2q-2r≡0[6]

q-r≡0[3] p-q≡0[2] q-r≡0[3] p-q≡0[2] abc y=ax2+bx+c

2r+q-3p=0

p=7 qrabc y=ax2+bx+c

N n

N=1+2+...+n

10=1+2+3+4

n

1+2+...+n=n(n+1)

2 36

1+2+...+n

p n2+n-2p2=0

1+2+...+n

p (2n+1)2-8p2=1 x

2-8y2=1,

xy (x;y) xy xy A=( 3 8 1 3) ិ x′y′ ( x′ y =A( x y) x′y′ x y

A-1 xy x′y′

(x;y) (x′;y′) (xn)(yn)ិ x0=3y0=1 n( x n+1 y n+1) =A( x n yquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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