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La deuxième partie du tome III du Cours de mathématiques supérieures do Vladimir Smirnov que nous offrons au lecteur français Dans le cours de calcul.
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Classe de MathématiquesSupérieures
Cours de Mathématiques
Table des matières
0 Fondements des mathématiques9
0.1 Logique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
0.1.1 Assertions, théorèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
0.1.2 Connecteurslogiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
0.1.3 Quelques tautologies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
0.1.4 Modes de raisonnement en mathématiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
0.2 Ensembles, prédicats et quantificateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
0.2.1 Généralités sur les ensembles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
0.2.2 Prédicats et quantificateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
0.2.3 Sous-ensemblesdéfinis par un prédicat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
0.2.4 Opérations sur les parties d"un ensemble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
0.3 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
0.3.1 Le produit cartésien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
0.3.2 Fonctions et applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
0.3.3 Injectivité, surjectivité, bijectivité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
0.3.4 Relations d"équivalence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1 Ensembles Finis etDénombrements35
1.1 Théorème de Récurrence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.1.1 L"ensembleNdes entiers naturels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.1.2 Raisonnementspar recurrence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.1.3 SuitesDéfinies par Récurrence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.1.4 NotationsΣetΠ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.2 Ensembles finis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.2.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.2.2 Partiesd"un ensemble fini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.3 Dénombrements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.3.1 Unions et intersections d"ensembles finis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.3.2 Produits cartésiens d"ensembles finis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.3.3 Applicationsentre ensembles finis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2 Structures AlgébriquesConstructiondeZetQ53
2.1 Les entiers relatifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.1.1 ConstructiondeZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.1.2 Structurede groupe additif deZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.1.3 Relation d"ordre surZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3 MathématiquesSupérieuresTable des Matières2.1.4 Structured"anneau surZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2 ConstructiondeQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.3 Complémentsde vocabulaire sur les structures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.3.1 Sous-groupes et morphismesde groupes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.3.2 Sous-anneaux et morphismesd"anneaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.3.3 Règles de calcul dans un anneau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3 Arithmétiquedes Entiers Relatifs77
3.1 Étude des sous-groupes deZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.1.1 PGCD et PPCM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.1.2 La division euclidienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.1.3 Sous-groupes deZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.2 Le théorème de Bezout et ses conséquences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.2.1 Théorème de Bezout. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.2.2 Les théorèmes de Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2.3 Relation entre PGCD et PPCM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.3 Nombres premiers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4 Introduction à l"algèbre linéaire89
4.1 Espaces Vectoriels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.1.1 Définition et exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.1.2 Règles de calcul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.1.3 Sous-espaces vectoriels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.1.4 Sous-espace engendré par une partiede E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.1.5 Somme de deux sous-espaces vectoriels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.1.6 Sous-espaces en somme directe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.2 Applications linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.2.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.2.2 Noyau et image. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.2.3 Formes linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2.4 Endomorphismesparticuliers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.2.5 Équations linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5 Polynômesà une indéterminée105
5.1 L"algèbre des polynômes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.1.1 Suites à support fini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.1.2 Structured"espace vectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.1.3 Structured"algèbre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.1.4 Indéterminée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.1.5 Composition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2 StructuremultiplicativedeK[X]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.2.1 Éléments inversibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.2.2 Divisibilité dansK[X]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.2.3 Division euclidienne dansK[X]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.3 Racines d"un polynôme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.3.1 Fonctions polynomiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.3.2 Racines d"un polynôme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4 MathématiquesSupérieuresTable des Matières5.4 Dérivation et racines multiples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.4.1 Dérivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.4.2 Racines multiples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.5 Polynômes scindés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.5.1 Le théorème de d"Alembert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.5.2 Relations entre coefficients et racines d"un polynômescindé. . . . . . . . . . 124
5.6 Arithmétiquedes polynômes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.6.1 PGCD et PPCM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.6.2 Les théorèmes de Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.6.3 Preuve du théorème 2.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6 Fractions Rationnelles135
6.1 Le corpsK(X). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.1.1 Rappels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.1.2 Degré d"une fraction rationnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.1.3 Représentationirréductibled"une fraction rationnelle. . . . . . . . . . . . . . 137
6.1.4 Zéros et pôles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.1.5 Composition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.1.6 Conjugaison. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.2 Décomposition en éléments simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.2.1 Division suivant les puissances croissantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.2.2 Étude théorique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.2.3 Pratique de la décompositionsurC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.2.4 Pratique de la décompositionsurR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
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