[PDF] Fonctions circulaires et hyperboliques inverses 1 Fonctions

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Biblioth`eque d"exercices

´Enonc´es

L1Feuille n◦14Fonctions circulaires et hyperboliques inverses

1 Fonctions circulaires inverses

Exercice 1Une statue de hauteursest plac´ee sur un pi´edestal de hauteurp.`A quelle distance

doit se placer un observateur (dont la taille est suppos´ee n´egligeable) pour voir la statue sous

un angle maximal? Exercice 2D´emontrer les in´egalit´es suivantes :

Arcsina >a⎷1-a2si 0< a <1;

Arctana >a1 +a2sia >0.

Exercice 3

´Ecrire sous forme d"expression alg´ebrique

sin(Arccosx),cos(Arcsinx),sin(3Arctanx). Exercice 4R´esoudre les ´equation suivantes :

Arcsinx= Arcsin25

+ Arcsin35 ,Arccosx= 2Arccos34

Arctanx= 2Arctan12

Exercice 5V´erifier

Arcsinx+ Arccosx=π2

,Arctanx+ Arctan1x = sgn(x)π2

2 Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses

Exercice 61. Montrer qu"il n"existe pas de fonctionf: [1;+∞[→Rv´erifiant : ?x?R,f(chx) =ex.

2. D´eterminer toutes les fonctionsf:R+?→Rtelles que :

?x?R,f(ex) = chx.

Pr´eciser le nombre de solutions.

3. D´eterminer toutes les fonctionsf:R+→Rtelles que :

?x?R,f(ex) = chx. Pr´eciser le nombre de solutions; y a t-il des solutions continues surR+? 1

Exercice 7Calculer :

lim x→∞ex(ch3x-sh3x) et limx→∞(x-ln(chx)).

Exercice 8Les r´eelsxety´etant li´es par

x= ln? tan?y2 +π4 calculer chx,shxet thxen fonction dey. Exercice 9R´esoudre l"´equationxy=yxo`uxetysont des entiers positifs non nuls. 2

Biblioth`eque d"exercicesIndications

L1Feuille n◦14Fonctions circulaires et hyperboliques inverses Indication 1Faire un dessin. Remarquer que maximiser l"angle d"observationαrevient `a maximiser tanα. Puis calculer tanαen fonction de la distance et ´etudier cette fonction.

Indication 2On pourra ´etudier les fonctions d´efinies par la diff´erence des deux termes de

l"in´egalit´e. Indication 3Il faut utiliser les identit´es trigonom´etriques classiques. Indication 4On compose les ´equations par la bonne fonction, par exemple sinus pour la premi`ere.

Indication 5Faire une ´etude de fonction.

Indication 61. Regarder ce qui se passe en deux valeurs oppos´eesxet-x.

2. PoserX=ex.

Indication 9Montrer que l"´equationxy=yxest ´equivalente `alnxx =lnyy , puis ´etudier la fonctionx?→lnxx 1

Biblioth`eque d"exercicesCorrections

L1Feuille n◦14Fonctions circulaires et hyperboliques inverses Correction 1On notexla distance de l"observateur au pied de la statue. On noteαl"angle d"observation de la statue seule, etβl"angle d"observation du piedestal seul. Nous avons le deux identit´es : tan(α+β) =p+sx ,tanβ=px En utilisante la relation tan(α+β) =tanα+tanβ1-tanα·tanβon obtient tanα=sxx

2+p(p+s).

Maintenant l"angleα?[0,π2

[ et la fonction tan est croissante sur cet intervalle, donc maximiserα est ´equivalent `a maximiser tanα.´Etudions la fonctionf(x) =sxx

2+p(p+s)d´efinie surx?[0,+∞[.

Apr`es calculsf?ne s"annule qu"enx0=?p(p+s) qui donne le maximum def(en 0 et +∞ l"angle est nul). Donc la distance optimiale de vision estx0=?p(p+s). En compl´ement on peut calculer l"angle maximumα0correspondant : par la relation tanα0= f(x0) =s2 ⎷p(p+s), on obtientα0= arctans2 ⎷p(p+s). Correction 21. Soitf(a) = Arcsina-a⎷1-a2sur ]0,1[,f?(a)?0 (faite le calcul!) doncf est strictement croissante etf(0) = 0 doncf(a)>0 pout touta?]0,1[.

2.g(a) = Arctana-a1+a2alorsg?(a) =11+a2-1+a2(1+a2)2=2a2(1+a2)2>0 Doncgest strictement

croissante etg(0) = 0 doncgest strictement positive sur ]0,+∞[. Correction 31. sin2y= 1-cos2ydonc siny=±?1-cos2y. Donc sinarccosx= ±⎷1-cos2arccosx=±⎷1-x2et comme arccosx?0 on a sinarccosx= +⎷1-x2.

2. De la mˆeme mani`ere cosarcsinx= +⎷1-x2.

3. On utilise 1+tan

2x=1cos

2x=11-sin2xce qui permet d"avoir sin2x= 1-11+tan

2x. Ensuite

on calcule tan3yen utilisant deux fois la formule de tan(a+b) on trouve tan3y=

3tany-(tany)31-3(tany)2. Cela permet d"avoir

sin(3arctanx) = 4x(1 +x2)3/2-x⎷1 +x2. Correction 41. En prenant le sinus de l"´equation Arcsinx= Arcsin25 +Arcsin35 on obtient x= sin(Arcsin25 + Arcsin35 ), doncx=25quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5

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