[PDF] Terminale ES – Exercices sur « Logarithmes et opérations » - Corrigés





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FONCTION LOGARITHME NEPERIEN EXERCICES CORRIGES

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3+ln 3=3ln 2+ln3 donc 3 ln 2+ln 3=ln 24 . b) Pour prouver cette égalité



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Terminale ES - Exercices sur " Logarithmes et opérations » - Corrigés

Exercice 1 : A=ln16=ln24 A=4ln2B=ln1

32=ln1

25=ln2?5 B=?5ln2

C=1

2ln16=1

2×4ln2 C=2ln2D=?ln8=?ln23 D=?3ln2

Exercice 2 : A=ln1000=ln(103)=3ln10=3ln(2×5)=3(ln2+ln5)A=3ln2+3ln5

C=ln825=ln(

23

52)=ln(23)?ln(52)C=3ln2?2ln5

D=ln(0,025)=ln(

25

1000)=ln(

52

103)=ln(

52
(2×5)3)=ln( 52

23×53)=ln(

1

23×5)=?ln(23×5)=?ln(23)?ln5

D=?3ln2?ln5

Exercice 3 : Rappel : pour prouver une égalité A=B, on peut transformer l'écriture de A pour obtenir B,

transformer l'écriture de B pour obtenir A, ou encore calculer A et B à part et trouver une même expression C.

a) ln(24)=ln(8×3)=ln8+ln3=ln23+ln3=3ln2+ln3, donc 3ln2+ln3=ln24.

b) Pour prouver cette égalité, essayons d'exprimer chacun des deux membres en fonction de ln 2 :

Commençons par le second membre, le plus simple : ln( 1

2)=ln2?1=?ln 2

Passons au premier membre :

2ln 1

4+3ln 2=2ln1

22+3ln2=2ln(2?2)+3ln2=?4ln2+3ln2=?ln 2

On a bien :

2ln1

4+3ln 2=ln1

2 c) 2ln100?3ln10+ln1000=2ln102?3ln10+ln103=4ln10?3ln10+3ln10=4ln10.

On a bien : 2ln100?3ln10+ln1000=4ln10

Exercice 4 : A=1

2ln25?2ln2=1

2×ln52?2ln2=ln5?ln22=ln(5

22)A=ln(

5 4).

B=ln32+ln1

3?ln2 B=ln(32×1

3÷2) B=ln(

32

3×2)B=ln16

3

Exercice 5 : a) x=3ln2=ln(23)=ln8 ; y=2ln3=ln(32)=ln9. 8<9 et la fonction logarithme népérien est

strictement croissante donc elle conserve l'ordre sur ]0;+∞[. Donc ln82)=ln(2,5) ; y=ln12?ln5=ln( 12

5)=ln(

24

10)=ln(2,4).

Comme

2,4<2,5 et comme la fonction ln est strictement croissante donc conserve l'ordre sur ]0;+∞[,

ln(2,4)2)=ln7?ln 2. Donc ln3,5≈1,9?0,7, soit ln3,2≈1,2. c) ln24,5=ln( 49

2)=ln(

72

2)=2ln7?ln2, donc ln24,5≈2×1,9?0,7=3,8?0,7, ln24,5≈3,1.

Exercice 8 : a) lne5?2lne2=5lne?4lne=5×1?4×1=5?4=1. Donc lne5?2lne2=1. b) 3lne?3+1

2lne10=3×(?3)lne+1

2×10lne=?9×1+5×1=?9+5=?4, donc 3lne?3+1

2lne10=?4.

Exercice 9 : A=ln(e?5)+3eln5=?5lne+3×5=?5×1+15 A=10 B=1 2lne

0,5?lne?4=1

2×0,5lne+4lne=1

4×1+4×1=1

4+4B=4,25 ou B=17

4. C =e 1

2ln8+1=eln⎷8+lne=eln⎷8×eC=e⎷8 ou C=2e⎷2.

D =e2+ln2 e1?ln2 Rappel : e a eb=ea?b. Donc D=e2+ln2?(1?ln2)=e1+2ln2=elne+ln22=eln(e×4), D=4e. E =e2ln3 e3ln2E=e2ln3?3ln2=eln32?ln23=e ln( 32
23)=e
ln98E=9 8.

Exercice 10 : A=ln(

e5 e3)=ln(e5?3)=ln(e2)A=2

B=ln⎷e?ln(

1 ⎷e) B=ln(e 1

2)?ln(e

?12)B=1 2?(?1 2)B=1 C=ln( e3

5)+ln5=ln(e3)?ln5+ln5=3lneC=3

D=2ln7?ln(

49
e3)=2ln7?[ln 49?lne3]=2ln7?ln72+3=2ln7?2ln7+3D=3

E=eln3+1=eln3+lne=eln(3e)E=3e

Terminale ES - Exercices sur " logarithmes et opérations », corrigé, page 2/4

F=e?ln2+ln3=eln3?ln2=e

ln( 3 2)F=3 2

G=ln(9?8)G=ln1G=0

H=ln(⎷7)+ln(2⎷7+3

⎷7)H=ln[⎷7×(2⎷7+3 ⎷7)]H=ln(2×7+3⎷7 ⎷7)

H=ln(14+3)H=ln17

Exercice 11 : A(x)=ex?ln(2x).

A(x) est défini sur ]0;+∞[ car ln(2x) existe si et seulement si 2x>0 soit x>0.

Pour tout

x de ]0;+∞[, A(x)=ex eln(2x), soit A(x)=ex 2x.

Remarque

: a priori, e x

2x est défini sur ℝ* , mais si on veut pouvoir l'écrire sous la forme ex?ln(2x), il faut se

restreindre à x ? ℝ+?. B(x)=ex+lnx×elnx?x B(x) est définie pour x>0, donc sur ℝ+?.

Pour tout

x de ]0;+∞[, B(x)=ex+lnx+lnx?x, B(x)=e2lnx=eln(x2), B(x)=x2.

A priori,

x2 est défini pour tout x ? ℝ, mais l'expression de départ de B(x) nous oblige à nous restreindre à

x ? ℝ+?.

C(x)=elnx+1

elnx?1. C(x) est défini pour x ? ℝ+? afin que lnx soit défini. Le dénominateur elnx?1 est non-nul

(et même strictement positif) dès lors que lnx est défini, puisque la fonction exponentielle est définie sur ℝ à valeurs strictement positives.

Pour tout

x de ℝ+?, C(x)=elnx+1?(lnx?1), C(x)=e2.

Exercice 12 : a) ln(ex+1)?x=ln(1+e?x)

Le premier membre est défini sur ℝ, car pour tout x ? ℝ, ex>0 donc ex+1>1>0. L'expression à l'intérieur

du logarithme est bien strictement positive.

Le second membre est défini sur

ℝ aussi, car pour tout x ? ℝ, e?x>0 donc 1+e?x>1>0.

Vérifions maintenant l'égalité :

Pour tout

x ? ℝ, ln(1+e?x)=ln(1+1 ex)=ln( ex+1 ex)=ln(ex+1)?ln(ex)=ln(ex+1)?x.

On a bien, pour tout x

? ℝ, ln(ex+1)?x=ln(1+e?x). b) ln( 1+ex ex?1)=ln( 1+e?x

1?e?x).

Le premier membre est défini si et seulement si ex?1≠0 (dénominateur non nul) et 1+ex ex?1>0 (expression Terminale ES - Exercices sur " logarithmes et opérations », corrigé, page 3/4 dans le logarithme strictement positive).Le numérateur

1+ex est strictement positif pour tout x réel. Donc 1+ex

ex?1 est du signe de ex?1. Or ex?1>0 ? ex>1 ? ex>e0 ? x>0 car la fonction exponentielle est strictement croissante donc elle conserve l'ordre sur

Remarque :

ex?1=0 ? x=0. Le premier membre est donc défini pour x>0.

Le second membre,

ln 1+e?x

1?e?x), est défini pour 1?e?x≠0 et pour 1+e?x

1?e?x>0.

1?e?x=0 ? 1=e?x ? e0=e?x ? 0=?x ? x=0.

Pour tout x ? ℝ, e?x>0 donc 1+e?x>1>0. 1+e?x

1?e?x est donc du signe de 1?e?x.

Or

1?e?x>0 ? 1>e?x ? e0>e?x ? 0>?x ? 0 Le second membre est donc lui aussi défini sur ]0;+∞[.

Prouvons maintenant l'égalité

ln 1+ex ex?1)=ln( 1+e?x

1?e?x) pour tout x de ]0;+∞[.

? x ? ℝ+?, ln(quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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