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EURIA
Octobre 2014
Introduction aux
mathématiques financièresOctobre 2014Version 1.0
Aymric Kamega Actuaire
aymric.kamega@univ-brest.fr 22014EURIA
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Octobre 2014
Untauxpeutcommeleprixdemaisaussicomme
unitéderichesseen0(dansleprésent). future. 52014EURIA
Octobre 2014
ducrédit. directementquelestauxdirecteurs). 62014EURIA
Octobre 2014
SOMMAIRE
Mathématiques
financières1.Intérêts et emprunts directs
2.Marchés de base
3.Marchés dérivés I : généralités
4.Marchés dérivés II : évaluation des
options par le modèle binomial 72014EURIA
Octobre 2014
1.1.Intérêtssimples
(celuiduprêteurestsymétrique).I = CrT
"exact/360»,etc.).1. Intérêts et emprunts directs
82014EURIA
Octobre 2014
1.2.Intérêtscomposés
lespériodesultérieures.1. Intérêts et emprunts directs
92014EURIA
Octobre 2014
proportionneletractletauxactuariel): (1 + rpT)= (1+ ract)T tauxactuariel,etviceversa. sontpassuruneduréedifférentedeT.1. Intérêts et emprunts directs
102014
EURIAOctobre 2014
1. Intérêts et emprunts directs
112014
EURIAOctobre 2014
1.5.Valeuracquiseetvaleuractualisée
tauxr,lavaleuracquiseestdonnéepar:F= C(1+rpT) si le taux est proportionnel ;
= C(1+ract)Tsi r le taux est actuariel. disponibleenT):C= F / (1+rpT) si le taux est proportionnel ;
= F / (1+ract)Tsi le taux est actuariel.1. Intérêts et emprunts directs
122014
EURIAOctobre 2014
1.6.Séquencedeflux:VANettauxactuariel
VAN = F0+ F1(1+r)-1+ F2(1+r)-2T(1+r)-T
quiannulelaVANdelaséquencedeflux. autauxderendementminimalrsouhaitépar.1. Intérêts et emprunts directs
132014
EURIAOctobre 2014
composésuniquement. a(1+r)T-1+ a(1+r)T-2T-1) / r ]Lavaleuractuelle:
a(1+r)-1+ a(1+r)-2r)-T= a [ (1-(1+r)-T) / r ] acquisesetactuellesci-dessuspar(1+r).1. Intérêts et emprunts directs
142014
EURIAOctobre 2014
1.8.Empruntsindivis
emprunteur.Onenprésentetroistypesici: -avecremboursementinfine; -avecamortissementconstantducapital; -parannuitésconstantes.1. Intérêts et emprunts directs
152014
EURIAOctobre 2014
1.8.Empruntsindivis
ducapitalestdanscecas:1. Intérêts et emprunts directs
PériodeCapital dû en
début de périodeIntérêtsAmortissementsAnnuités11 000 00050 000050 000
21 000 00050 000050 000
31 000 00050 000050 000
41 000 00050 000050 000
51 000 00050 0001 000 0001 050 000
Totals.o.250 0001 000 0001 250 000
162014
EURIAOctobre 2014
1.8.Empruntsindivis
capitalestdanscecas:1. Intérêts et emprunts directs
PériodeCapital dû en
début de périodeIntérêtsAmortissementsAnnuités11 000 00050 000200 000250 000
2800 00040 000200 000240 000
3600 00030 000200 000230 000
4400 00020 000200 000220 000
5200 00010 000200 000210 000
Totals.o.150 0001 000 0001 150 000
172014
EURIAOctobre 2014
1.8.Empruntsindivis
rsurTpériodes,soit: a [ ((1+r)T-1) / r ] = C (1+r)T -(1+r)-T) / r ]-1Letableauducapitalestdanscecas:
1. Intérêts et emprunts directs
PériodeCapital dû en
début de périodeIntérêtsAnnuitésAmortissements11 000 00050 000230 975180 975
2819 02540 951230 975190 024
3629 00231 450230 975199 525
4429 47721 474230 975209 501
5219 97610 999230 975219 976
Totals.o.154 8741 154 8741 000 000
182014
EURIAOctobre 2014
1.8.Empruntsindivis
-Apducapitaldelapériodep; -apdelapièmepériode(payéeenp).Onaalors:
Ap= CpCp+1ap= rCp+ Ap
deraison1+r,soit:Ap= A1(1+r)p-1
1. Intérêts et emprunts directs
192014
EURIAOctobre 2014
SOMMAIRE
Mathématiques
financières1.Intérêts et emprunts directs
2.Marchés de base
3.Marchés dérivés I : généralités
4.Marchés dérivés II : évaluation des
options par le modèle binomial202014
EURIAOctobre 2014
lesEtatsetlescollectivitéslocales.2. Marchés de base
212014
EURIAOctobre 2014
UnTCNàcourtterme(moinsanàest:
institutionfinancière; commerciale. que.2. Marchés de base
222014
EURIAOctobre 2014
2. Marchés de base
232014
EURIAOctobre 2014
lavaleur.2. Marchés de base
242014
EURIAOctobre 2014
risquedesignaturede. sonterme). note»,laqualitédelasignaturede.2. Marchés de base
252014
EURIAOctobre 2014
obligationàtauxfixe. accepterpart.2. Marchés de base
262014
EURIAOctobre 2014
commedanslesautresemprunts. sondétenteur:2. Marchés de base
272014
EURIAOctobre 2014
titreestdéterminéepar:Danscecontextercommele"taux»envigueur
2. Marchés de base
12 121...1 1 1 1
tn t t tn t t tn tF F F FVrr r r r
TT
121 1 2 1 1
1121...11 1 1 1
tn t t tn t t tn t t F t F tn F FdVrdr rr r r r T T u282014
EURIAOctobre 2014
Calculonsmaintenantde:
S = -dV/ Vdr= -dln(V(r)) / dr
absoluede1%der. entacheuntitreàrevenusfixes.ǻV / V = -S ǻr
2. Marchés de base
292014
EURIAOctobre 2014
Posonsmaintenant:
duration,estdoncD=(1+r)/r.2. Marchés de base
12 12 112...1 1 1 1
tn t t tn t t tn t t F t F tn F FDV r V r V r V r T T302014
EURIAOctobre 2014
defaiblesvariationsdetaux,apprécie par développementdeux,approximépar:Onaalors:,enconsidérant.
2. Marchés de base
V r r V rV
VV1V dVS r rV V dr
2221
2 dV d VV r r V r r rdr dr 21
2
VS r C rV
221dVCV dr
312014
EURIAOctobre 2014
risqueetunspread: rmax= r + s2. Marchés de base
322014
EURIAOctobre 2014
E(X) = E(1 + r*) = ( 1 + rmax) [ Įp + (1 -p) ] = ( 1 + rmax) [ 1 -p(1 -Į) ] (1+r+s)[1-p(1-Į)]=1+r+ʌ+l2. Marchés de base
332014
EURIAOctobre 2014
2.4.Présentationdumarchéaction
détenteur. versementdesdividendes).2. Marchés de base
342014
EURIAOctobre 2014
2.4.Présentationdumarchéaction
lemarchédeconcernée. attendusdedividendes.2. Marchés de base
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