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2014
EURIA

Octobre 2014

Introduction aux

mathématiques financières

Octobre 2014Version 1.0

Aymric Kamega Actuaire

aymric.kamega@univ-brest.fr 22014
EURIA

Octobre 2014

financiers. Préambule : à propos des mathématiques financières 32014
EURIA

Octobre 2014

lemondedelafinance. déterminationdelavaleur.

Préambule : à propos des cours boursiers

42014
EURIA

Octobre 2014

Untauxpeutcommeleprixdemaisaussicomme

unitéderichesseen0(dansleprésent). future. 52014
EURIA

Octobre 2014

ducrédit. directementquelestauxdirecteurs). 62014
EURIA

Octobre 2014

SOMMAIRE

Mathématiques

financières

1.Intérêts et emprunts directs

2.Marchés de base

3.Marchés dérivés I : généralités

4.Marchés dérivés II : évaluation des

options par le modèle binomial 72014
EURIA

Octobre 2014

1.1.Intérêtssimples

(celuiduprêteurestsymétrique).

I = CrT

"exact/360»,etc.).

1. Intérêts et emprunts directs

82014
EURIA

Octobre 2014

1.2.Intérêtscomposés

lespériodesultérieures.

1. Intérêts et emprunts directs

92014
EURIA

Octobre 2014

proportionneletractletauxactuariel): (1 + rpT)= (1+ ract)T tauxactuariel,etviceversa. sontpassuruneduréedifférentedeT.

1. Intérêts et emprunts directs

102014

EURIA

Octobre 2014

1. Intérêts et emprunts directs

112014

EURIA

Octobre 2014

1.5.Valeuracquiseetvaleuractualisée

tauxr,lavaleuracquiseestdonnéepar:

F= C(1+rpT) si le taux est proportionnel ;

= C(1+ract)Tsi r le taux est actuariel. disponibleenT):

C= F / (1+rpT) si le taux est proportionnel ;

= F / (1+ract)Tsi le taux est actuariel.

1. Intérêts et emprunts directs

122014

EURIA

Octobre 2014

1.6.Séquencedeflux:VANettauxactuariel

VAN = F0+ F1(1+r)-1+ F2(1+r)-2T(1+r)-T

quiannulelaVANdelaséquencedeflux. autauxderendementminimalrsouhaitépar.

1. Intérêts et emprunts directs

132014

EURIA

Octobre 2014

composésuniquement. a(1+r)T-1+ a(1+r)T-2T-1) / r ]

Lavaleuractuelle:

a(1+r)-1+ a(1+r)-2r)-T= a [ (1-(1+r)-T) / r ] acquisesetactuellesci-dessuspar(1+r).

1. Intérêts et emprunts directs

142014

EURIA

Octobre 2014

1.8.Empruntsindivis

emprunteur.Onenprésentetroistypesici: -avecremboursementinfine; -avecamortissementconstantducapital; -parannuitésconstantes.

1. Intérêts et emprunts directs

152014

EURIA

Octobre 2014

1.8.Empruntsindivis

ducapitalestdanscecas:

1. Intérêts et emprunts directs

PériodeCapital dû en

début de périodeIntérêtsAmortissementsAnnuités

11 000 00050 000050 000

21 000 00050 000050 000

31 000 00050 000050 000

41 000 00050 000050 000

51 000 00050 0001 000 0001 050 000

Totals.o.250 0001 000 0001 250 000

162014

EURIA

Octobre 2014

1.8.Empruntsindivis

capitalestdanscecas:

1. Intérêts et emprunts directs

PériodeCapital dû en

début de périodeIntérêtsAmortissementsAnnuités

11 000 00050 000200 000250 000

2800 00040 000200 000240 000

3600 00030 000200 000230 000

4400 00020 000200 000220 000

5200 00010 000200 000210 000

Totals.o.150 0001 000 0001 150 000

172014

EURIA

Octobre 2014

1.8.Empruntsindivis

rsurTpériodes,soit: a [ ((1+r)T-1) / r ] = C (1+r)T -(1+r)-T) / r ]-1

Letableauducapitalestdanscecas:

1. Intérêts et emprunts directs

PériodeCapital dû en

début de périodeIntérêtsAnnuitésAmortissements

11 000 00050 000230 975180 975

2819 02540 951230 975190 024

3629 00231 450230 975199 525

4429 47721 474230 975209 501

5219 97610 999230 975219 976

Totals.o.154 8741 154 8741 000 000

182014

EURIA

Octobre 2014

1.8.Empruntsindivis

-Apducapitaldelapériodep; -apdelapièmepériode(payéeenp).

Onaalors:

Ap= CpCp+1ap= rCp+ Ap

deraison1+r,soit:

Ap= A1(1+r)p-1

1. Intérêts et emprunts directs

192014

EURIA

Octobre 2014

SOMMAIRE

Mathématiques

financières

1.Intérêts et emprunts directs

2.Marchés de base

3.Marchés dérivés I : généralités

4.Marchés dérivés II : évaluation des

options par le modèle binomial

202014

EURIA

Octobre 2014

lesEtatsetlescollectivitéslocales.

2. Marchés de base

212014

EURIA

Octobre 2014

UnTCNàcourtterme(moinsanàest:

institutionfinancière; commerciale. que.

2. Marchés de base

222014

EURIA

Octobre 2014

2. Marchés de base

232014

EURIA

Octobre 2014

lavaleur.

2. Marchés de base

242014

EURIA

Octobre 2014

risquedesignaturede. sonterme). note»,laqualitédelasignaturede.

2. Marchés de base

252014

EURIA

Octobre 2014

obligationàtauxfixe. accepterpart.

2. Marchés de base

262014

EURIA

Octobre 2014

commedanslesautresemprunts. sondétenteur:

2. Marchés de base

272014

EURIA

Octobre 2014

titreestdéterminéepar:

Danscecontextercommele"taux»envigueur

2. Marchés de base

12 12

1...1 1 1 1

tn t t tn t t tn t

F F F FVrr r r r

T

T

12

1 1 2 1 1

1

121...11 1 1 1

tn t t tn t t tn t t F t F tn F FdVrdr rr r r r T T u

282014

EURIA

Octobre 2014

Calculonsmaintenantde:

S = -dV/ Vdr= -dln(V(r)) / dr

absoluede1%der. entacheuntitreàrevenusfixes.

ǻV / V = -S ǻr

2. Marchés de base

292014

EURIA

Octobre 2014

Posonsmaintenant:

duration,estdoncD=(1+r)/r.

2. Marchés de base

12 12 1

12...1 1 1 1

tn t t tn t t tn t t F t F tn F FDV r V r V r V r T T

302014

EURIA

Octobre 2014

defaiblesvariationsdetaux,apprécie par développementdeux,approximépar:

Onaalors:,enconsidérant.

2. Marchés de base

V r r V rV

VV

1V dVS r rV V dr

22
21
2 dV d VV r r V r r rdr dr 21
2

VS r C rV

2

21dVCV dr

312014

EURIA

Octobre 2014

risqueetunspread: rmax= r + s

2. Marchés de base

322014

EURIA

Octobre 2014

E(X) = E(1 + r*) = ( 1 + rmax) [ Įp + (1 -p) ] = ( 1 + rmax) [ 1 -p(1 -Į) ] (1+r+s)[1-p(1-Į)]=1+r+ʌ+l

2. Marchés de base

332014

EURIA

Octobre 2014

2.4.Présentationdumarchéaction

détenteur. versementdesdividendes).

2. Marchés de base

342014

EURIA

Octobre 2014

2.4.Présentationdumarchéaction

lemarchédeconcernée. attendusdedividendes.

2. Marchés de base

101
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