[PDF] Feuille dexercices n 2 : Alg`ebre linéaire (matrices applications

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Universit´e Paris DiderotMI2 - Ann´ee 2010/11

D´epartement de Sciences ExactesL2 Info

Feuille d"exercices n

◦2 : Alg`ebre lin´eaire (matrices, applications lin´eaires, dimension, rang)

On noteIn:=((((1 0...0

0 1...0

0... ...0

0 0...1))))

la matrice identit´e de taillen×n.

CALCUL MATRICIEL

Exercice 1SoitA=?a b

c d? une matrice 2×2; on d´efinit satracepar Tr(A) =a+det sond´eterminantpar det(A) =ad-bc.

1. V´erifier l"´equation (th´eor`eme de Cayley-Hamilton endimension deux) :

A

2-Tr(A)A+ det(A)I2= 0.

2. Posons

˜A=?d-b

-c a? ; montrer que pour toute matriceAon a l"´egalit´e :A˜A=˜AA= det(A)I2.

3. Montrer queAest inversible si et seulement si det(A)?= 0 et que, dans ce cas :

A -1=1 det(A)? a-b -c a?

4. Supposons queA2= 0 (on dit queAestnilpotente), montrer que Tr(A) = 0 et det(A) = 0.

5. Montrer que pourAetBmatrices carr´ees de taille 2×2 on peut avoirAB?=BAmais qu"on a toujours

Tr(AB) = Tr(BA).

Exercice 2SoitA,Bdeux matricesn×ntelles queAB=In.

1. Montrer queAetBsont des matrices inversibles.

2. Montrer queBA=In("l"inverse `a gauche est ´egal `a l"inverse `a droite").

Exercice 3D´eterminer l"ensemble des matricesAde taille 2×2 `a coefficients r´eels telles queAtA=I2(on

donnera ´egalement une interpr´etation g´eom´etrique destransformations lin´eaires associ´ees).

Exercice 4(Quaternions) On note dans cet exercice1la matrice identit´e de taille 2×2. On d´efinit ´egalement

les matrices suivantes `a coefficients complexes :

I:=?0-1

1 0? , J:=?i0 0-i? , K:=?0i i0?

1. V´erifier les formulesI2=J2=K2=-1,IJ=-JI=K,JK=-KJ=IetKI=-IK=J.

2. Montrer ´egalement que, sia,b,c,d?R, on a

(a1+bI+cJ+dK)(a1-bI-cJ-dK) = (a2+b2+c2+d2)1

3. En d´eduire que si la matriceM=a1+bI+cJ+dKn"est pas nulle, elle est inversible.

Exercice 5SoitA= ((ai,j))1?i?m,1?j?nune matrice de taillem×n, on d´efinit latranspos´eedeApar la

formule tA= ((bj,i))1?j?n,1?i?m,avecbj,i=ai,j

(noter que c"est une matrice de taillen×m). Montrer quet(A.B) =tB.tAet, siAest carr´ee inversible

t?A-1?= (tA)-1. En d´eduire que, siAetBsont carr´ees et inversibles on a l"´egalit´et(A.B)-1=tA-1.tB-1.

IMAGE, NOYAU, RANG

Exercice 6Soit l"application lin´eaire deR3dansR3d´efinie par : f(x,y,z) = (2y-z,z-2x,x-y).

1. Discuter, selon les valeurs des param`etresa,b,c, les solutions du syst`eme lin´eaire

?2y-z=a z-2x=b x-y=c(S)

2. En d´eduire des ´equations et des bases de Ker(f) et de Im(f).

3. Montrer que les vecteursb1:= (1,1,2),b2:= (1,-1,0) etb3:= (1,1,-1) forment une base deR3et donner

la matrice defdans cette base. (On pourra commencer par calculerf(b1),f(b2) etf(b3) en fonction de b

1,b2,b3).

Exercice 7Soitu:E→Eun endomorphisme d"un espace vectorielEde dimension finie.

1. Montrer les inclusions de sous-espaces vectoriels

Ker(u)?Ker(u2)?Ker(u3)?...

2. Montrer queuenvoie le sev Ker(u2) dans le sev Ker(u)∩Im(u).

3. Montrer que l"applicationu:Ker(u2)→Ker(u)∩Im(u) est surjective.

4. En d´eduire l"in´egalit´e :

dimKer(u2)?2dimKer(u) et donner un exemple o`u dimKer(u2) = 2dimKer(u) Exercice 8On d´efinit l"application lin´eaireu:R3→R3par : u(x,y,z) = (x+ 6y-z,x+z,x-3y+ 2z). On noteidl"application lin´eaire "identit´e" deR3dansR3.

1. Ecrire la matriceAdeudans la base canoniquee1:= (1,0,0),e2:= (0,1,0),e3:= (0,0,1).

2. Donner une base de Im(u) et une ´equation de Im(u).

3. Montrer que les sous-espaces vectoriels Ker(u) et Ker(u-3id) sont de dimension 1; donner un vecteur

formant une base de chacun de ces sous-espaces.

4. Calculer la matrice deu2et en d´eduire que Ker(u2) est un sous-espace de dimension 2, contenant Ker(u).

5. Construire une base f

1, f2, f3deR3telle que f1soit une base de Ker(u-3id), f2une base de Ker(u) et

{f2,f3}une base de Ker(u2). Comment s"´ecrit la matriceBdeudans cette nouvelle base? Exercice 9SoitEun espace vectoriel de dimension 3 etfun endomorphisme deEtel quef?= 0 maisf2= 0.

1. Montrer que Im(f) est inclus dans Ker(f) et en d´eduire le rang def.

2. Soite3un vecteur deEtel quef(e3)?= 0. On posee2=f(e3), montrer qu"on peut choisir un vecteure1

dans Ker(f) non colin´eaire avece2.

3. En d´eduire queB={e1,e2,e3}est une base deEet ´ecrire la matrice defdans cette base.

4. (Exemple) Soitfl"endomorphisme deR3dont la matrice dans la base canonique est

A=(( -3-6 3 2 4-2

1 2-1))

V´erifier queA2= 0, choisir les vecteurse1,e2ete3comme ci-dessus et ´ecrire la matrice de passage de la

base canonique vers la baseB={e1,e2,e3}. Exercice 10On consid`ere dansR4les vecteurs lignese1= (1,0,1,0),e2= (-1,1,1,1),e3= (2,3,4,0) ainsi quef1= (-1,2,-3,1),f2= (-1,2,1,3),f3= (-1,2,5,-1). On poseE=?e1,e2,e3?etF=?f1,f2,f3?.

1. Calculer dim(E) et dim(F).

2. Trouver des ´equations et une base deE∩F.

3. Extraire une baseR4de{e1,e2,e3,f1,f2,f3}.

Exercice 11Soitf(x,y,z) = (-x+y+z,-6x+ 4y+ 2z,3x-y+z).

1. D´eterminer la matriceAdefdans la base canonique deR3et v´erifier queA2= 2A.

2. Montrer que siv?Im(f) alorsf(v) = 2v.

3. Montrer que Ker(f) et Im(f) sont suppl´ementaires.

4. D´eterminer une base de Ker(f) et Im(f), et, siB={e1,e2,e3}est la base deR3form´ee par la r´eunion de

ces bases (de Ker(f) et Im(f)), ´ecrire la matrice defdans la baseB.

Exercice 12On notee1,e2,e3la base canonique deR3. Soitf:R3→R3l"application lin´eaire dont la matrice

dans la base canonique est donn´ee par A:=((

15-11 5

20-15 8

8-7 6))

Soiente?1= 2e1+ 3e2+e3,e?2= 3e1+ 4e2+e3ete?3=e1+ 2e2+ 2e3.

1. Montrer quee?1,e?2,e?3est une base deR3.

2. Calculerf(e?1),f(e?2) etf(e?3) et en d´eduireBla matrice defdans la basee?1,e?2,e?3.

3. Ecrire la matrice de passage (que l"on noteraP) de la basee1,e2,e3`a la basee?1,e?2,e?3; calculerP-1.

4. Ecrire la formule g´en´erale reliantA,BetPet faire la v´erification de la formule obtenue.

5. CalculerB4etA4.

Exercice 13Soitd?N?etE=Edl"espace vectoriel des polynˆomes de degr´e< d. Soienta1< a2<···< ad

des r´eels distincts. On d´efinit les polynˆomes P j(X) =d? i= 1 i?=j(X-ai) (aj-ai)pour 1?j?d.

1. V´erifier quePj(ai) = 0 sii?=jetPj(aj) = 1. En d´eduire que lesPjforment une base deE.

2. Montrer que pour tousb= (b1,...,bd)?Rdil existe un unique polynˆomeP?Etel queP(ai) =bipour

1?i?d.

Exercice 14Soituun endomorphisme deEespace vectoriel de dimensionn, tel queu2=id.

1. Soitx?E, montrer que le vecteurx1:=u(x) +x(resp.x2:=x-u(x)) v´erifieu(x1) =x1(resp.

u(x2) =-x2).

2. Montrer que

E= Ker(u-id)?Ker(u+id).

3. En d´eduire l"existence d"un entiers?[0,n] et d"une base deEdans laquelle la matrice deus"´ecrit :

?Is0

0-In-s?

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