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Exercice 1: problème de maximisation de lutilité
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Microeconomie 2, DEMI2E Universite Paris-Dauphine
Cours de VincentIehleAnnee 2013-2014
FEUILLES D'EXERCICES
1Table des matieres
1 Le consommateur2
2 Economies d'echange 4
3 Optimalite de Pareto 6
4 Economies avec production 8
5 Defaillances du marche : eets externes et biens publics 10
6 Annales d'examens 121. Les exercices sont a preparer d'une semaine a l'autre en suivant une liste etablie par le charge de TD. Des exercices
supplementaires, utiles pour les revisions avant les examens, sont donnes en n de chaque partie. Sauf exception, ces
exercices ne seront pas traites en cours ou TD mais chaque etudiant peut choisir de les rendre comme devoir a son charge
de TD. 11 Le consommateur
Dans les exercices qui suivent, les preferences d'un consommateur sur des paniers de 2 biens sont representees par une fonction d'utilite u:R2+!R: (x;y)!u(x;y)1.1 Fonction d'utilite Cobb-Douglas :
u(x;y) =xy1 ou 0< <11. Determiner les proprietes de la fonctionu: continuite (justier rapidement), dierentiabilite (sur
R2++), (strictement) monotone, (strictement) (quasi)-concave.
2. Representer graphiquement les courbes d'indierence du consommateur.
3. Determiner la demande du consommateurd(p;w), en fonction du prixp= (px;py) et d'un
revenuw2R+, en calculant le cas echeant le taux marginal de substitutionTMSy!x. Analyserles proprietes de cette demande et l'exprimer en fonction d'une dotation initialee= (ex;ey)2R2+du consommateur.
4. Montrer que la fonction suivante represente les m^emes preferences :u(x;y) =lnx+(1)lny.
Refaire les calculs de la question 3 en utilisant cette specication.1.2 Fonction d'utilite Leontief :
u(x;y) = min(x;y)M^emes questions que precedemment (sauf 4.).
1.3 Fonction d'utilite lineaire :
u(x;y) =ax+y oua >0M^emes questions que precedemment (sauf 4.).
1.4 Fonction d'utilite a elasticite de substitution constante :
u(x;y) = (ax+by)1 oua;b >0 et 06=1M^emes questions que precedemment (sauf 4.).
21.5 Exercice supplementaire : Fonction d'utilite a elasticite de substitution constante
(II) Dans le cas d'une fonction d'utilite a elasticite de substitution constante (exercice 1.4) :1. Montrer que pour un choix adequat de >0 les fonctions suivantes representent aussi les m^emes
preferences : (a)u(x;y) = (x+y)1 (b)u(x;y) =(x+y).2. Montrer que si= 1, on retrouve le cas d'une fonction lineaire, si!0, on retrouve une
fonction Cobb-Douglas, si! 1on retrouve une fonction Leontief (dans les 2 derniers cas utiliser les TMS ou les courbes d'indierence).3. Etant donne une fonction de demanded(p;w) = (dx(p;w);dy(p;w)), on denit l'elasticite de
substitution par xy(p;w) =@[dx(p;w)d y(p;w)]@[pxp y]p xp yd x(p;w)d y(p;w) qui mesure la sensibilite de dx(p;w)d y(p;w)a une variation depxp y. Verier que ce coecient est independant depetw(d'ou le nom).1.6 Exercice supplementaire : Non satiation
On dit que la fonction d'utilite satisfait la condition de non satiation si pour toutx2R2+il existe x02R2+telle queu(x0)> u(x).
1. Montrer que si la stricte monotonicite est veriee alors la condition de non-satiation est veriee.
2. Montrer que la contrainte de budget est saturee a la demande si la stricte monotonicite est
veriee. Cela est-il encore vrai si la fonction d'utilite satisfait la propriete de non satiation?Sinon, construire un contre-exemple.
3. On suppose que la fonction de demande pour le premier bien est donnee pardx(p;w) =wp
x. En deduire la fonction de demande pour le second bien.1.7 Exercice supplementaire : Fonction d'utilite particuliere (dicile)
On considere la fonction d'utilite suivante :
u(x;y) =x+py Determiner la demande du consommateurd(p;w) (Il est imperatif de tracer precisement les courbes d'indierences pour se donner une idee des solutions (plusieurs cas a traiter)). 32 Economies d'echange
Dans les exercices qui suivent, on considere une economie d'echange a 2 agents (1 et 2) et 2 biens (xety). Les dotations initiales des agents sont noteesei= (eix;eiy)2R2+et leurs fonctions d'utilite u i:R2+!Ri= 1;2.2.1 Fonction d'utilite Cobb-Douglas :
u1(x;y) =x13
y23 ; u2(x;y) =x23 y13 e1= (1;1); e2= (1;2)
1. Verier si l'economie possede un equilibre concurrentiel.
2. Si oui, determinerles prixetles allocationscorrespondantes.
3. Representer les dierentes quantites dans une bo^te d'Edgeworth.
2.2 Fonction d'utilite de Leontief :
u1(x;y) =u2(x;y) = min(x;y)
e1= (2;6); e2= (1;2)
M^emes questions que precedemment
2.3 Fonction d'utilite lineaire :
u1(x;y) =ax+y; u2(x;y) =x+ayou 0< a <1
e1= (1;1); e2= (1;2)
M^emes questions que precedemment
2.4 Exercice supplementaire : Fonction d'utilite a elasticite de substitution constante
u1(x;y) = (18
x2+y2)12 ; u2(x;y) = (x2+18 y2)12 e1= (1;0); e2= (0;1)
M^emes questions que precedemment (En normalisant le prix du bieny, montrer que(px;1)est un prix d'equilibre si et seulement sip13 xest solution de l'equation(1z)(2z2+z+ 2) = 0).2.5 Exercice supplementaire : Preferences non convexes
Les dotations initiales des agents sonte1=e2= (1;1) et leurs fonctions d'utilite respectives : u1(x;y) =(
x13 y23 sixy x 23y13 six > y u
2(x;y) =x12
y12 41. Representer quelques courbes d'indierence du consommateur 1. Montrer que les preferences
du consommateur sont continues, strictement croissantes mais non convexes (ni dierentiables partout).2. Determiner la correspondance de demande du consommateur 1. Que se passe-t-il quandpx=py?
Representer graphiquement la demande en bienxen fonction depx, en posantpy= 1.3. Montrer que l'economie constituee des agents 1 et 2 n'a pas d'equilibre concurrentiel.
4. Considerons maintenant une economie comprenant 4 agents dans laquelle deux agents ont les
m^emes preferences et la m^eme dotation initiale que l'agent 1, tandis que les deux autres sont semblables a l'agent 2. Montrer que cette economie a un equilibre concurrentiel. Le determiner et commenter.2.6 Exercice supplementaire : Non-existence de l'equilibre
Les fonctions d'utilite sont donnees par
u1(x;y) =x+y
u2(x;y) =x
Les dotations initiales de ces deux consommateurs sonte1= (0;1) ete2= (2;1).1. Montrer qu'il n'existe pas d'equilibre concurrentiel. (Travailler graphiquement dans la boite
d'Edgeworth).2. Comment peut-on retablir l'existence de l'equilibre?
2.7 Exercice supplementaire : Unicite de l'equilibre
Les preferences du premier consommateur sont representees par la fonction d'utiliteu1(x;y) =xy et celles du deuxieme par la fonctionu2(x;y) = minfx;yg. On suppose quee1+e2= (2;4).1. Tracer la boite d'Edgeworth et tracer dans cette boite les courbes d'indierences des deux
consommateurs pour le niveau d'utilite 1.2. Soit ((px;py);(x1;y1);(x2;y2)), un equilibre concurrentiel. Montrer qu'il existe un reelt2]0;2[
tel que (x2;y2) = (t;t) et donc tel que (x1;y1) = (2t;4t).3. Montrer que le prix (px;py) est colineaire au vecteur gradient de la fonction d'utilite du premier
consommateur au point (x1;y1). En deduire que le prix (px;py) est colineaire au vecteur (4 t;2t).4. Justier pourquoi (px;py)(x1;y1) = (px;py)(e1x;e1y). En deduire quetverie l'equation suivante :
(4t)e1x+ (2t)e1y2(2t)(4t) = 05. Montrer que cette equation a toujours une unique solution appartenant a ]0;2[ (on ne cherchera
pas a calculer cette solution). En deduire que l'economie a toujours un unique equilibre.6. Calculer les allocations d'equilibre et le prix d'equilibre lorsquee1= (32
;32 ). Representer l'equilibre dans la bo^te d'Edgeworth. 53 Optimalite de Pareto
Comme dans la feuille precedente, on considere une economie d'echange a 2 agents (1 et 2) et 2 biens (xety). Les dotations initiales des agents sont noteesei= (eix;eiy)2R2+et leurs fonctions d'utiliteui:R2+!Ri= 1;2. Une allocation est designee parz= [(x1;y1);(x2;y2)].3.1 Fonction d'utilite Cobb-Douglas :
u1(x;y) =x13
y23 ; u2(x;y) =x23 y13 e1= (1;1); e2= (1;2)
z= [(1;125 );(1;351. Determiner la courbe des contrats et la representer dans une bo^te d'Edgeworth.
2. Verier si vous disposez des donnees necessaires, que les equilibres concurrentiels eventuels sont
Pareto-optimaux.
3. Le cas echeant, montrer que l'allocationzcorrespond a un equilibre concurrentiel moyennant un
transfert approprie de richesse. Determiner ce transfert.3.2 Fonction d'utilite lineaire :
u1(x;y) = 2x+y; u2(x;y) =x+ 2y
e1+e2= (1;1)
M^emes questions que precedemment
3.3 Fonction d'utilite a elasticite de substitution constante :
u1(x;y) =u2(x;y) = 2px+ 2py
e1= (12
;1); e2= (32 ;1) z= [(1;1);(1;1)]M^emes questions que precedemment
63.4 Exercice supplementaire : Fonctions d'utilite Cobb-Douglas et lineaire
u1(x;y) =x13
y23 ; u2(x;y) =x+y e1= (12
;1); e2= (32 ;1) z= [(34 ;32 ;(54 ;12M^emes questions que precedemment
3.5 Exercice supplementaire : Decentralisation
Les dotations initiales sont donnees pare1= (1;1) ete2= (1;1). Les fonctions d'utilite sont donnees par : u1(x;y) =x13
y23 u2(a;b) =x14
y341. Determiner la courbe des contrats
2. Pour des raisons d'equite, l'Etat souhaiterait privilegier l'optimum de Pareto qui garantit une
quantite egale de bienxaux deux consommateurs. De quel optimum s'agit-il?3. Pour decentraliser cet optimum, l'Etat a la possibilite d'eectuer un transfert dans les dotations
initiales en bieny. Determiner ce transfert et l'equilibre concurrentiel correspondant 74 Economies avec production
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