MÉTHODE : MONTRER QUUN TRIANGLE EST ÉQUILATÉRAL. PDF

π [π]

L'ensemble des nombres complexe est noté . a est la partie réelle de z. Re(z) ABC est un triangle rectangle isocèle direct en A. ⇔. A. B. A. C z z z z.

Outils de démonstration

-Comment démontrer qu'un triangle est un triangle rectangle ? -Comment Si un quadrilatère est à la fois un rectangle et un losange alors c'est un carré ...

NOMBRES COMPLEXES – Chapitre 4/4

b) Démontrer que le triangle est rectangle en . Correction. 1 Définition : Une racine -ième de l'unité est un nombre complexe vérifiant = 1 ...

Leçon 08 : NOMBRES COMPLEXES ET GEOMETRIE DU PLAN 1

Donc le triangle ABC est rectangle en A. Exercice de fixation 2. On⁡considère⁡les⁡points⁡A⁡B⁡et⁡C⁡d'affixes⁡respectives

Baccalauréat S Nombres complexes

21 juin 2012 et la droite ∆ passant par O et de vecteur directeur −→ w . a. Démontrer que le triangle OAB est rectangle isocèle en O.

Les similitudes

7 févr. 2011 repère orthogonal c'est à dire qu'un triangle rectangle isocèle se transforme ... De par leurs angles remarquables

Outils de démonstration

-Comment démontrer qu'un triangle est un triangle rectangle ? Si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu et sont de.

Démontrer quun triangle est rectangle isocèle Evidemment dit

Le triangle ABC est donc rectangle en B . On démontre ensuite facilement qu'il est isocèle avec le calcul de ou celui de BC avec. Pythagore.

? [?]

et i tel que i. 2. = ?1. L'ensemble des nombres complexe est noté . a est la partie réelle de z. ABC est un triangle rectangle isocèle direct en A.

Rappels : Triangle rectangle

J'utilise le théorème de Pythagore démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle. Pour s'entraîner exercice 5B . Ce triangle est-il rectangle ?

COMMENT DEMONTRER……………………

Pour démontrer qu'un point est le milieu d'un segment. On sait que I appartient au Propriété : Si un triangle est rectangle alors il est inscrit dans le.

TRIANGLES RECTANGLES ET CERCLES

Pour s'entraîner Exercice 12. 3 propriétés pour démontrer qu'un triangle est rectangle: PR1. Propriété réciproque relative cercle circonscrit à un.

Sujet du bac S Mathématiques Obligatoire 2017 - Pondichéry

Démontrer qu'il existe une valeur du réel c pour laquelle le triangle OAB est rectangle et déterminer cette valeur. 17MASOIN1. Page 3/9. Page 4. 1 freemaths .

Théorème de Thalès (révisions Pythagore)

autres en « faisant le produit des deux nombres en diagonal et en divisant Dans un triangle rectangle l'hypoténuse au carré est égale à la somme des ...

Terminale S3, année 2011-2012 NOMBRES COMPLEXESCours - Exemple²1/2MÉTHODE:MONTRER QU"UN TRIANGLE EST ÉQUILATÉRAL.

On dispose essentiellement de trois méthodes :

a) on mon treque les t roiscôtés on tmêm elong ueur; b) on mon treque le tr iangleest i socèleet qu "ila un a nglede mesur e ¼3 c) on mon trequ "undes sommets est image d "unautr esomm etpar une r otationd "angle ¼3 ou¡¼3 et de centre le troi- sième sommet. aAEp3Å2¡3i bAE¡2 cAE2p3Å2p3i On souhaite montrer que le triangleABCest équilatéral. Pour la construction des points : on commence par ob- tenir précisément une longueur de mesurep3 en traçant un arc de cercle de rayon 2 et de centreO(pour alléger la figure, je n"ai pas dessiné le repère (O,~u,~v)), comme indi- qué sur le dessin. Pour placer le pointA, on place le point de l"axe des abs- cisses d"abscisse 2Åp3 (en reportant la longueur p3 à partir de 2) puis on trace la perpendiculaire à l"axe des abscisses passant par ce point jusqu"à¡3 en ordonnée. Pour placer le pointC, on remarque que son argument est ¼4 ; il se situe donc sur la droite d"équationyAEx. On place alors sur l"axe des ordonnées le point d"ordonnée

2p3 (en reportant la longueur

p3 à partir de p3) puis on ce point jusqu"à la droite d"équationyAEx.-2-1 1 2 3⎷3⎷ 3 2 + 32
3 -3-2-11 23
ABC

3a)P remièreméth ode: on ca lculeles

distances.

BCAE¯¯c¡b¯¯

BCAE¯¯¯³

2p3Å2´

Å2p3i

BCAEr³

2p3Å2´

2Å³

2p3 2

BCAEq28Å8p3

On calcule de même les distances

ABetAC:

ACAE¯¯c¡a¯¯

ACAEr³

p3¡2´

2Å³

2p3Å3´

ABAE¯¯a¡b¯¯

ABAEr³

p3Å4´

2Å(¡3)2

On obtient le même résultat et on

conclut.b)D euxièmeméth ode: on calcul e deux distances et un angle.

On calcule par exempleABetBC

(comme précédemment), et on vérifie alors que le triangleABC est isocèle enB. Déterminons une mesure de l"angle³¡¡!BC;¡¡!BA´ a¡bc¡bAEp3Å4¡3i2 p3Å2Å2p3i a¡bc¡bAE¡ p3Å4¡3i¢¡2p3Å2¡2p3i

2p3Å2¢2Å¡2p3

¢2

¢28Å8p3

a¡bc¡bAE14Å4p3

28Å8p3

¡ip3

¡4p3Å14¢28Å8p3

a¡bc¡bAE12

¡ip3

2 d"où :³

¡¡!BC;¡¡!BA´

[2¼]³

¡¡!BC;¡¡!BA´

AEarg³12

¡ip3

2 [2¼]³

¡¡!BC;¡¡!BA´

AE¡¼3

[2¼] ce qui permet de conclure.c)T roisièmemét hode: on mont re par exemple que le pointAest l"image du pointCpar la rotation rde centreBet d"angle¡¼3

On présente ainsi : soitC0(d"affixe

0) l"image deCparr; on va cal-

culerc0, vérifier quec0AEa, ce qui prouvera queC0etAsont confon- dus et donc queAest bien l"image deCpar la rotationr.

L"écriture complexe derest

0AEe¡i¼3

(z¡b)Åb d"où c

0AEe¡i¼3

(c¡b)Åb c

0AE³12

¡p3

2 i´³

2p3Å2p3iÅ2´

¡2 c

0AEp3Å1Åp3i¡3i¡ip3Å3¡2

0AEp3Å2¡3i

c 0AEa

Aest bien l"image deCpar

rce qui donneBCAEBAet³

¡¡!BC;¡¡!BA´

´¡¼3

[2¼]; le triangle est donc équilatéral. Remarque : en pratique, on utilise plutôt la première ou la troisième méthode.

Terminale S3, année 2011-2012 NOMBRES COMPLEXESCours - Exemple²2/2MÉTHODE:MONTRER QU"UN QUADRILATÈRE EST UN CARRÉ.

On dispose ici de plusieurs méthodes, mais il faut toujours commencer par vérifier que le quadrilatère est un parallélo-

gramme (soit en prouvant que deux vecteurs sont égaux, soit en prouvant que les diagonales ont même milieu).

On peut alors prouver que le quadrilatère est un losange et qu"il a un angle droit, ou bien que le quadrialtère est un

rectangle et qu"il a deux côtés adjacents de même longueur.

On peut aussi, et c"est souvent assez rapide, prouver qu"un sommet est image d"un autre par rotation de centre un

troisième sommet et d"angle ¼2 ou¡¼2

Application.

SoitA,B,CetDles points d"affixes respectives :

AAE3¡i

BAE¡2

CAE¡1Å5i

DAE4Å4i

On commence par montrer queABCDest un parallélo- gramme. Deux méthodes : a)

M ontronsque

¡¡!BCAE¡¡!AD.

¡¡!BCAEzC¡zB

¡¡!BCAE¡1Å5iÅ2

¡¡!BCAE1Å5iz

¡¡!ADAEzD¡zA

¡¡!ADAE4Å4i¡3Åi

¡¡!ADAE1Å5i

z ¡¡!BCAEz¡¡!AD()¡¡!BCAE¡¡!AD()ABCDest un parallélo- gramme.-2-1 1 2 3 4 -11

2345O?u?v

B AC D 2-

2b) Montrons que les diagonales [AC] et [BD] ont même milieu. NotonsIle mileu de [AC] etJle milieu de [BD].

IAEzAÅzC2

AE2Å4i2

AE1Å2i et de mêmezJAEzBÅzD2

AE1Å2i.IetJsont donc bien confondus. CQFD.

On va montrer queABCDest un carré à l"aide de rotations (il n"est évidemment pas nécessaire de faire des deux façons

suivantes). a)

M ontronsqu eCest l"image deApar la rotationrde

centreBet d"angle¼2

Cette rotation a pour écriture complexe :

0AEei¼2

(z¡zB)ÅzB

NotonsA0l"image deAparr. On a donc :

A0AEei¼2

(zA¡zB)ÅzB z

A0AEi(3¡iÅ2)¡2

A0AE5i¡1

A0AEzC

Les pointsA0etCsont confondus,Cest bien

l"image deAparrce qui nous donneBAAEBCet³

¡¡!BA;¡¡!BC´

´¼2

[2¼].b)M ontronsqu eBest l"image deDpar la rotationr0de centreCet d"angle¡¼2

Cette rotation a pour écriture complexe :

0AEe¡i¼2

(z¡zC)ÅzC

NotonsD0l"image deDparr0. On a donc :

D0AEe¡i¼2

(zD¡zC)ÅzC z

D0AE¡i(4Å4iÅ1¡5i)¡1Å5i

D0AE¡2

D0AEzB

Les pointsD0etBsont confondus,Best bien

l"image deDparr0ce qui nous donneCDAECBet³

¡¡!CD;¡¡!CB´

´¡¼2

[2¼]. Quelque soit la rotation utilisée, on conclut que le parallélogrammeABCDest un losange (puisqu"il a deux côtés adjacents de même longueur) et un rectangle (puis- qu"il a un angle droit), donc un carré. Remarque : pour cette méthode il est indispensable de savoir queABCDest un parallélogramme, sans quoi on pourrait avoir la configuration ci-contre oùCest l"image deApar la rotation de centreBet d"angle¼2 mais oùABCDn"est évidem- ment pas un carré. -2-1 1 2 3 4 -11

2345O?u?v

B AC D 2quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

[PDF] MÉTHODE : MONTRER QUUN TRIANGLE EST ÉQUILATÉRAL.

On dispose essentiellement de trois méthodes :

2p3 (en reportant la longueur

3a)P remièreméth ode: on ca lculeles

BCAE¯¯c¡b¯¯

BCAE¯¯¯³

2p3Å2´

Å2p3i

BCAEr³

2p3Å2´

2Å³

BCAEq28Å8p3

On calcule de même les distances

ABetAC:

ACAE¯¯c¡a¯¯

ACAEr³

2Å³

2p3Å3´

ABAE¯¯a¡b¯¯

ABAEr³

2Å(¡3)2

On obtient le même résultat et on

On calcule par exempleABetBC

2p3Å2¢2Å¡2p3

¢28Å8p3

28Å8p3

¡ip3

¡4p3Å14¢28Å8p3

¡ip3

¡¡!BC;¡¡!BA´

¡¡!BC;¡¡!BA´

AEarg³12

¡ip3

¡¡!BC;¡¡!BA´

AE¡¼3

On présente ainsi : soitC0(d"affixe

0) l"image deCparr; on va cal-

L"écriture complexe derest

0AEe¡i¼3

0AEe¡i¼3

0AE³12

¡p3

2p3Å2p3iÅ2´

0AEp3Å1Åp3i¡3i¡ip3Å3¡2

0AEp3Å2¡3i

Aest bien l"image deCpar

¡¡!BC;¡¡!BA´

´¡¼3

Application.

SoitA,B,CetDles points d"affixes respectives :

AAE3¡i

BAE¡2

CAE¡1Å5i

DAE4Å4i

M ontronsque

¡¡!BCAE¡¡!AD.

¡¡!BCAEzC¡zB

¡¡!BCAE¡1Å5iÅ2

¡¡!BCAE1Å5iz

¡¡!ADAEzD¡zA

¡¡!ADAE4Å4i¡3Åi

¡¡!ADAE1Å5i

2345O?u?v

2b) Montrons que les diagonales [AC] et [BD] ont même milieu. NotonsIle mileu de [AC] etJle milieu de [BD].

IAEzAÅzC2

AE2Å4i2

AE1Å2i et de mêmezJAEzBÅzD2

AE1Å2i.IetJsont donc bien confondus. CQFD.

M ontronsqu eCest l"image deApar la rotationrde

Cette rotation a pour écriture complexe :

0AEei¼2

NotonsA0l"image deAparr. On a donc :

A0AEei¼2

A0AEi(3¡iÅ2)¡2

A0AE5i¡1

A0AEzC

Les pointsA0etCsont confondus,Cest bien

¡¡!BA;¡¡!BC´

´¼2

Cette rotation a pour écriture complexe :