[PDF] Banque dexercices dapplication du programme 2019 de seconde 1

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Banque d"exercices d"application du programme 2019 de seconde

1 Les nombres (diviseurs, multiples, nombres premiers, décomposition en

facteurs premiers, intervalles, encadrement, distance, ensembles

1.1 Diviseurs, multiples

Rappels de cours

DéfinitionSoientaetbdeux nombres entiers. Le nombrebest unmultipledeas"il existe un entierktel que

bAEk£a.

Les nombresaetksont desdiviseursdeb.

ExempleL"égalité 6AE2£3 fait apparaître que 6 est un multiple de 2 (et de 3) et que 2 et 3 sont des diviseurs de 6.

On peut remarquer que ce ne sont pas les seuls puisque 6AE6£1AE3£2AE(¡6)£(¡1)AE(¡3)£(¡2).

Exercice n

o1 1.

J ustifierque 9 8est un mul tiplede 1 4.

2.

T raduirecet tepr opriétéa veccha cuned esexp ressions"e stdiv iseurde» ; " a pou rdiv iseur»; "est div isible

par» ; "a pour multiple».

Exercice n

o2

Recopier et compléter les phrases suivantes et remplaçant les pointillés par "diviseur» ou "multiple».

1.

3 50e stun ... .............................de 50 .

2.

1 3est un ..... ...........................d e2 60.

3.

0 est u n.. ..............................de 89 .

4.

1 est u n.. ..............................de 16 .

5.

4 2est un ..... ...........................d e4 2.

Exercice n

o3 1.

D onnert ousles div iseursp ositifsde 11 .

2.

D onnert ousles div iseursp ositifsde 21 .

Exercice n

o4 Déterminer tous les multiples de 9 inférieurs à 50.

Exercice n

o5

On donneaAE10ketbAE6k, aveckentier.

1.

M ontrerqu eaest un multiple de 5.

2.

M ontrerqu ebest un multiple de 3.

3.

E st-ceq ue8 est u ndiv iseurd eaÅb?

Exercice n

o6

On sait que 6 est un diviseur des nombresaetb.

1.

C ommentp eut-onéc rirele snombr esaetb?

2. S oitcAEa¡b. Montrer que 6 est un diviseur dec. 3.

S oitdAEab. Montrer que 18 est un diviseur ded.

Exercice n

o7

Soient les nombresaAE4petbAE5q, avecpetqentiers.

1.J ustifierque aest pair.

2.

L en ombrebpeut-il être pair?

3.

S oitcAEab. Montrer quecest un multiple de 10.

Exercice n

o8 Soitbun nombre entier. montrer que la somme debet de deux entiers qui suiventbest un multiple de 3.

Exercice n

o9

Déterminer un nombre entier inférieur à 1 000, qui est pair, divisible par 5 et 7 et multiple de 13.

Exercice n

o10 Citer tous les multiples de 7 compris entre 100 et 150.

Exercice n

o11 Combien y a-t-il de multiples de 17 entre 1 et 100?

Exercice n

o12 (Logique) 1. M ontrerqu esi aetbsont des multiples de 11 alorsaÅbest un multiple de 11. 2. É noncerl ap ropriétéprécéden teen t ermesde divi seurs. 3. É crirela récipr oquede l apr opositiondonn éeà l aq uestion1. Est-elle vraie?

Exercice n

o13 Soitaun entier multiple de 6 etbun entier multiple de 15. 1.

M ontrerqu eaÅbest un multiple de 3.

2.

M ontrerqu ea£best un multiple de 90.

Exercice n

o14 Soientaetbdeux entiers. Montrer que siaest un diviseur deb, alorsa2est un diviseur deb2.

Exercice n

o15 Soitnun entier naturel, on poseaAE2n¡7 etbAEnÅ1. 1.

C alculera¡2b.

2. S oitdun diviseur deaet deb. Montrer quedest un diviseur dea¡2b. 3. S oitdun diviseur deaet deb. Quelles sont les valeurs possibles ded?.

Exercice n

o16

La proposition suivante est-elle vraie? "Si l"entieraest un diviseur de l"entierbet s"il est aussi un diviseur de l"entier

c, alorsa2est un diviseur du produitbc.»

Exercice n

o17 Montrer que le produit de deux nombres impairs est un nombre impair.

Exercice n

o18 Montrer que la somme d"un nombre pair et d"un nombre impair est un nombre impair.

Exercice n

o19 Montrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de 3.

Exercice n

o20 Montrer que tout multiple de 3 est la somme de trois entiers consécutifs.

Exercice n

o21 Montrer que la somme de deux nombres pairs est un nombre pair.

Exercice n

o22 Montrer que le produit de deux entiers consécutifs est toujours pair.

Exercice n

o23 Montrer que le produit de deux nombres pairs est un multiple de 4.

Exercice n

o24 Montrer que sinest un entier pair, alors l"entieraAEn2(nÅ20) est un multiple de 8.

Exercice n

o25 Montrer que la somme de deux nombres impairs consécutifs est toujours un multiple de 4.

Exercice n

o26 Montrer que sinest impair, alorsn2¡1 est un multiple de 4.

Exercice n

o27 Montrer que le cube d"un nombre pair est un multiple de 8.

Exercice n

o28 (Logique) 1. S oitu ne ntieratel quea2est pair. Montrer que le nombreaest pair. 2.

L estr oiscôt ésd "untr iangler ectanglesont d esn ombresent iers.M ontrerq u"aumoin sun de c esn ombresest

pair.

Piste : raisonner par l"absurde.

Exercice n

o29 Déterminer le nombre de diviseurs positifs des entiersaAE27 etbAE20.

Exercice n

o30 Dresser la liste des diviseurs positifs des entiers 36; 49 et 63.

Exercice n

o31 Quel est le nombre de diviseurs positifs de l"entierNAE210?

Exercice n

o32

Dresser la liste des nombresnentiers naturels vérifiant simultanément les conditions suivantes : 600ÇnÇ800 etn

est divisible par 11 et est multiple à la fois de 3 et de 5.

Exercice n

o33 1. D onnerdeux nombr esent iersc onsécutifspr emiers. 2. P ourquoine peut-on p astr ouvert roisnombr esent iersc onsécutifspr emiers?

Exercice n

o34 (Vrai ou Faux?) Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses, puis justifier. Soientpetqdeux nombres premiers différents et au moins égaux à 3.

1.pÅqest un nombre pair.

2.pÅqest un nombre premier.

3.p£qest un nombre premier.

4.p£qest un nombre impair.

1.2 Nombres premiers, décomposition en produit de facteurs premiers

Exercice n

o35 Décomposer les nombres suivants en produit de facteurs premiers : 35, 42, 50, 99, 100.

Exercice n

o36 Un terrain rectangulaire a des côtés entiers et une aire égale à 50 m 2. 1. D écomposer5 0en p roduitsde fa cteurspr emiers. 2. E ndéduir ele sl ongueurspossibles des côt és.

Exercice n

o37 Déterminer si les nombres suivants sont des nombres premiers : 18, 37, 41, 89 et 101.

Exercice n

o38 Soitpun nombre premier. Le nombrep2est-il premier?

Exercice n

o39

Soitpun nombre premier.

1.

Q uelsso ntl esdivi seurspositif sde p?

2.

Q uelsso ntl esdivi seurspositif sde p2?

Exercice n

o40 Les nombres suivants sont-ils premiers? 579 ; 911 ; 1 021 ; 5 743 ; 8 191.

Exercice n

o41 Déterminer la décomposition en facteurs premiers de 112 ; 360 ; 490 ; 495 ; 1 140.

Exercice n

o42 Soitnun entier naturel non nul etpAE(nÅ1)(nÅ3).

Montrer quepn"est pas premier.

Exercice n

o43 Soitnun entier naturel,nsupérieur ou égal à 2 etqAE(n¡1)(n2Å7).

Pour quelles valeurs denle nombreqest-il premier?

1.3 Ensembles de nombres

Exercice n

o44

Soitx2N. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est fausse ou vraie pour toute valeur entière dex. Si

elle est fausse, donner un contre-exemple et donner le plus petit ensemble qui la rende toujours vraie.

1.

2 xÅ12N

2.

2 xÅ12Q

3.

3 x¡72N

4. x¡62 2Z 5. xÅ1p2 2R 6. px2Q

À retenir : pour montrer qu"une proposition est fausse, il SUFFIT d"exhiber un contre-exemple. Pour montrer qu"elle

est vraie sur un ensemble infini, une infinité d"exemples ne suffit pas.

Exercice n

o45

Dans chaque cas, trouver, lorsque cela est possible, un nombrexqui remplit les critères indiqués :

1.x2QetxÝN

2.x2QetxÝZ

3.x2RetxÝQ

4.x2QetxÝR

Exercice n

o46 Parmi les nombres suivants, lesquels sont décimaux? 310
; 101 ;16 ; 0,077 ;¡15 ;¼10 ;¡13

Exercice n

o47 Parmi les nombres suivants, lesquels sont des nombres rationnels? 110
;23 ;1p2 ; 10 ;¡14,58

Exercice n

o48 1.

D éterminerl "inversed e

25
puis de32 2. L "inversed "unn ombred écimaln onn ulest -ilun n ombred écimal?

Exercice n

o49

Montrer que18

est un nombre décimal et en déterminer l"écriture sous la formea2 p5qoùa,petqsont des entiers naturels.

Exercice n

o50

Soientaetbdeux nombres décimaux.

1.

M ontrerqu eaÅbest un nombre décimal.

2.

L en ombrea£best-il décimal?

Exercice n

o51

Déterminer un nombre décimaldtel que7917

ÇdÇ8017

Exercice n

o52

Déterminer un nombre rationnelqtel que117

ÇqÇ127

et l"écrire sous forme d"une fraction irréductible.

Exercice n

o53

Soient deux nombresaAE34

etbAE23 1. (a)

M ontrerque le nomb reaest décimal.

(b) M ontrerq uel en ombrebest un nombre rationnel non décimal. 2.

C omparerces deux nomb res.

3. D éterminerun n ombredéc imalst rictementcompr isen treaetb.

Exercice n

o54 1.

J ustifierque l esn ombres

14 ;325 ;720 et¡11125 sont des nombres décimaux. 2.

S oientaun entier etpetqdeux entiers naturels.

Monter que le nombre

a2 p5qest décimal.

Exercice n

o55

1.Associer à ch aquep ointA,B,C,DetEde la droite graduée un réel.¡3¡2¡10123DAEOBC

2. Associer aux ré elssui vantsu npoint de la dr oiten umérique¡1;14 ;p3; 67
; 1,9. On choisira comme échelle 2 cm pour une unité.

Exercice n

o56 On choisira comme échelle 4 cm pour une unité. Associer aux réels suivants un point de la droite numérique :¡4 ;115 ;p6 2 ;103 et 2,7.

Exercice n

o57 Pour chacun des nombres donnés, dire à quel(s) ensemble(s) (N,Z,D,QetR) il appartient. 1. (a)

0,7 77

(b) 725
(c)

3 ¡p36

(d) 16 2. (a) ¼4 (b) 1 0 ¡4 (c)¡14,6 (d) 1972
3. (a) 10 10 (b)

3 ,14159

(c)p¼ 2 (d) p25p9

Exercice n

o58 1.

L en ombre0 est-il irr ationnel?

2.

M ontrer,en r aisonnantpar l "absurde,qu el "inversed "unn ombreirr ationnelest u nnombr ei rrationnel.

1.4 Intervalles, encadrement, distance

Exercice n

o59 On a représenté sur la droite graduée ci-dessous un ensemble en bleu :¡2¡10123 1. É crirec eten sembleIsous la forme d"un intervalle. 2. T roisdes nomb resréel ss uivantsap partiennentà cet i ntervalleI:¡0,8 ; 1,9 ; 2 ;53 . Lesquels?

Exercice n

o60

Représenter sur une droite graduée les intervalles suivants :IAE]¡5 ;¡1[ etJAE[¡4 ;Å1[.

Exercice n

o61 (Calculatrice)

Donner un encadrement d"amplitude 10

¡5dep11.

Exercice n

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