[PDF] Olympiades Mathématiques Belges

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Olympiades

Math´ematiques

Belges

Recueildequestions

Soci´et´eBelgedes

ProfesseursdeMath´emati que

d'expressionfran¸caise

62003-2006

62003-2006

OlympiadesMath´ ematiquesBelges

Olympiades

math´ematiques belges

Recueildequestions 2003-2006

collationn´eparP.Dupont Soci´et´ebelgedesprofesseursdemath´ema tique d'expressionfr an¸caise 6 2

Tabledesmati` eres

1Pr´ eface5

1.1L'Olympiad emath´ematiquebelge ........... ......7

1.2Tab leaudesparticipationssuccessives ... ........ ...13

1.3L'Olympiad emath´ematiqueinter nationale......... ...14

1.4LaSBPM ef. ......... ... .. ... ... ... ... ..15

1.5Conv entionsutilis´ees....... .............. ... 17

2

Eliminatoiresetdemi-finalesmiNi19

2.1Tab leaudereconstitutiondesquest ionnaires. ..........20

2.2Arithm ´etique&alg`ebre........ .. ......... ... 21

2.3G ´eom´etrie............... ... .. ... ... ... .40

2.4Logique ...... ... ... ... .. ... ... ... ... ..58

2.5Comb inatoire&probabilit´es... ... ..............58

2.6Probl `emes&divers.......... ... ...... .. ... .59

2.7Tab ledesr´ep onses...... ...................66

3

Eliminatoiresetdemi-finalesmiDi 67

3.1Tab leaudereconstitutiondesquest ionnaires. ..........68

3.2Arithm ´etique&alg`ebre........ .. ......... ... 69

3.3G ´eom´etrie............... ... .. ... ... ... .87

3.4Logique ...... ... ... ... .. ... ... ... ... ..110

3.5Comb inatoire&probabilit´es... ... ..............111

3.6Probl `emes&divers.......... ... ...... .. ... .112

3.7Tab ledesr´ep onses...... ...................118

4

Eliminatoiresetdemi-finalesmaXi 119

4.1Tab leaudereconstitutiondesques tionnaires ........... 120

3

4Tabledesmati`eres

4.2Arithm ´etique&alg`ebre....... ... ......... ... 121

4.3G´ eom´etrie&trigonom´etrie.......... ... .......135

4.4An alyse..... ... ... ... ... ... .. ... ... ... 152

4.5Logique ..... ... ... ... ... ... ... .. ... ... 162

4.6Comb inatoire&probabilit´es.. ... ...............163

4.7Probl `emes&divers........... .. ...... ... ... 167

4.8Tab ledesr´epon ses....... ..................174

5Finalesm iNi175

5.1Finale 2003.... ..... ... ... ... ... ... ... .. 175

5.2Finale 2004.... ...... ... .. ... ... ... ... ..176

5.3Finale 2005.... ...... ... ... .. ... ... ... ..176

5.4Fi nale2006... ...... ... ... ... .. ... ... ... 178

6Finales miDi181

6.1Finale 2003.... ...... ... .. ... ... ... ... ..181

6.2Finale 2004.... ...... ... ... .. ... ... ... ..182

6.3Fi nale2005... ...... ... ... ... .. ... ... ... 182

6.4Fi nale2006... ...... ... ... ... ... .. ... ... 183

7Finalesm aXi185

7.1Finale 2003.... ...... ... .. ... ... ... ... ..185

7.2Finale 2004.... ...... ... ... .. ... ... ... ..186

7.3Fi nale2005... ...... ... ... ... .. ... ... ... 187

7.4Fi nale2006... ...... ... ... ... ... .. ... ... 188

Chapitre1

Pr´eface

Commesespr´ ed´ecesse urs,cesixi`emerecueildequestionsdesOlympiades math´ematiquesbelges(2003-2006),est´edit´e dansundoublebut. Lepre mierestdefourniraux enseignantsducours demath ´ematiquesainsi qu'`aleurs´el`ev es,une quantit´eimportantedequestionspouvants'int´egr erd ans lescours dispens´e s.C'estpourquoiles720questionsdes´elimi natoires etdes demi-finales,bienqueres tants´epar´ees selonlest roiscat´egoriesmiNi,miDi et maXi,ont ´et´eregroup´ eesenfonctiondutypedemati` ere(aveclesin´ev itables di cult´esdecegenredeclassemen t)et plac´ ees,autantquep ossible, dansun ordreded i cult´ecroissante. Lede uxi`emeestdepermettre`aquilesouh aitedesep r´eparer` aparticiper`a l'Olympiade.Danscettepe rspective,de stableauxpermetten tdereconstituer facilementlesquestionnaires tels qu'ilsont´et´epropos´ esauxparticipantsde s quatreOlympiades concern´ees. Les48questions pos ´ees lorsdesfinalesconstituentlestroisder nie rscha- pitresdudocumen t. Letextequi faits uite` acepr´eam buleestdeFrancis Buekenhout,le "p`ere» del'Olym piademath´ematiquebelge.Ilc onstitue,tout`alafois,unregardpos´e surune aventureextr aordinairequiad´ebut´een1976 etl'expressiond'une grandeesp´eran ceetd'uneforteconviction:cellequelesj eunesques ontles ´el`evesposs`edenteneuxle sgermesdelacomp´etenceetdu talent. Jecon cluscepetitmot - c'est leplusagr´eable - enremerciantles per- sonnesqu im'ontaid´e dans`alar ´ealisationdecevolume: ClaudeVillers,c he- villeouvri`ere desvolumespr´ec´ edents,quiacettefoise ncoreassur´elep´eni ble 5

6Chapitre1.Pr´eface

travaildeclassementdes question s;ClaudineFestraets,sec r´etairenationale del'Olympiad e,quidactylographiedepui s2004lesquestion nairesetdontj'ai pur ´ecup´ererletravail;etJulesMiewis,quim'a aid´ e`a reconstituerlesfich iers de2003,don tl'origin alavait ´et´eperdu.

PascalDupont

1.1.L' Olympiademath´ematiquebelge7

1.1L'Olympi ademath´ematiquebelge

L'Olympiademath´ematique belgeouO.M.B.estn´eeen1976.Ellea traver s´e sansint erruptiontoutesses´editionsannuellessucc essives.Lesde rni`eresdequotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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