[PDF] Développements limités

View - Download Développements limités

Previous PDF

Next PDF

Exo7

Développements limités

Corrections d"Arnaud Bodin.

1 Calculs

Exercice 1Donner le développement limité en 0 des fonctions : 1. cos xexpxà l"ordre 3

2.(ln(1+x))2à l"ordre 4

3. shxxx

3à l"ordre 6

4. e xp sin(x)à l"ordre 4 5. sin

6(x)à l"ordre 9

6. ln cos(x)à l"ordre 6 7.

1cosxà l"ordre 4

8. tan xà l"ordre 5 (ou 7 pour les plus courageux)

9.(1+x)11+xà l"ordre 3

10. arcsin ln(1+x2)à l"ordre 6 HH???Exercice 2 1. Dév eloppementlimité en 1 à l"ordre 3 de f(x) =px. 2. Dév eloppementlimité en 1 à l"ordre 3 de g(x) =epx 3.

Dév eloppementlimité à l"ordre 3 en

p3 deh(x) =ln(sinx). HH???Exercice 3

Donner un développement limité à l"ordre 2 def(x) =p1+x21+x+p1+x2en 0. En déduire un développement à

l"ordre 2 en+¥. Calculer un développement à l"ordre 1 en¥. HH???1

2 Applications

Exercice 4Calculer les limites suivantes

lim x!0e x2cosxx

2limx!0ln(1+x)sinxx

limx!0cosxp1x2x 4 HH???Exercice 5

Étudier la position du graphe de l"applicationx7!ln(1+x+x2)par rapport à sa tangente en 0 et 1.

HH???Exercice 6

Déterminer:

1. (a) lim x!+¥px

2+3x+2+x

(b) lim x!¥px

2+3x+2+x

2. lim x!0+(arctanx)1x 2 3. lim x!0(1+3x)13

1sinx1cosx

HH???3 Formules de Taylor Exercice 7Soitfl"application deRdansRdéfinie parf(x) =x31+x6:Calculerf(n)(0)pour toutn2N: HH???Exercice 8

Soitaun nombre réel etf:]a;+¥[!Rune application de classeC2. On supposefetf00bornées ; on pose

M 0=sup x>ajf(x)jetM2=sup x>ajf00(x)j. 1. En appliquant une formule de T aylorreliant f(x)etf(x+h), montrer que, pour toutx>aet touth>0, on a :jf0(x)j6h2 M2+2h M0. 2.

En déduire que f0est bornée sur]a;+¥[.

3.

Établir le résultat sui vant: soit g:]0;+¥[!Rune application de classeC2à dérivée seconde bornée et

telle que limx!+¥g(x) =0. Alors limx!+¥g0(x) =0. HH???2

4 DL implicite

Exercice 9tan(x) =x1.Montrer que l"équation tan x=xpossède une unique solutionxndansnpp2 ;np+p2 (n2N). 2.

Quelle relation lie xnet arctan(xn)?

3. Donner un DL de xnen fonction denà l"ordre 0 pourn!¥. 4.

En reportant dans la relation trouvée en

2 , obtenir un DL dexnà l"ordre 2. H???5 Equivalents

Exercice 10Recherche d"équivalentsDonner des équivalents simples pour les fonctions suivantes :

1.

2 exp1+4xp1+6x2, en 0

2.(cosx)sinx(cosx)tanx, en 0

3. arctan x+arctan3x 2p3 , enp3 4. px

2+123px

3+x+4px

4+x2, en+¥

5. ar gch

1cosx, en 0

H???Exercice 11Approximation de cosTrouvera;b2Rtels que cosx1+ax21+bx2 soit uno(xn)en 0 avecnmaximal. HH???Exercice 12

Calculer

`=limx!+¥ ln(x+1)lnx x

Donner un équivalent de

ln(x+1)lnx x lorsquex!+¥. HH???3

Indication pourl"exer cice1 N1.cos xexpx=1+x13

x3+o(x3)

2.(ln(1+x))2=x2x3+1112

x4+o(x4)quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

[PDF] cours et exercices corriges de grammaire anglaise en pdf

[PDF] cours et exercices corriges de statistique inferentielle.pdf

[PDF] cours et exercices corrigés sur les hacheurs pdf

[PDF] cours et exercices d'excel

[PDF] cours et exercices sur les amplificateurs opérationnels pdf

[PDF] cours et exercices sur les fonctions

[PDF] cours et exercices sur les nombres complexes pdf

[PDF] cours et exercices sur les pourcentages pdf

[PDF] cours et exercices sur les racines carrées 3ème pdf

[PDF] cours exercices corrigés maths terminale a pdf

[PDF] cours exercices corrigés maths terminale c pdf

[PDF] cours exercices corrigés maths terminale d pdf

[PDF] cours exercices corrigés maths terminale es pdf

[PDF] cours exercices corrigés maths terminale l pdf

[PDF] cours factorielle ts