[PDF] 1. Démonstrations du formulaire de trigonométrie:

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1.Démonstrations du formulaire de trigonométrie:

1.1.Formules d'addition:

a) cosab: On sait que eix=cosxisinx

Donccosx=ℜeix

Or cosab=ℜeiab

On a alors eiab=eiaeib=cosaisinacosbisinb =

cosacosb-sinasinbisinbcosasinacosbEt donc

cosab=cosacosb-sinasinbb) sinab:

De même, on sait que sinx=ℑeix Or

eiab=cosacosb-sinasinbisinbcosasinacosbDonc

sinab=sinacosbsinbcosac) cosa-bet sina-b:

Ici il suffit de remplacer

bpar -bOn a alors

cosa-b=cosacos-b-sinasin-bOr cos-x=cosx et sin-x=-sinx

Donc

cosa-b=cosacosbsinasinbDe la même manière on trouve:

sina-b=sinacosb-sinbcosad) cos2aet sin2a: En utilisant les formules précédentes, on remplace bpar aOn a alors:

cosaa=cos2a=cosacosa-sinasina=cos²a-sin²aSachant que cos²asin²a=1

On peut également dire que:

cos2a=2cos²a-1=1-2sin²aOn utilise le même raisonnement pour

sin2a et on obtient: sin2a=2sinacosa e) tanabtana-btan2a:

On sait que

tanx=sinx cosxDonc tanab=sinab

cosabtanab=sinacosbsinbcosa

cosacosb-sinasinb

On factorise par

cosbau numérateur et au dénominateur et on simplifie par cosbOn simplifie les sinx

cosx par tanx On obtient: tanab=sinatanbcosa cosa-sinatanb

On factorise par

cosaau numérateur et au dénominateur et on simplifie par cosaEnsuite on remplace les

sinx cosx par tanx On obtient: tanab=tanatanb

1-tanatanb

Pour obtenir

tana-b, on remplace bpar -bdans la formule précédente

On obtient

tana-b=tanatan-b

1-tanatan-bOr tan-x=-tanxdonc: tana-b=tana-tanb

1tanatanb

Pour tan2a, on remplace bpar a, on obtient: tan2a=2tana

1-tan²a

1.2.Formules d'Euler:

On sait que:

eix=cosxisinx et e-ix=cosx-isinxDonc eixe-ix=2cosxet donc cosx=eixe-ix

2

De même: eix-e-ix=2isinxet donc

sinx=eix-e-ix 2i

1.3.Formules de linéarisation :

a) cosacosb:

On sait que cosa-b=cosacosbsinasinbet que cosab=cosacosb-sinasinb

Donc cosabcosa-b=2cosacosb Soit cosacosb=cosa-bcosab 2 b) sinasinb: De même cosa-b-cosab=2sinasinb Donc sinasinb=cosa-b-cosab 2c) sinacosb:

Pour finir, on sait que

sinab=sinacosbsinbcosaet que sina-b=sinacosb-sinbcosa

Donc sina-bsinab=2sinacosb Et donc sinacosb=sina-bsinab 2 d)cos²a:

On sait que

cosacosb=cosa-bcosab

2On remplace bpar a, on obtient:

cos²a=cos0cos2a 2soit cos²a=1cos2a

2e) sin²a:

On sait que

sinasinb=cosa-b-cosab

2, donc de la même manière:

sin²a=1-cos2a 2 f) tan²a: tana=sina cosa donc tan²a=sin²a cos²a Soit tan²a=1cos2a

1-cos2a

1.4.Formules de transformation de somme en produit:

a) cosacosb: On sait que cosacosb=cosa-bcosab 2

On remplace apar ab

2et bpar a-b

2

On a donc

cosab

2cosa-b

2=

cosab

2a-b

2cosab

2-a-b

2

2En simplifiant, on obtient:

cosab

2cosa-b

2=cosacosb

2 Soit cosacosb=2cosab

2cosa-b

2

b) cosa-cosb:

On sait que

sinasinb=cosa-b-cosab

2On remplace apar ab

2et bpar

a-b

2On a donc

sinab

2sina-b

2=

cosab 2-a-b

2-cosab

2a-b

2

2Qu'on simplifie pour obtenir

sinab

2sina-b

2=cosb-cosa

2Et donc

cosa-cosb=-2sinab

2sina-b

2

c)sinasinb: On sait que sinacosb=sinabsina-b 2 De la même manière que les démonstrations précédentes, on remplace apar ab 2 et bpar a-b

2, on obtient alors:

sinasinb=2sinab

2cosa-b

2

d)sina-sinb: De la même manière que les démonstrations précédentes, on trouve: sina-sinb=2cosab

2sina-b

2

1.5.Formules dites d'arc moitié :

a) cosx:

On pose t=tana

2 donc 1-t²

1t²=1-tan²a

2

1tan²a

2

Or tan²x=1cos2x

1-cos2x

Alors 1-t²

1t²=2cosa

1cosa

2

1cosa, on simplifie par 1cosa

On obtient alors:

cosx=1-t²

1t²b)

sinx: 2t

1t²=

2tana

2

1tan²a

2

=2tana

2cos²a

2car 1tan²x=cos²x

On a donc: 2t

1t²=2sina

2cos²a

2

cosa

2=2sina

2cosa

2=sina

car sin2x=2sinxcosx

Donc sinx=2t

1t²

c)tanx: 2t

1-t²=2tana

2

1-tan²a

2

Or tan2x=2tanx

1-tan²xdonc 1-tan²x=2tanx

tan2x

On a alors 2t

1-t²=

2tana

2tana

2tana

2Donc tana=2t

1-t²

1.6.Formule de Moivre:

On sait que

eixn=einxor eix=cosxisinxDonc eixn=cosxisinxn=einx=cosnxisinnx

Et donc

cosxisinxn=cosnxisinnx1.7.Formule d'angle moitié:

On sait que

cos²a=1cos2a

2, donc cos²a

2=1cosa

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