[PDF] CONCEPTION ET CALCUL DES ÉLÉMENTS DE MACHINES

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???? ?ebongnie ?ous droits réservés? ?et ouvrage est consacré à l?exposé théorique du cours de conception mé? canique que nous donnons à l??niversité de ?iège? ?l est inséparable de notre contient un résumé des méthodes de calcul et un grand nombre de données utiles pour les applications et auquel il est fait référence dans le présent texte sous le i ?vant?propos i ? ?orts dans une transmission? ? ?vant?projet d?un arbre?? ????? ??? ????È???v ??? ?ontraintes oscillatoires d?amplitude variable ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ????? ?rincipe du dommage cumulatif ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ????? ?iscussion physique ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ????? ?ourbes iso?dommage ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ?ntroduction ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ?onsidérations géométriques ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ?ontacts ponctuels ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ????? ?ression de ?ertz, aire de contact, rapprochement ? ? ? ? ?? ????? ?ontraintes dimensionnantes ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ??????? ?isaillement de ?resca ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ??????? ?ariation maximale du cisaillement dans le cas d?une charge délante ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ??????? ?ression spécique ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ????? ?imitations de pression pour les aciers à roulements ? ? ? ?? ??? ?ontacts linéaires ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ????? ?ésultats généraux ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ????? ?ontraintes ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ????? ?imitation de pression pour les aciers à roulements ? ? ? ? ?? ??? ?ollicitations dynamiques ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ?onstitution des roulements ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ?rincipaux types de roulements ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ????? ?oulements rigides à billes ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ????? ?oulements à billes à contact oblique ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ????? ?oulements à rouleaux ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ????? ?oulements à rouleaux coniques ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ????? ?oulements à rotule à rouleaux en forme de tonneau ? ? ? ??? ????? ?oulements à aiguilles? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ????? ?utées ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ?atigue des roulements ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ?elation entre la charge et la durée de vie ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ?harge de direction quelconque ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ????? ?irection de référence de la charge ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ????? ?harge dynamique équivalente ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ?harge dépendant du temps ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ????? ?harge biéquivalente ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ????? ?pplication au problème posé ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ????? ?roblème inverse ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ????? ?as d?une charge équivalente variant de manière continue lors d?un cycle ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ?hoix de la durée de vie ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ?alcul statique des roulements ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ????? ?apacité de charge statique ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ????? ?harge statique équivalente ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ?oulements à contact oblique en opposition ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ????? ?ontage en ? et montage en ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ????? ?épartition des charges axiales ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ????? ??? ????È???vii ????? ?errage résiduel sous force axiale ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ????? ?et du tassement des interfaces ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ????? ?et des dilatations thermiques diérentielles ? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ?écurité par rapport à la déformation permanente des vis ? ? ? ? ??? ???? ?ésistance des vis à la fatigue ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???? ?isque d?écrasement des pièces serrées ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???? ?isque d?arrachement des lets ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???? ?ncertitude de la valeur du serrage initial ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???? ?alcul des assemblages vissés précontraints ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?????? ?imensionnement initial ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?????? ?érication ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?????? ?xemple ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???? ?is sollicitées à l?eort tranchant ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???? ?lexion parasite ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???? ?énéralités ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???? ?imensionnement du moyeu ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???? ?ssemblages par eet d?obstacle ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?????? ?lavettes parallèles ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? rallèles et de leurs rainures ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?????? ?lavettes?disques ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?????? ?annelures ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?????? ?oupilles ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?????? ?rols polygonaux ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???? ?ssemblages par eet d?adhérence ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?????? ?énéralités ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?????? ?rettage ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?????? ?mmanchements sur cônes ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?????? ?inçage ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?????? ?inçage d?un moyeu fendu ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ????? ??? ????È???ix ???? ?énéralités ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???? ?rocédés de soudage ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???? ?oudabilité ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???? ?alcul statique des soudures de pièces d?acier ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?????? ?ection du cordon ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?????? ?énition conventionnelle des contraintes ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?????? ?érication de la soudure ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?????? ?ormule enveloppe ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???? ?alcul statique des soudures de pièces d?alliages d?aluminium ? ? ??? ???? ?ésistance des soudures à la fatigue ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?????? ?énéralités ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?????? ?ois de durée de vie ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?????? ?ariations de charges d?amplitude variable ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?????? ?omptage des cycles ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?????? ?ombinaison d?extension et de cisaillement ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???? ?énéralités ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???? ?ratique de la rivure ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?????? ?ypes de rivets, et leur pose ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?????? ?amme des opérations d?exécution d?une rivure ? ? ? ? ? ? ??? ???? ?alcul des rivures ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?????? ?ection du rivet ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?????? ?ésistance des pièces assemblées ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???? ?érication des rivets ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?????? ?alcul à l?adhérence ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?????? ?alcul au cisaillement et à la pression de contact ? ? ? ? ? ??? ???? ?ivets sollicités en traction ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?ecensement des eorts dans une transmission =PP???P

P=Qv?????

P=Mt!=Mt2N?????

M tm=P! m??Mtr=P! r????? constate qu?il faut bien que la diérence M t=MtrMtm passe quelque part? ?e??????? ????, c?est la liaison entre le réducteur et la fondation? ?l est donc essentiel d? ?xaminons à présent le chemin de la puissance? ?lle passe de l?entrée au pointApar l?arbre moteur? ?lle passe alors par les roues dentées sur l?arbre intermédiaire, où elle fait le cheminDE? ?e là, elle passe par le second engrenage à l?arbre récepteur, où elle fait le chemin du pointHà la sortie? ?eci nous permet

d?obtenir directement le moment de torsion dans toutes les portions d?arbres ?ortion d'arbre?oment de torsion

?ntréeAP=!mAB? CD?

DEP=!iEF?

GH? H?ortieP=!r?n peut tout aussi aisément déduire les eorts actifs dans les engrenages? ?ous traiterons le premier engrenage pour xer les idées g? ???)? ?râce à la présence des dents, deux circonférences une sur chaque roue) roulent sans ?id1etd2sont leurs diamètres respectifs, elles ont en leur point de contactI une vitesse communevdonnée par v=!md12 =!id22 ce qui implique évidemment m! i=d2d

1 ???)

?ratiquement, pour que les deux roues puissent engrener, il faut qu?elles aient le même???p? ?e pas est donné par p=dZ oùZest le nombre de dents de la roue considérée? ?ependant, le pas est une grandeur désagréable, car le diamètre est normalement un nombre rationnel, de même évidemment que le nombre entier de dents? ?l en résulte que le pas est un nombre irrationnel? ?u reste, sur les plans, on ne voit pas la circonférence, mais le diamètre? ??est pourquoi on ne parle jamais du pas, mais bien du?????? m=p =dZ qui est un nombre rationnel? ?e sont les modules qui sont normalisés voir ???????)? ?es deux roues, ayant le même pas, ont donc le même module? ?l en découle également que! m! i=d2d

1=mZ2mZ

1=Z2Z

1 ????)

P=Qv??????

Q=Pv ?onsidérons la distribution de puissance aux auxiliaires d?un moteur à ex? plosion, pompe à eau et ventilateur d?une part, alternateur d?autre part g???)? ?n utilise une courroie trapézoïdale? ?upposons que l?alternateur doive tourner ?,? fois plus vite que le moteur, et la pompe à eau, ?,? fois plus vite p= 1;5!met!a= 1;8!m ????) ?a caractéristique d?une courroie est de transmettre au rendement près) sa vitesse tangentiellevaux poulies? ?n a donc v=!mdm2 =!pdp2 =!ada2 d p=dm1;5??da=dm1;8?????? P m=Pa+Pp?????? 500

W? ?? ????

P m= 730W Q=Pv 30
m=s Q m=Pmv =73030 = 24 ;33N Q p=Ppv =50030 = 16;67N Q a=Pav =23030 = 7 ;67N AB? BCP

1+P2+P3!

iCDP 2+P3! iDEP 3! iEf? ?e moment de torsion dans l'arbre primaire est donné par M tm=P1+P2+P3! m ?es moments de torsion dans les arbres récepteurs sont M t1=P1!

1; Mt2=P2!

2; Mt3=P3!

3 ?nn, les eorts actifs dans les engrenages valent Q 1=P1! 1d12 ; Q 2=P2! 2d22 ; Q 3=P3! 3d32 ?l existe certains cas où il est indispensable de tenir compte des pertes parce qu?elles sont importantes? ??est notamment le cas des transmissions par vis et écrou g???)? ?ans ces transmissions, très fréquentes dans les machines?outils notamment pour le mouvement d?avance) mais aussi dans les étaux, il n?est pas chariot, mais que le mouvement du chariot est incapable de faire tourner la vis? ?e rendement est alors inférieur à ? ?? ?? ?? ???? ?? ???????v?? ??????? ??? ?????? ??? v=Np?????? P vis=Mt;vis2N?????? P chariot=Fv?????? P chariot=Pvis??????

Fv=Mt;vis2N

M t;vis=1 Fv2N =1 FNp2N =1 Fp2 v=!1d12 =!2d22 = 20?????? =P! d2 ????? ??????? ?Fr=Fttg?????? ? ?????? ?? ???????Mt=Ftd2

F=Ft+Fr??????

F r=Fttg?????? F a=Qtg ??Ft=Qcos soit en dénitive Q=P! d2 ; F a=Qtg ; Fr=Qtgcos ?es eorts soumettent l?arbre à un moment de torsionMt=Qd2 une exion dans le planxOz, due aux eortsFretFa; une exion dans le planyOz, due à l?eortQ; un eort axialFaqui devra être repris par une butée? ?ous nous limiterons au cas courant de l?engrenage entre deux arbres per? pendiculaires? ?es deux demi?angles au sommet des cônes,1et2 g? ????) sont liés par les relations 1+2=2 D 12 tg2=D22 D 22
tg1=D12 ce qui implique, en notant toujoursZle nombre de dents, tg1=D1D 2=Z1Z

2;tg2=D2D

1=Z2Z

1 ????)

?a force active vaut Q=P! 1D12 =P! 2D22 F n=Qtg?????? F r1=Fa2=Fncos1=Fnsin2 F r2=Fa1=Fnsin1=Fncos2?????? ?ppelonsla diérence2 P2 ? ?l ressort de la gure que sin=Dd2e ?n a alors P=2

G=+ 2 ????)

?nn, la longueur de la courroie?? ???????se calcule par L=d2 P+D2

G+ 2ecos ????)

?e n?est pas sa longueur relaxée, car la courroie est montée sous une??????? ?? ????N0?? ?a longueur relaxée est, en vertu de la loi de ?ooke, égale à L

0=L1 +

N0ES oùEest le module de ?oung de la courroie etSsa section? ?ous nous limiterons ici à une théorie très élémentaire, qui sut pour les calculs mais ne permet pas de comprendre réellement le détail du fonctionnement de la transmission? ?e lecteur intéressé par cette question pourra consulter les ouvrages ??, ??, ??, ??, ??]? ?a tension en un point de la courroie se décompose

N=Nc+N ????)

?a tension centrifuge résulte de la rotation de la courroie autour des poulies dF c=m0Rdv2R =m0v2d 2 N csind2 = 2 Ncdd2 =Ncd dF c=m0v2d=Ncd N c=m0v2??????

N+dN)NqRd= 0

dNd =qR?????? ?uant à l?équilibre radial, il exige que Nd2 + (N+dN)d2 =pRd ce qui donne

N=pR ????)

?xaminons d?abord les conséquences directes de l?équation ????)? ?ommeq est positif, la tension productive croît le long de la poulie? ?a valeur à l?entrée sera notée t? ?a tension productive à la sortie sera notéeT? ?ar continuité, on retrouvera ces tensions dans les brins adjacents, c?est?à dire que le brin allant dans le sens du mouvement de la poulie motrice à la poulie réceptrice aura la tension productive t? c?est le???? ???? et que l?autre brin aura la tension productiveT? c?est le???? ?????? ??eort tangentiel total échangé entre la poulie et la courroie eort actif) vaut Q=Z R 0 qRd=Z R 0dNd d=Tt ????) ?l va sans dire que couple à la poulie vaut M t;R=QRR ?e même raisonnement peut être fait pour la poulie motrice, dont l?eort actif aura la même valeur, à quoi correspond un coupleMt;M=QRM? T??t??a répartition des eorts tangentiels ne découle pas directement de ces deux équations d?équilibre? ?ais on peut remarquer que si les poulies ne patinent pas, on doit avoir en chaque point qp l?égalité partout correspondant au patinage? ?ous raisonnerons encore sur la poulie réceptrice pour xer les idées? ?n déduit de ????) et ????) que d Nd N=qp ce qui, intégré, donne lnNlnt+ ou encoreNte si bien que T teR ????) ?n raisonnement identique sur la poulie motrice conduit à la relation T teM ????) ?l résulte de ces deux inégalités que le rapport

T=test limité par la??????poulie,

qui a le plus petit arc embrassé? T teP ????) t=e~P?????? ?uir, côté chair0,2 +v/100m/s) ?oton0,3 ?oie articielle imprégnée0,35 ?ynthétique0,5

N0=T+t2

Q2 N0=Tt T+t te~P1 t(e~P+ 1) exp~P2 exp~P2 exp ~P2 + exp~P2 = th ~P2 L 0=L

1 +NpES

L 0=Z L 01

1 +NES

ds 11 + NES 1NES ce qui mène à la condition L 0=L 1NpES =Z L 0 1NES ds ou encore N p=1L Z L 0

Nds ????)

?n peut décomposer l?intégrale du second membre en Z brin mou +Z poulie réceptrice +Z brin tendu +Z brin tendu ?n a directement Z brin mou =`brintquotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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