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MEC24BDenis C D ROUXM´ecanique des fluides et des solides 2012

Impact d"un jet sur une plaque

Une pompe de d´ebitqest connect´ee `a un tuyau d"arrosage propulsant un jet d"eau sur une

plaqueP. L"´ecoulement du jet est permanent et contenu dans le plan (O,-→i,-→j). La vitesse-→V

du jet fait un angleα(>0) avec la direction-→iportant la plaque. L"eau sortant du tuyau est

suppos´ee de viscosit´e n´egligeable. Les ´epaisseurs deslames d"eau sont consid´er´ees comme faible

ce qui permet de n´egliger l"action de la pesanteur terrestre.

Figure1 - Impact d"un jet sur une plaque

Question1(1 point)´Ecrire le th´eor`eme de Bernoulli entre les sectionsSetS1et entreSetS2.

Solution:

P+1

2ρV2=P112ρV12=P2+12ρV22

Question2(1 point)

Si la pression dans les sectionsS,S1etS2est identique, que peut-on dire des vitessesV, V

1etV2?

Solution:

V=V1=V2

Question3(1 point)

Quelle est la direction de la force-→Fexerc´ee par le jet sur la plaque? Pour cette question on rappelle que la viscosit´e du fluide est suppos´ee n´egligeable.

Solution:

-→F=F-→j

Question4(1 point)

Appliquer le th´eor`eme de la quantit´e de mouvement au volume de fluide d´efinit par les surfacesS,S1,S2et les surfaces libres des jets entre ces surfaces. Il est rappel´e que le th´eor`eme de la quantit´e de mouvement s"´enonce comme suit :

La r´esultante des actions m´ecaniques ext´erieures exerc´ees sur un fluide isol´e est ´egale `a la

variation de la quantit´e de mouvement du fluide. SiS1etS2sont deux surfaces par lesquels le fluide respectivement rentre et sort avec des vitesses respectivesV1etV2, la variation de quantit´e de mouvement est ´egale `aQm(V1-V2)ouQmest le d´ebit massique. MEC24BDenis C D ROUXM´ecanique des fluides et des solides 2012

Solution:

--→F=-ρq-→V+ρq1-→

V1+ρq2-→

V2

Question5(1 point)

D´eterminer les d´ebitsq1etq2en fonction des param`etresα,q,ρetV.

Solution:

En projetant l"´equation vectorielle du th´eor`eme de la quantit´e de mouvement sur l"axe-→i

on obtient :q1=q

2(1 +cos(α)) etq2=q2(1-cos(α))

Question6(1 point)

D´eterminer l"expression de la forceFen fonction deρ,q,Vet l"angleα.

Solution:

F=ρ q V sin(α)

Question7(2 points)

Le diam`etre interne du tuyau est de 20 millim`etres et le d´ebit de la pompe est de 2500 litres par heure. Sachant queα= 15◦, d´eterminer :q1,q2etF.

Solution:

q?0.7 10-3m3/s;q1?1.4 10-3m3/s;q2?0.24 10-6m3/s;V=q/s?2.2m/set

F= 0.4N

Analyse dimensionnelle

Un fluide de viscosit´eμ, que l"on souhaite d´eterminer, s"´ecoule dans une conduite cylindrique

de diam`etreDavec un d´ebit constantQ. Entre deux pointsEetSs´epar´es d"une distanceL, des capteurs de pression permettent de mesurer la diff´erence de pression ΔP=PE-PS.

Question1(1 point)

Donner le nombre de param`etres a-dimensionnels du probl`eme (C"est une question de cours).

Solution:

N+ 1 = 5 etr= 3 doncN+ 1-r= 2

Question2(1 point)

Montrer que l"on peut former deux nombres a-dimensionnelsπ1etπ2L"un donnant le d´ebit et l"autre une a-dimensionnalisation des longueurs. Pour cela, on utilisera la m´ethode de

Lord Rayleigh en posant : (ΔP)bLcDd(μ)e=Qa.

Solution:

Qa(ΔP)bLcDd(μ)e= 10, ce qui donne aveca= 0 : Π1=L/Det aveca= 1 :π2=

QLμ/(ΔP)D4

Question3(2 points)

La mesure de la diff´erence de pression entre les deux points distants de 20 centim`etres est

´egale `a 2 bars. Le diam`etre int´erieur de la conduite cylindrique est de 4 millim`etres et le

d´ebit mesur´e `a l"aide d"une balance est ´egal `a 38 grammes par minutes. Donner la valeur

de la viscosit´e du produit Newtonien s"´ecoulant dans la conduite sachant que le nombre a-dimensionnelπ1=π/128.

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Solution:

μ?10Pa.s

Plaque oscillante

Une plaque en aluminium de longueur L, de largeur l et d"´epaisseur e est suspendue par une pivot "O" non glissante d"axe parall`ele `a sa largeur. Figure2 - plaque suspendue par un pivot non glissant

Question1(1 point)

Exprimer la vitesse instantan´ee de rotation et la vitesse "de translation" au point "G" de la barre par rapport au rep`ere fixeRo(O,-→io,-→jo,-→ko). Regrouper, votre r´esultat dans un torseur cin´ematique que vous´ecrirez :V=? -→ΩR1/Ro---→

V(G)R1/Ro?

(G).

Solution:

V=?θ-→k0

0? (O)=?θ-→k0 L

2θ-→j1?

(G).

Question2(1 point)

Exprimer la quantit´e de mouvement ou impulsion de la barre-→P(G)R1/R0ainsi que le mo- ment cin´etique-→σ(O)R1/R0. Regrouper votre r´esultat sous la forme du torseur cin´etique :C=? -→P(G)R1/R0-→σ(O)R1/R0? (O).

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Remarque : quel argument permet d"exprimer la matrice d"inertie de la plaque en "O" sous la forme :

I(o)R1/R0=???A0 0

0B0

0 0C???

Solution:

C=?mL

2-→j1

Cθ-→k0?

(O)

Question3(1 point)

Exprimer l"invariant vectoriel dynamique´egal au produit:m-→γ(G)R1/R0ainsi que le moment dynamique-→δ(O)R1/R0au point "O".

Regrouper votre r´esultat dans le torseur dynamique que vous´ecrirez :D=?m-→γ(G)R1/R0-→δ(O)R1/R0?

(O).

Solution:

D=?m(L

2¨θ-→j1-L2θ2-→i1

C¨θ-→k0?

(O).

Question4(1 point)

Exprimer en "O" le torseur des efforts appliqu´es sur la plaquesous la forme :F=? -→FR1/R0-→MR1/R0? (O).

Solution:

F=?

R0+m-→g--→OG?(m-→g)?

(O).

Question5(1 point)

Appliquer le principe fondamental de la dynamique `a la plaque afin d"en d´eduire les ´equations

vectorielles du mouvement.

Solution:

R0+m-→g=m-→γ(G)T1/T0--→OG?(m-→g) =--→δ(0)T1/T0

Question6(1 point)

Calculer la composante de la matrice d"inertie n´ecessaire`a la r´esolution du probl`eme en fonction de la masse "m" de la plaque et des longueurs "L" et "e".

Solution:

C=?(x2+y2)ρ dxdydz

Question7(1 point)

Exprimer la r´eaction-→

Rode la liaison pivot dans le rep`ere (O,-→i0,-→j0,-→k0). Cette r´eaction est-elle constante en fonction du temps?

Solution:

R0= (-Lθ2cos(θ)-L

2¨θsin(θ)) +g,-Lθ2sin(θ) +L2¨θcos(θ),0)(-→i0,-→j0,-→k0)

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Question8(1 point)

Exprimer l"´equation diff´erentielle r´egissant le mouvement de rotation de la plaque. Dans le

cas de faibles oscillations, que devient cette ´equation?

Solution:

C¨θ+gL

2sin(θ) = 0, dans le cas de petites oscillations : sin(θ)?θ

Question9(2 points)

La plaque est en aluminium de masse volumiqueρ= 2.7gr/cm3. Elle poss`ede les dimensions suivantes :Lm= 30cm,l= 20cmete= 3mm. D´eterminer la pulsation des oscillations engendr´ees par une mise en mouvement de la plaque lˆach´ee avec un angle initial de 15 degr´es. Avec notre mod´elisation la plaque s"arrˆetera-t-elle d"osciller? Pourquoi? (Remarque:C=mL2

3+me23)

Solution:

mgL/C?0.2rad/ssoit une p´eriode deT?30s

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