[PDF] FONCTION EXPONENTIELLE ET FONCTION LOGARITHME





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Exponentielle et logarithme

La fonction exponentielle (de base e) et la fonction logarithme (népérien) sont des fonctions réciproques : leurs courbes.



Fonction exponentielle et fonction logarithmique

logarithme ou une exponentielle de base quelconque en base e. proposition 5.1.5 formules de changement de base. Soit m > 0 et b > 0 b ≠ 1. 1) log b m = ln m.



Les Exponentielles

antécédent y de x par la fonction ln c'est-`a-dire ln(y) = x. On la note exp Remarque : Il faut bien faire attention `a ne pas confondre ces formules avec les ...



T ES Fonction exponentielle

Le fonction exponentielle notée exp



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Dans tout ce formulaire on ne parle pas du domaine de définition de la formule Logarithme et Exponentielle : eln x = ln(ex) = x ln 1 = 0 ln(ab) = ln(a) + ...



FONCTIONS QUADRATIQUES EXPONENTIELLES ET

On peut procéder par factorisation ou utiliser la formule : √. 4. 2. Exemple ln ln. 2 ln ln. 3 ln .ln. 4 ln1 0. Page 11. Page 11 sur 11. Exemple. À l'aide ...





FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 1)

Et pourtant l'astronomie la navigation ou le commerce demandent d'effectuer des opérations de plus en plus complexes. I. Définition. La fonction exponentielle 



ÿþM i c r o s o f t W o r d - f o r m u l a i r e - e x p - l n

4) Si a>1 : Toutes les formules sur le logarithme et l'exponentielle népériens restent valables à l'exception des formules sur les dérivées énoncées sous 3) 



Exponentielle et logarithme

La fonction exponentielle (de base e) et la fonction logarithme (népérien) sont des fonctions réciproques : leurs courbes.



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Dans tout ce formulaire on ne parle pas du domaine de définition de la formule : par exemple ?a Logarithme et Exponentielle : eln x = ln(ex) = x.



FONCTION EXPONENTIELLE ET FONCTION LOGARITHME

Remarque : Cette formule permet de transformer une somme en produit et réciproquement. Corollaires : Pour tous réels x et y on a : a) exp(? ) =.



Les Exponentielles

Remarque : Il faut bien faire attention `a ne pas confondre ces formules avec les formules correspon- dantes pour le logarithme. En fait ici ce sont les 



T ES Fonction exponentielle

Le fonction exponentielle notée exp



FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 1)

Les courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont Remarque : Cette formule permet de transformer un produit en.



RAPPELS EXP ET FONCTION LN

FONCTION LN. Table des matières. I. Rappels sur la fonction exponentielle . fonction définie et dérivable en se calcule avec la formule suivante :.



Fonction Logarithme népérien 1. De lexponentielle au logarithme

ln x x. =0. On souligne dans les cadres algébrique et graphique que les fonctions logarithme népérien et exponentielle sont réciproques l'une de l'autre.



Fiche technique sur les limites

ln(x) 5 Fonctions logarithme et exponentielle. 5.1 Fonction logarithme ... Comparaison de la fonction exponentielle avec la fonction puissance.





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1) Dérivabilité Propriété : La fonction exponentielle est dérivable sur ? et (exp ) = exp 2) Variations Propriété : La fonction exponentielle est 



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Comme la fonction exponentielle est entièrement caractérisée par l'équation exp? = exp et la condition exp(0) = 1 on peut en déduire a priori toutes ses 



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La fonction logarithme népérien est la bijection réciproque de la fonction exponentielle La fonction exponentielle étant strictement positive la fonction 



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[PDF] Résumé - Fonctions exponentielle et logarithme

La fonction ln définie sur ] 0 ; +? [ et la fonction exp définie sur sont toutes les deux continues et strictement croissantes

  • Quelle est la relation entre ln et exp ?

    La fonction exponentiellle qui est notée exp, est la réciproque de la fonction logarithme népérien. Ainsi : Exp est définie sur l'intervalle ]- ; + [. Exp est une bijection de ]- ; + [ sur ]0 ; + [ dont la réciproque est ln.

  • Comment enlever exponentielle avec ln ?

    Si l'équation est du type e^{u\\left(x\\right)} = k. Afin de résoudre une équation du type e^{u\\left(x\\right)} = k, si k \\gt0 on applique la fonction logarithme aux deux membres de l'égalité pour faire disparaître l'exponentielle.

  • Quelle est la valeur de ln e ?

    Le nombre e est la base des logarithmes naturels, c'est-à-dire le nombre défini par ln(e) = 1. Cette constante mathématique, également appelée nombre d'Euler ou constante de Néper en référence aux mathématiciens Leonhard Euler et John Napier, vaut environ 2,71828.
  • Une fonction exponentielle �� = �� ? est la réciproque de la fonction logarithmique �� = �� l o g ? . Le logarithme décimal est de base 10, et est généralement s'écrit comme �� = �� l o g , et est équivalent à �� = 1 0 ? .
1

FONCTION EXPONENTIELLE ET

FONCTION LOGARITHME

I. Définition de la fonction exponentielle

Propriété et définition : Il existe une unique fonction f dérivable sur ℝ telle que

et 0 =1. Cette fonction s'appelle fonction exponentielle et se note exp.

Conséquence : exp

0 =1 Avec la calculatrice, il est possible d'observer l'allure de la courbe représentative de la fonction exponentielle : Remarque : On verra dans le paragraphe II. que la fonction exponentielle est croissante. Mais sa croissance est très rapide, ainsi exp(21) dépasse le milliard. Pour des valeurs de x de plus en plus grandes, la fonction exponentielle prend des valeurs de plus en plus grandes. Propriété : La fonction exponentielle est strictement positive sur ℝ.

II. Étude de la fonction exponentielle

1) Dérivabilité

Propriété : La fonction exponentielle est dérivable sur ℝ et exp =exp

2) Variations

Propriété : La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.

En effet,

exp >0 car exp =exp>0.

3) Courbe représentative

On dresse le tableau de variations de la fonction exponentielle : x exp exp 0 2

III. Propriété de la fonction exponentielle

1) Relation fonctionnelle

Théorème : Pour tous réels x et y, on a : exp =expexp Remarque : Cette formule permet de transformer une somme en produit et réciproquement.

Corollaires : Pour tous réels x et y, on a :

a) exp ou encore expexp =1 b) exp c) exp exp avec ∈ℕ

Démonstration du a et b :

a) expexp =exp =exp0=1 b) exp =exp4+ 5 =expexp =exp

2) Le nombre e

Définition : L'image de 1 par la fonction exponentielle est notée e.

On a ainsi exp1=

Remarque : Avec la calculatrice, on peut obtenir une valeur approchée de e. 3

Notation nouvelle :

exp=exp ×1 exp1

On note pour tout x réel, exp=

Comme , le nombre e est un nombre irrationnel, c'est à dire qu'il s'écrit avec un nombre infini de décimales sa ns suite logique.

Ses premières décimales sont :

e ≈ 2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995

9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274...

Le nombre e est également un nombre transcendant. On dit qu'un nombre est tra nscendant s'il n'e st solution d'aucune équation à coefficients entiers.

Le nombre

2 par exempl e, est irrationnel mais n'est pas

transcendant puisqu'il est solution d e l'équat ion =2. Un tel nombre est dit "algébrique».

Le premier à s'intéresser de façon sérieuse au nombre e est le mathématicien suisse Leonhard

Euler (1707 ; 1783), ci-dessus. C'est à lui que nous devons le nom de ce nombre. Non pas qu'il

s'agisse de l'initiale de son nom mais peut être car e est la première lettre du mot exponentiel.

Dans " Introductio in Analysin infinitorum » publié en 1748, Euler explique que : =1+ Rappelons que par exemple 5! se lit "factorielle 5" et est égal à 1 x 2 x 3 x 4 x 5. Par cette formule, il obtient une estimation de e avec 18 décimales exactes. Nous devons aussi à Euler la démonstration de l'irrationalité de e. Avec cette nouvelle notation, on peut ainsi résumer l'ensemble des propriétés de la fonction exponentielle : Propriétés : Pour tous réels x et y, on a : a) =1 et b) >0 et c) , avec ∈ℕ. Méthode : Dériver une fonction exponentielle

Vidéo https://youtu.be/XcMePHk6Ilk

Dériver les fonctions suivantes :

a) =4-3 b) -1 c) ℎ a) ′ =4-3 b) ()=1× -1 4 c) ℎ′

Méthode : Simplifier les écritures

Vidéo https://youtu.be/qDFjeFyA_OY

Simplifier l'écriture des nombres suivants :

0 0 Propriétés : Pour tous réels a et b, on a : a) b) Méthode : Résoudre une équation ou une inéquation

Vidéo https://youtu.be/dA73-HT-I_Y

Vidéo https://youtu.be/d28Fb-zBe4Y

a) Résoudre dans ℝ l'équation =0. b) Résoudre dans ℝ l'inéquation ≥1. a) =0 -3=-2 +2-3=0

Δ=2

-4×1× -3 =16

Donc =

!2 =-3 ou = ,(3 !2 =1

Les solutions sont -3 et 1.

2 0 +1 0 5 b) ≥1 ⟺4-1≥0 4

L'ensemble des solutions est l'intervalle M

;+∞M. Méthode : Étudier une fonction exponentielle

Vidéo https://youtu.be/_MA1aW8ldjo

Soit f la fonction définie sur ℝ par +1 a) Calculer la dérivée de la fonction f. b) Dresser le tableau de variations de la fonction f. c) Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0. d) Tracer la courbe représentative de la fonction f en s'aidant de la calculatrice. a) +1 +2 b) Comme >0, () est du signe de +2. f est donc décroissante sur l'intervalle -∞;-2 et croissante sur l'intervalle -2;+∞

On dresse le tableau de variations :

x -∞ -2 +∞ () - 0 + c) 0 =1 et ′ 0 =2 Une équation de la tangente à la courbe en 0 est donc : = 0 -0 +(0), soit : =2+1 d) 6

IV. Fonctions de la forme ⟼

1) Variations

Propriété :

La fonction ⟼

45
, avec ∈ℝ∖ 0 , est dérivable sur ℝ. Sa dérivée est la fonction 45

Démonstration :

On rappelle que la dérivée d'une fonction composée ⟼ est

En considérant

5 , = et =0, on a : 45
45

Exemple :

Soit

)/5 alors ′ =-4 )/5

Propriété :

Si k > 0 : la fonction ⟼

45
est strictement croissante.

Si k < 0 : la fonction ⟼

45
est strictement décroissante.

Démonstration :

On a :

45
45

Or,

45
>0 pour tout réel t et tout entier relatif k non nul. Donc le signe de la dérivée ⟼ 45
dépend du signe de k. Si k > 0 alors la dérivée est strictement positive est donc la fonction ⟼ 45
est strictement croissante. Si k < 0 alors la dérivée est strictement négative est donc la fonction ⟼ 45
est strictement décroissante.

2) Représentation graphique

Méthode : Étudier une fonction ⟼ 45
dans une situation concrète

Vidéo https://youtu.be/lsLQwiB9Nrg

Suite à une infection, le nombre de bactéries contenues dans un organisme en fonction du temps (en heures) peut être modélisé par la fonction f définie sur [0 ; 10] 7 et telle que =0,14().

1) Montrer que la fonction f définie sur [0 ; 10] par

%,&/5 convient.

2) On suppose que

0 =50000. Déterminer A.

3) Déterminer les variations de f sur [0 ; 10].

4) a) À l'aide de la calculatrice, donner un arrondi au millier près du nombre de

bactéries après 3h puis 5h30. b) À l'aide de la calculatrice, déterminer au bout de combien de temps le nombre de bactéries a-t-il doublé. Arrondir à l'heure près.

1)

()=×0,14 %,&/5 =0,14× %,&/5 =0,14().

La fonction f définie sur [0 ; 10] par

%,&/5 vérifient bien l'égalité ()=0,14() donc elle convient.

2)

0

Donc, si

0 =50000, on a : =50000.

Une expression de la fonction f est donc :

=50000 %,&/5

3) Comme =0,14>0, on en déduit que la fonction ⟼

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