[PDF] I Asymptote Oblique II Branches paraboliques

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P2:doc 3Asymptote Oblique, branches paraboliques, ...2014-2015

Il est possible de préciser la courbe représentative d"une fonction qui admet une limiteinfinienl"infini.

I Asymptote Oblique

On dit que la droite d"équationy=ax+b(a?R?,b?R) est asymptote oblique en +∞(resp. en-∞) àCfsi lim x→+∞[f(x)-(ax+b)] = 0 (resp.limx→-∞[f(x)-(ax+b)] = 0) O?i ?j y=ax+b

Exemple 1:f:R?-→R

x?-→2x+ 1 +1 x•Cfadmet-elle une droite comme asymptote en+∞? •Justifier.

Exemple 2:f:Df-→R

x?-→? x2-1 + 2x •DéterminerDf; •Prouver que la droited:y= 3xest asymptote àCfen+∞;

•Cfadmet-elle une asymptote oblique en-∞? (attendre ce qui suit pour répondre à cette question)

II Branches paraboliques

II.1 Branche parabolique de direction(Ox)

On dit queCfprésente unebranche parabolique de direction asymptotique(Ox) en +∞si : limx→+∞f(x) =±∞; limx→+∞f(x)x= 0 ; O?i ?j

II.2 Branche parabolique de direction(Oy)

On dit queCfprésente unebranche parabolique de direction asymptotique(Oy) en +∞si : limx→+∞f(x) =±∞; limx→+∞f(x)x=±∞; O ?j II.3 Branche parabolique de direction la droite d"équationy=ax On dit queCfprésente unebranche parabolique de direction asymptotique la droite d"équationy=axen +∞si : limx→+∞f(x) =±∞; limx→+∞f(x)x=a; limx→+∞f(x)-ax=±∞;O ?j y=ax

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III Synthèse sur les branches infinies

III.1 Résumé

fest définie sur un intervalle ouvert ou une réunion d"intervalles ouverts

Au voisinage d"un pointc,

borne réelle de l"intervalleI.

Si lim

x→cf(x) =±∞

La droite d"équationx=c

est asymptote verticale àCf. Au voisinage d"une borne infinie de l"intervalleI, par exemple +∞. Si limx→+∞f(x) =l?R

La droite d"équation

y=lest asymptote horizontale àCf.

Si limx→+∞f(x) =±∞

On poursuit les investigations...en étudiant limx→+∞f(x)x -→Si limx→+∞f(x) x= 0, branche parabolique de direction asymptotique (Ox); -→Si limx→+∞f(x) x=±∞, branche parabolique de direction asymptotique (Oy); -→Si limx→+∞f(x) x=a, on poursuit notre recherche... •Si limx→+∞f(x)-ax=±∞, branche parabolique de direc- tion asymptotique la droite d"équationy=ax; •Si limx→+∞f(x)-ax=b?R, asymptote oblique d"équation y=ax+b;

III.2 Des exemples

?f

0:R-?12?

-→R x?-→2x3 (2x-1)2?f

1: [0;+∞[-→R

x?-→1-⎷ x+x22?f

2: [1;+∞[-→R

x?-→x2+⎷2x-2

III.3 Des situations " marginales »

Certaines situations aboutissent à l"absence de limite. Par exemple : f3:R-→R x?-→x+ sin(2πx) f4:R-→R x?-→x(sin(2πx) + 2)

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