S Amérique du Nord mai 2013
On considère la suite ( un ) définie par u0=1 et pour tout entier naturel n un+1=√2un . 1. On considère l'algorithme suivant : Variables : n est un entier
Corrigé du baccalauréat S Pondichéry du 26 avril 2017 EXERCICE
26 avr. 2017 On considère deux suites (un) et (vn) : • la suite (un) définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n : un+1 = 2un −n +3;. • la suite (vn) ...
Suites 1 Convergence
Calculer la limite de la suite définie par : u0 = 4 et pour tout n ∈ N un+1 = 4un +5 un +3 .
Etudier les suites u v et w puis déterminer u n
http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00092.pdf
Le Caousou
Exercice 1. La suite ( ) est définie pour tout entier naturel par = √ + 5. La suite ( ) est définie par 0 = 16 et pour tout entier
Sans titre
2) On considère la suite (un) définie par u0 = 0 et pour tout n : un+1 = f (un). a) Démontrer par récurrence
Correction du devoir commun TS 15 décembre 2012
15 déc. 2012 On considère la suite (un) définie par u0 = 0 et pour tout entier ... Déduisons–en que
Antilles-Guyane septembre 2019
On considère les suites (un) et (vn) définies par : . u0=a et pour tout entier naturel n
Corrigé du baccalauréat Centres étrangers 9 juin 2021 Candidats
9 juin 2021 ... de collaborateurs satisfaits par ce dispositif à l'aide de la suite (un) définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n
S Amérique du Nord mai 2013
On considère la suite ( un ) définie par u0=1 et pour tout entier naturel n racine carrée est strictement croissante sur [0;+?[ donc ?0 < ?2un ? ...
Sans titre
Démontrer par récurrence pour tout entier naturel n ? 1. 2. 2 1 n n. + ? . Exercice 5. On considère la suite (un) d'entiers naturels définie par: u0 = 1
Corrigé du baccalauréat S Pondichéry du 26 avril 2017 EXERCICE
Apr 26 2017 À l'issue de la fabrication
S Antilles – Guyane septembre 2018
On considère la suite (un) définie par u0=1 et pour tout entier naturel n un+1=e×?un. 1. La fonction racine carrée est croissante sur [0;+?[ . Si 1 ...
Antilles-Guyane septembre 2019
Affirmation 3 : La suite (wn) converge. Partie B. On considère la suite (Un) définie par U0= 1. 2 et pour tout entier naturel n
SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
1) La suite (un) définie par : 7 9 n u n. = ? est-elle arithmétique ? 2) La suite (vn) définie de premier terme u0. Pour tout entier naturel n on a :.
Exercice 1 : (4 points) Etudier la monotonie de la suite u. 1) un = n
2) un = 1 n + 1. -. 1 n. 3) un+1 = un. 1 + un² et u0 = 4. 4) u est la suite On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par vn = 1.
Suites
Montrer que pour tout entier naturel n on a ?n k=0. 1 ukuk+1. = n+1 Soient (un) et (vn) les suites définies par la donnée de u0 et v0 et les relations ...
Corrigé du baccalauréat Centres étrangers 9 juin 2021 Candidats
Jun 9 2021 Commun à tous les candidats. 1. On considère la fonction définie sur R ... On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par ...
Raisonnement par récurrence. Limite dune suite
Jul 11 2021 Soit la suite (un) définie pour n ? 1 par : un ... 2) Démontrer par récurrence que
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Exercice 4 Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité 5 points On considère la suite (un) définie par u0=1 et pour tout entier naturel n
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vn+1 +un+1 = vn +un La suite v+u est constante et donc pour tout entier naturel n on a vn +un = v0 +u0 En additionnant
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4 Montrer que pour tout entier naturel n on a un+1 ? 1 ? 2 3 un ? 1
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On considère la suite (un) définie par u0 = 1 2 et telle que pour tout entier naturel n un + 1 = 3un 1 + 2un 1-a) Calculer u1 et u2 u1 = 3u0 1 +
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D'après l'axiome de récurrence la propriété est vraie pour tout n ? N II On considère la suite (un) définie par : u0 = 0 et un+1 = ?2un +
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Montrer que la suite ( ) ?? est bien définie convergente et déterminer sa limite Allez à : Correction exercice 16 : Exercice 17 : 1 Calculer si cette
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Démontrer par récurrence pour tout entier naturel n ? 1 2 2 1 n n + ? Exercice 5 On considère la suite (un) d'entiers naturels définie par: u0 = 1
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26 avr 2017 · On considère deux suites (un) et (vn) : • la suite (un) définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n : un+1 = 2un ?n +3;
Raisonnement par récurrence - Démonstration - Jaicompris
On considère la suite (un) définie par u0=10 et pour tout entier naturel n un+1=12un+1 Calculer les 4 premiers termes de la suite Quelle conjecture peut-on
1YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frSUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES Vidéo https://youtu.be/pHq6oClOylU I. Suites arithmétiques 1) Définition Exemple : Considérons une suite numérique (un) où la différence entre un terme et son précédent reste constante et égale à 5. Si le premier terme est égal à 3, les premiers termes successifs sont : u0 = 3, u1 = 8, u2 = 13, u3 = 18. Une telle suite est appelée une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme 3. La suite est donc définie par : 0
1 3 5 nn u uu. Définition : Une suite (un) est une suite arithmétique s'il existe un nombre r tel que pour tout entier n, on a : 1nn
uur. Le nombre r est appelé raison de la suite. Méthode : Démontrer si une suite est arithmétique Vidéo https://youtu.be/YCokWYcBBOk 1) La suite (un) définie par : 79
n un=- est-elle arithmétique ? 2) La suite (vn) définie par : 2 3 n vn=+ est-elle arithmétique ? 1) () 17917 979 9799
nn uunn nn. La différence entre un terme et son précédent reste constante et égale à -9. (un) est une suite arithmétique de raison -9. 2) ()
2 2221
1332 133 21
nn vvnnnnn n. La différence entre un terme et son précédent ne reste pas constante. (vn) n'est pas une suite arithmétique. Vidéo https://youtu.be/6O0KhPMHvBA
2YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frPropriété : (un) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0. Pour tout entier naturel n, on a : 0n
uunr=+. Démonstration : La suite arithmétique (un) de raison r et de premier terme u0 vérifie la relation 1nn
uur . En calculant les premiers termes : 10 uur=+ 21002uururrur=+=++= +
320023uururrur=+=++= +
100(1) nn uuru nrrunr
. Méthode : Déterminer la raison et le premier terme d'une suite arithmétique Vidéo https://youtu.be/iEuoMgBblz4 Considérons la suite arithmétique (un) tel que
u 5 =7 et u 9 =19. 1) Déterminer la raison et le premier terme de la suite (un). 2) Exprimer un en fonction de n. 1) Les termes de la suite sont de la forme
u n =u 0 +nrAinsi 50
57uur=+=
et 90919uur=+=
. On soustrayant membre à membre, on obtient :5r-9r=7-19
donc r=3 . Comme u 0 +5r=7 , on a : u 0 +5×3=7 et donc : u 0 =-8 . 2) 0n uunr=+ soit 83 n un=-+× ou encore 38 n un=-2) Variations Propriété : (un) est une suite arithmétique de raison r. - Si r > 0 alors la suite (un) est croissante. - Si r < 0 alors la suite (un) est décroissante. Démonstration :
u n+1 -u n =u n +r-u n =r . - Si r > 0 alors u n+1 -u n >0 et la suite (un) est croissante. - Si r < 0 alors u n+1 -u n <0 et la suite (un) est décroissante. Exemple : Vidéo https://youtu.be/R3sHNwOb02M3YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frLa suite arithmétique (un) définie par
u n =5-4nest décroissante car de raison négative et égale à -4. 3) Représentation graphique Les points de la représentation graphique d'une suite arithmétique sont alignés. Exemple : On a représenté ci-dessous la suite de raison -0,5 et de premier terme 4. II. Suites géométriques 1) Définition Exemple : Considérons une suite numérique (un) où le rapport entre un terme et son précédent reste constant et égale à 2. Si le premier terme est égal à 5, les premiers termes successifs sont : u0 = 5, u1 = 10, u2 = 20, u3 = 40. Une telle suite est appelée une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 5. La suite est donc définie par :
u 0 =5 u n+1 =2u nVidéo https://youtu.be/WTmdtbQpa0c Définition : Une suite (un) est une suite géométrique s'il existe un nombre q tel que pour tout entier n, on a :
u n+1 =q×u n . Le nombre q est appelé raison de la suite.4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frMéthode : Démontrer si une suite est géométrique Vidéo https://youtu.be/YPbEHxuMaeQ La suite (un) définie par :
u n =3×5 n est-elle géométrique ? u n+1 u n3×5
n+13×5
n 5 n+1 5 n =5 n+1-n =5. Le rapport entre un terme et son précédent reste constant et égale à 5. (un) est une suite géométrique de raison 5 et de premier terme
u 0 =3×5 0 =3. Exemple concret : On place un capital de 500€ sur un compte dont les intérêts annuels s'élèvent à 4%. Chaque année, le capital est multiplié par 1,04. Ce capital suit une progression géométrique de raison 1,04. On a ainsi : u
1 =1,04×500=520 u 2 =1,04×520=540,80 u 3 =1,04×540,80=562,432De manière générale : u
n+1 =1,04×u n avec u 0 =500 On peut également exprimer un en fonction de n : u n =500×1,04 nPropriété : (un) est une suite géométrique de raison q et de premier terme u0. Pour tout entier naturel n, on a : 0
n n uuq=×. Démonstration : La suite géométrique (un) de raison q et de premier terme u0 vérifie la relation
u n+1 =q×u n . En calculant les premiers termes : u 1 =q×u 0 u 2 =q×u 1 =q×q×u 0 =q 2 ×u 0 u 3 =q×u 2 =q×q 2 ×u 0 =q 3 ×u 0 u n =q×u n-1 =q×q n-1 u 0 =q n ×u 0. Méthode : Déterminer la raison et le premier terme d'une suite géométrique Vidéo https://youtu.be/wUfleWpRr10 Considérons la suite géométrique (un) tel que
u 4 =8 et u 7 =512. Déterminer la raison et le premier terme de la suite (un). Les termes de la suite sont de la forme
u n =q n ×u 0 Ainsi u 4 =q 4 ×u 0 =8 et u 7 =q 7 ×u 0 =5125YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frAinsi :
u 7 u 4 q 7 ×u 0 q 4 ×u 0 =q 3 et u 7 u 4 5128 =64 donc q 3 =64
. On utilise la fonction racine troisième de la calculatrice pour trouver le nombre qui élevé au cube donne 64. Ainsi
q=64 3 =4 Comme q 4 ×u 0 =8 , on a : 4 4 ×u 0 =8 et donc : u 0 1 32. 2) Variations Propriété : (un) est une suite géométrique de raison q et de premier terme non nul u0. Pour
u 0 >0: - Si q > 1 alors la suite (un) est croissante. - Si 0 < q < 1 alors la suite (un) est décroissante. Pour
u 0 <0: - Si q > 1 alors la suite (un) est décroissante. - Si 0 < q < 1 alors la suite (un) est croissante. Démonstration dans le cas où u0 > 0 : 1
1000(1) nnn nn uuququuqq . - Si q > 1 alors u n+1 -u n >0 et la suite (un) est croissante. - Si 0 < q < 1 alors u n+1 -u n <0
et la suite (un) est décroissante. Exemple : Vidéo https://youtu.be/vLshnJqW-64 La suite géométrique (un) définie par
u n =-4×2 nest décroissante car le premier terme est négatif et la raison est supérieure à 1. Remarque : Si la raison q est négative alors la suite géométrique n'est pas monotone. Horsducadredelaclasse,aucunereproduction,mêmepartielle,autresquecellesprévuesàl'articleL122-5ducodedelapropriétéintellectuelle,nepeutêtrefaitedecesitesansl'autorisationexpressedel'auteur.www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales
6YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frRÉSUMÉS (un) une suite arithmétique - de raison r - de premier terme u0. Exemple : r=-0,5
et u 0 =4Définition
u n+1 =u n +r u n+1 =u n -0,5 La différence entre un terme et son précédent est égale à -0,5. Propriété u n =u 0 +nr u n =4-0,5n Variations Si r > 0 : (un) est croissante. Si r < 0 : (un) est décroissante. r=-0,5<0La suite (un) est décroissante. Représentation graphique Remarque : Les points de la représentation graphique sont alignés. (un) une suite géométrique - de raison q - de premier terme u0. Exemple : q=2
et u 0 =-4Définition
u n+1 =q×u n u n+1 =2×u n Le rapport entre un terme et son précédent est égal à 2. Propriété u n =u 0 ×q n u n =-4×2 nVariations Pour
u 0 >0 : Si q > 1 : (un) est croissante. Si 0 < q < 1 : (un) est décroissante. Pour u 0 <0 : Si q > 1 : (un) est décroissante. Si 0 < q < 1 : (un) est croissante. u 0 =-4<0 q=2>1La suite (un) est décroissante. Représentation graphique Remarque : Si q < 0 : la suite géométrique n'est ni croissante ni décroissante.
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