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Cours Concis

de

Mathématiques

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94041, USA.Pierre Guillot

IRMA

7 rue René Descartes

67084 Strasbourg

guillot@math.unistra.fr

Avant-propos

- Deux ans! dit Dantès, vous croyez que je pourrais apprendre toutes ces choses en deux ans? - Dans leur application, non; dans leurs prin- cipes, oui : apprendre n"est pas savoir; il y a les les uns, c"est la philosophie qui fait les autres. Dantès avait une mémoire prodigieuse, une fa- cilité de conception extrême : la disposition mathématique de son esprit le rendait apte à tout comprendre par le calcul, tandis que la poésie du marin corrigeait tout ce que pouvait avoir de trop matériel la démonstration réduite à la sécheresse des chiffres ou à la rectitude des lignes.

Alexandre Dumas,Le comte de Monte-Cristo

Edmond Dantès, le héros du roman d"Alexandre Dumas, dispose de deux ans pour apprendre les mathématiques, la physique, l"histoire, et " trois ou quatre langues vivantes », à si en un an vous venez à bout du présent ouvrage, vous aurez couvert les programmes d"analyse et d"algèbre de première an- née post-baccalauréat. Certains étudiants se contenteront, selon leur filière, d"une sélection de quelques chapitres. Par exemple l"auteur a ensei- gné à des élèves chimistes, parcourant au premier semestre les chapitres 3, 4, 6, et le tout début des 8, 9 et 10, alors que le deuxième semestre, dédié à l"algèbre, s"est construit autour des chapitres 12, 13, 14, 15 et 16 (quelques morceaux choisis de la partie "Préliminaires» étant disséminés au fur et à mesure des besoins). À l"inverse, d"autres élèves amenés à étudier plus de mathématiques en première année, comme par exemple ceux en classes préparatoires, exploreront tous les chapitres et dé- tailleront même les encadrés " hors programme ». Les ensei- gnants infléchiront, par le choix des exercices supplémentaires qu"ils voudront bien proposer, votre course à travers l"analyse et l"algèbre.Les encadrés

Au gré du texte vous verrez

quelques encadrés, ayant l"appa- rencedecelui-ci.Ilscontiennentdes compléments qui sont clairement à considérer comme du " hors pro- gramme ». Leur lecture demandeplus d"attention.

Si un thème vous intéresse, vous

êtes invité à faire quelques re-

cherches, à commencer par Wikipe- dia et autres, puis à questionner vos enseignants.Le parti pris de ce cours L"idée de ce " cours concis » est de proposer, aux étudiants comme aux enseignants, un cours de mathématiques essentiel- lement identique à ce que l"auteur produirait au tableau. (On a bien sûr incorporé dans le texte les nombreuses remarques orales qui accompagneraient un tel cours.) Afin de tendre vers cet objectif, on a déshabillé ce livre du caractère encyclopé- dique dont est empreinte la majorité des ouvrages de mathé- matiques à l"attention des élèves de première année. Vous pourrez d"ailleurs, si telle est votre préférence, faire une utilisation complémentaire de ce cours et d"un ou plu- sieurs ouvrages à vocation exhaustive.

Les exercices

Tout au long des chapitres, vous êtes invités à résoudre un certain nombre d"exercices. Toutefois, les énoncés de ceux-ci ne sont pas inclus dans le livre. Ils sont à retrouver sur le site In- ternet "exo7», qui (au moment où cet avant-propos est rédigé, en mai 2013) se trouve à l"adresse suivante : http://exo7.emath.fr/search.php Vous y trouverez un très grand nombre d"exercices supplé- mentaires, dont une bonne partie comprend une correction, et parfois même une correctionfilmée. Sur la page personnelle de l"auteur, que vous trouverez aisément à l"aide d"un moteur de recherche, vous pourrez également télécharger les exercices au format PDF, ainsi qu"une version gratuite de ce livre. Dans le texte, les numéros des exercices sont donnés dans la marge. Ils peuvent être reportés directement dans le " cadre de saisie » d"exo7.Les notes dans la marge ont cet aspect.Précisons une chose. La sélection des exercices que nous avons opérée est orientée vers la compréhension des concepts les plus basiques; à de très rares exceptions près, les problèmes à résoudre ne font pas appel à des astuces. Le but est de vous assurer de votre bonne progression dans le cours, avec ce ba- romètre simple : vous devez être capable de fairetousles exer- cices ou presque. Les exercices plus " astucieux », qui peuvent très bien être au goût de l"auteur par ailleurs, vous seront proposés par vos enseignants.

Les deux lectures

Un certains nombre de découpages ont été faits, dans le but de séparer les choses les plus faciles des choses les plus ardues. Les encadrés, on l"a dit, contiennent des informations officiel- lement " hors programme ». Mais vous constaterez également que la plupart des chapitres se partagent entre une " première lecture » et une " deuxième lecture ». La deuxième lecture ren- ferme parfois les démonstrations de certains résultats annon- cés dans la première; parfois on y aborde d"autres concepts plus avancés. Précisons qu"on attend d"un élève de première année en filière mathématique à l"université qu"il connaisse le contenu des " deuxièmes lectures » (et les enseignants en deuxième an- née supposeront que c"est le cas). À l"extrême inverse, nous recommandons aux étudiants " pressés » (pour désigner ainsi ceux qui entament le travail à quelques jours de l"examen) de commencer par les premières lectures de tous les chapitres (plutôt que de lire quelques chapitres en entier). Notons que l"on peut effectivement se contenter de la pre- mière lecture et passer aux chapitres suivants. Il y aura très tures; et même dans les rares cas où on le fait, on peut facile- ment remettre à plus tard la lecture détaillée du passage indi- qué. Ceci permet de naviguer un peu dans les chapitres, même si par nature les mathématiques, à l"heure où on les découvre pour la première fois, permettent peu d"exercer cette liberté.

À savoir avant de commencer

On vous a peut-être dit, ou vous vous êtes peut-être ima- giné, que les mathématiques à partir de l"université repartaient de zéro, et redéfinissaient tous les concepts utilisés. C"est à la fois vrai d"un point de vue strictement logique, et chargé d"une certaine hypocrisie. Il est indéniable qu"une exposition préalable à des ma- thématiques va s"avérer indispensable à la bonne compréhen- sion de ce qui suit. Pour prendre quelques exemples, nous ne prendrons pas le temps ici de forger l"intuition selon laquelle deux nombres réels repèrent un point dans le plan, pas plus que nous n"aurons le loisir de dessiner de nombreux vecteurs comme des flèches et de les additionner en construisant des parallélogrammes. Nous mentionnerons ces choses, mais à un rythme qui n"est raisonnable que parce que l"on vous sait déjà

à l"aise avec ces concepts.

Une certaine familiarité avec le calcul est également atten- due. Pensez que nous allons définir le concept de dérivée, dont vous devez avoir une connaissance informelle depuis le lycée, et que nous allons enfindémontrerque les fonctions ayant une dérivée positive sont croissantes; mais apprendre à calculer les dérivées est une gymnastique à laquelle on vous suppose un peu aguerris. Nous avons rassemblé dans un appendice, à la fin de la par- tie "Préliminaires», une compilation des connaissances de Ter- minale qui vont être les plus utiles à la lecture du présent ma- nuel.

Remerciements

Ce livre a été principalement écrit en 2010-2011, à Vancou- ver, alors que l"auteur bénéficiait d"une délégation au CNRS sans laquelle il n"aurait pu venir à bout de ce projet. Depuis, de nombreux collègues ont apporté leurs remarques construc- tives, au premier rang desquels Vianney Combet, à qui je dois une relecture minutieuse et un nombre de corrections trop élevé pour être rendu public. Je l"en remercie vivement. J"ai été encouragé à finaliser ce cours, qui stagnait dans une version préliminaire, par l"enthousiasme des élèves de la pro- motion 2011-2012 de MPA à l"université de Strasbourg. Qu"il me soit donc permis de saluer Alexandre Amara, Vincent Beck, Yann Becker, Mike Beller, Arnaud Bonnet, Béatrice Chetard, Sophie Hurier, Guillaume Klein, Kévin Pfeiffer, Philippe Ricka,

Claire Roman et Étienne Werly.

Table des matières

I Préliminaires

4

1 Ensembles

5 Première lecture. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

Ensembles et appartenance

6

Quelques constructions

7

Propositions mathématiques

8

Fonctions

9 Deuxième lecture. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

Fonctions injectives

10

Fonctions surjectives et bijectives

11

Exemples de bijections

12

Quelques opérations sur les fonctions

13

La méthode axiomatique

14

2 Nombres

15 Première lecture. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

Les premiers nombres

16

Les nombres décimaux et les réels

17

Bornes supérieures

18 Bornes supérieures dansRet racines carrées. . . 19

Les nombres complexes

20 Deuxième lecture. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

Calculs sur machine et corps

21

Arithmétique de l"horloge

22

II Analyse

23

3 Suites

24
Première lecture. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

Suites de réels

25

Convergence

26

Combiner les limites

27

Suites croissantes et décroissantes

28
Convergence vers1. . . . . . . . . . . . . . . .29 Deuxième lecture. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

Convergence absolue

30

Suites de complexes

31

Suites de vecteurs

32

4 Continuité

33
Première lecture. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33

Introduction & Définitions

34

Le théorème des valeurs intermédiaires

35

Autres exemples de fonctions continues

36

Le langage des limites

37

Continuité et inégalités

38
Deuxième lecture. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

Continuité et fonctions monotones

39

Fonctions de plusieurs variables

40

5 Bolzano-Weierstrass

41
Première lecture. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

Le théorème de Bolzano et Weierstrass

42

Fonctions continues et intervalles compacts

43
Deuxième lecture. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

Parties compactes

44

Autres études de minima et maxima

45

Continuité uniforme

46

6 Dérivées

47
Première lecture. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47

Définitions & Premières propriétés

48

Le théorème des accroissements finis

49
Deuxième lecture. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49

Le théorème du point fixe

50

Dérivées et réciproques

51

Fonctions à valeurs vectorielles

52

7 Formules de Taylor

53

Introduction

54

La formule de Taylor-Lagrange

55

La formule de Taylor-Young

56

Développements limités

57
Méthodes de calcul des développements limités 58

Le minimum à savoir par coeur

59

8 Intégrale de Riemann

60
Première lecture. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60

Introduction

61

Fonctions intégrables au sens de Riemann

62

Premiers exemples de fonctions intégrables

63

Propriétés élémentaires

64

Intégrales et fonctions continues

65

La fonctionx7!Rx

af. . . . . . . . . . . . . . . . .66

La formule du changement de variables

67
Deuxième lecture. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67

Fonctions à valeurs vectorielles

68

Longueur d"une courbe

69

Démonstration de Taylor-Young

70

9 Fractions rationnelles

71

Fractions rationnelles

72

Intégration des éléments simples

73

Fractions rationnelles trigonométriques

74

10 Équations différentielles75

Première lecture. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75

Équations linéaires d"ordre 1

76

Trouver une solution particulière

77

Équations linéaires d"ordre supérieur

78
Deuxième lecture. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78 Systèmes d"équations différentielles. . . . . . . . 79

Étude qualitative des systèmes

80

Retour sur les équations d"ordre supérieur

81

Utilisation de l"exponentielle matricielle

82

III Algèbre

83

11 Polynômes

84
Première lecture. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84

Définitions & Notations

85

Arithmétique et division euclidienne

86

Racines

87
Diviseurs dansC[X]. . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Deuxième lecture. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88

Plus grand diviseur commun

89

Le théorème de Bézout

90

Premiers

91

Factorisation

92

12 Matrices

93
Première lecture. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93

Introduction

94

Addition et multiplication

95

Règles de calcul

96

Matrices échelonnées

97

Opérations sur les lignes

98

Calcul de l"inverse d"une matrice

99
Deuxième lecture. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99

Un autre point de vue sur les opérations

100
Justification de la méthode de calcul de l"inverse 101

L"unicité de la matrice bien échelonnée

102
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