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Felice Ronga

Topologie et g´eom´etrie

Gen`eve, MMVI ap. J.-C.

ii

Table des mati`eres

Table des figuresv

A Topologie g´en´erale1

I Topologies3

I.1 Espaces topologiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

I.1.1 Espaces m´etriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

I.1.2 Base de topologie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

I.1.3 Comparaison de topologies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

I.2 Applications continues, hom´eomorphismes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

Continuit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 Hom´eomorphismes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

I.2.1 Ouverts, ferm´es, voisinages. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

Ferm´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 Fronti`ere d"un sous-ensemble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 Voisinages. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 Applications ouvertes, ferm´ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

I.3 Topologie somme disjointe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

II Topologie produit et topologie quotient17

II.1 Topologie produit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

II.1.1 D´efinition et propri´et´es fondamentales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

II.1.2 Encore des propri´et´es de la topologie produit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

Tranches. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 M´etrisabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 Amplification. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 II.1.3 L"ensemble de Cantor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

II.2 Topologie quotient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

IIIEspaces compacts31

III.1 Espaces topologiques s´epar´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

III.2 Espaces compacts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

III.2.1 Somme disjointe et produits d"espaces compacts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 III.2.2 Attachement de deux espaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

III.3 Compacts dans les espaces m´etriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

III.4 Espaces localement compacts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

III.4.1 Applications propres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

III.4.2 Le compactifi´e d"Alexandroff. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

III.5 Les espaces projectifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

iii ivTABLE DES MATI`ERESIVEspaces connexes47

IV.1 Espaces connexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47

Composantes connexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50 Produits de connexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51 Le th´eor`eme fondamentale de l"alg`ebre.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52

IV.2 Espaces connexes par arcs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53

IV.3 Espaces localement connexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54

B Topologie et g´eom´etrie diff´erentielle57 V Degr´e des applications du cercle dans lui-mˆeme59

V.1 D´efinition et propri´et´es du degr´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59

Le th´eor`eme du point fixe de Brower. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67 Le th´eor`eme de Nash sur l"existence de points d"´equilibre. . . . . . . . . . . .68

V.2 Champs de vecteurs sur la sph`ereS2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69

Champs de vecteurs dans le plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69 Champs de vecteurs sur la sph`ere. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71 VIG´eom´etrie diff´erentielle des courbes75 Pr´eliminaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75

VI.1 Courbes r´eguli`eres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75

VI.1.1 Longueur d"arc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76

VI.2 Ordre de contact. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77

VI.3 Courbes planes : cercles osculateurs, courbure,

points d"inflexion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80

VI.3.1 Cercles osculateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80

Osculation ordinaire et hyperosculation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84

VI.3.2 Points d"inflexion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87

VI.3.3 Le th´eor`eme des quatre sommets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87

VI.4 Courbes dans l"espace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90

VIIG´eom´etrie diff´erentielle des surfaces de l"espace95

VII.1D´efinitions et exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95

VII.2Premi`ere et deuxi`eme formes fondamentales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97

La premi`ere forme fondamentale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97 La deuxi`eme forme fondamentale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98

VII.2.1Les ombilics de l"ellipso¨ıde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101

Bibliographie103

Index104

Table des figures

I.1 Boules pour les m´etriquesd1,d2,d∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

I.2 Un voisinage dex. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

II.1 Un morceau de surface de r´evolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

II.2 Le tore des topologues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

II.3 Un tore des autres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

II.4 Esquisses des identifications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

II.5 Une repr´esentation du ruban de Moebius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

II.6 Le quotient de l"exempleII.2.11(2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

III.1 Les divers ensembles qui apparaissent dans le lemmeIII.4.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

III.2 La projection st´er´eographique depuis le pˆole nord. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

IV.1 Le peigne des topologues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49

IV.2 La spiraleρ=e-1θ

,θ >0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50

IV.3 Demi-droites issues de l"origine de pente

1n ,n≥1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51 IV.4 Le peigne des topologues n"est pas localement connexe, bien que connexe. . . . . . . . . . .55

V.1 Image parpde l"intervalle ]a,b[ et un ouvert de la formeUt. . . . . . . . . . . . . . . . . . .60

V.2 L"applicationf: [0,1]→S1se rel`eve en?f: [0,1]→R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

V.3 Extension de

?f. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

V.4 L"applicationf:S1→S1,f(z) =z2, est de degr´e 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64

V.5 Construction de

?h(s,t) dans la preuve deV.1.13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66

V.6 D´efinition de l"applicationg:D2→S1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68

V.7 Interpr´etation du lemmeV.1.25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69

V.8 Passage deσN(P) `aσS(P). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73

VI.1 Interpr´etation du signe de la courbure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83

VI.2 Cercles osculateurs `a l"ellipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84

VI.3 Cercles tangents en un point d"osculation ordinaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85

VI.4 Une droite coupe une courbe convexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88

VI.5 Une courbe ferm´ee avec deux sommets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89

VI.6 Situation de la courbe dans la preuve deVI.3.16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90

VI.7 Esquisse de la variation dek(s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90

VI.8 Deux visions de la cubique gauche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92

v viTABLE DES FIGURES

Partie A

Topologie g´en´erale1

Chapitre I

Topologies

Sommaire.1On d´efinit les notions de bases : espace topologique, ouverts, ferm´es, voisinages, applications

continues, hom´eomorphismes. Les d´efinitions sont inspir´ees des notions analogues que l"on connaˆıt dansRn.

Le but est autant de g´en´eraliser des notions fondamentales comme la continuit´e, que de mieux saisir leur sens

profond; ainsi, la notion de fonction continuef:R→Rpeut s"exprimer uniquement en termes d"ouverts,

ou de ferm´es, ou de voisinages, sans r´ef´erence `a la m´etrique deR(voirI.2.2).

I.1 Espaces topologiques

On commence par une d´efinition fondamentale.D´efinition I.1.1(Espace topologique).SoitXun ensemble et d´esignons parP(X) l"ensemble de ses parties.

UnetopologiesurXest un sous-ensembleτ? P(X) (c"est-`a-dire :τest un certain ensemble de parties de

X), qui v´erifie :(1)∅,X?τ(2)Si{Ui}i?I?τ, alors? i?IUi?τ(3)SiU1,...,UN?τ, alors?N j=1Uj?τ

Les ´el´ements deτsont appel´esles ouvertsde la topologie; les conditions (1), (2) et (3) ci-dessus sont les

axiomes d"une topologie. On peut donc rephraser cette d´efinition en disant qu"une topologie est une collection

de sous-ensembles deX, appel´es ouverts, qui doivent v´erifier que(1)l"ensemble vide etXsont ouverts(2)une r´eunion quelconque d"ouverts est un ouvert

(3)une intersection finie d"ouverts est un ouvert

On ´ecrira parfois (X,τ) pour pr´eciser que l"on consid`ere l"ensembleXmuni de la topologieτ.

Voici quelques exemples; les trois premiers sont plutˆot formels, le quatri`eme est un exemple plus sub-

stantiel.Exemples I.1.2.

(1)Xun ensemble quelconque,τ={∅,X}. On l"appelletopologie grossi`ere; elle contient le minimum

possible d"ouverts. Les axiomes de topologie sont trivialement satisfaits.(2)Xun ensemble quelconque,τ=P(X). On l"appelletopologie discr`ete; elle contient le maximum

possible d"ouverts. Les axiomes de topologie sont ´evidemment satisfaits.1

Version du 8 d´ecembre 2006, `a 14h. 073

4CHAPITRE I. TOPOLOGIES(3)X= 0,1,τ={∅,{0,1},{0}}. Ce n"est ni la topologie discr`ete, ni la topologie grossi`ere. On v´erifie

facilement que les axiomes de topologie sont satisfaits. Cet espace est appel´eespace de Sirpinski.(4)On consid`ereR2, muni de la distance euclidienne

x,y?R2, d(x,y) =?(x1-y1)2+ (x2-y2)2 et on d´efinit laboule ouverte de centrex, rayonr >0 par :

B(x,r) =?y?R2|d(x,y)< r?.

On d´efinit une topologieτen disant queU?R2est ouvert si : ?x?U?r >0 tel queB(x,r)?U . Voyons que les axiomes d"une topologie donn´es dansI.1.1sont satisfaits : (1)est imm´ediat (2)Soit{Ui}i?Ides ´el´ements deτ; pour toutx??

i?IUi, il existei0tel quex?Ui0. CommeUi0est ouvert, il exister >0 tel queB(x,r)?Ui0; doncx?B(x,r)?Ui0??

i?IUi. Ceci montre bien que? i?IUi?τ.(3)SoientU1,...,UN?τ; six??N j=1Uj, pour toutj= 1,...,Nil existerj>0 tel quex? B(x,rj)?Uj. On poser= min{r1,...,rN}>0, et alorsx?B(x,r)?Uj,?j= 1,...,N, donc x?B(x,r)??N j=1Uj. Ceci montre bien que?N

j=1Uj?τ.(5)L"exemple pr´ec´edent se g´en´eralise sans autres `aRn,n≥1 : on d´efinit ladistance euclidiennepar

x,y?Rn, d(x,y) =? ???n i=1(xi-yi)2 et laboule ouverte de centrexet rayonr >0 par

B(x,r) ={y?Rn|d(x,y)< r}.

La topologie correspondante surRnest d´efinie en disant queU?Rnest ouvert si

?x?U?r >0 tel queB(x,r)?U(6)Topologie induite sur un sous-ensemble. Soit (X,τX) un espace topologique etA?Xun sous-ensemble.

On d´efinit une topologieτAsurAen posant :

A=?U∩A??U?τX?.

Autrement dit, on prend comme ouverts deAles intersections d"ouverts deXavecA.

I.1.1 Espaces m´etriques

L"exemple deRnavec la distance euclidienne ci-dessus se g´en´eralise aux espaces m´etriques.D´efinition I.1.3(Espaces m´etriques).SoitXun ensemble; unedistanceou

I.1. ESPACES TOPOLOGIQUES5On dit que le couple (X,d) est un espace m´etrique.

Par exemple, la distance euclidienne surRnen fait un espace m´etrique : c"est un exercice qui est laiss´e

au lecteur; on peut en trouver la d´emonstration dans [3, th. IV.1.1].

La d´efinition de topologie surR2`a partir de la distance euclidienneI.1.2(4) se g´en´eralise aux espaces

m´etriques.D´efinition I.1.4(Topologie associ´ee `a une m´etrique).Soit (X,d) un espace m´etrique; soientx?Xet

r >0. Laboule ouvertede centrexet rayonrest d´efinie par :

B(x,r) ={y?X|d(x,y)< r}

et on d´efinit une topologieτsurXen disant queU?Xest ouvert si : ?x?U?r >0 tel queB(x,r)?U . La v´erification que c"est bien une topologie se fait comme dans l"exemple deR2I.1.2(4).

L"exemple de base est une fois de plusRnmuni de la distance euclidienne et sa topologie associ´ee. Un

exemple plus surprenant est celui de la m´etrique discr`ete :Exemple I.1.5(M´etrique discr`ete).SoitXun ensemble quelconque et d´efinissonsd:X×X→Rpar :

x,y?X , d(x,y) =?

0 six=y

1 sinon.

Les conditions (1) et (2) deI.1.3sont imm´ediates. Pour l"in´egalit´e du triangle, six=zil n"y a rien `a v´erifier;

six?=z, alorsz?=you bienx?=y, et doncd(z,y) +d(y,x)≥1 =d(x,z). SiU?Xest quelconque et x?U, puisqueB(x,12 ) ={x}, on ax?B(x,12 )?U, doncUest ouvert. Ainsi, la topologie associ´ee `a la m´etrique discr`ete est la topologie discr`eteI.1.2(2).

Remarques I.1.6.

(1)Soit (X,d) un espace m´etrique. Les boules ouvertes elles-mˆemes sont des ouverts. En effet, siy?

B(x,r), alorsd(x,y)< ret alorsρ=r-d(x,y)>0. V´erifions queB(y,ρ)?B(x,r) : siz?B(y,ρ),

topologie grossi`ere sur un ensemble avec au moins 2 ´el´ements : sidest une quelconque m´etrique sur

Xetx,y?X, posonsr=d(x,y); alorsB(x,r) est un ouvert, comme on vient de le voir, et il contient x, mais pasy. Mais un tel ouvert n"existe pas dans la topologie grossi`ere.

I.1.2 Base de topologie

Une fois de plus, l"inspiration vient de l"espaceR2, o`u on a construit une topologie `a partir des boules

ouvertes.D´efinition I.1.7(Base de topologie).SoitXun ensemble. On dit qu"un ensembleB ? P(X) de parties de

Xest une base de topologie si(1)?x?X?B? Btel quex?B(2)?B1,B2? Betx?B1∩B2,?B3? Btel quex?B3etB3?B1∩B2D´efinition I.1.8(Topologie associ´ee `a une base).SoitBune base de topologie sur l"ensembleX. La

topologieτBassoci´ee `a cette base est d´efinie en prenant comme ouverts les r´eunions quelconques d"´el´ements

de la base : B=?? i?IB i???Bi? B,i?I?

A noter que si on prendI=∅, on obtient l"ensemble vide. Aussi, il est ´equivalent de prendre comme ouverts

lesU?Xtels que?x?U?Bx? Btel quex?Bx?U: une telle propri´et´e est v´erifi´ee par les ´el´ements

de la d´efinition premi`ere deτB; d"autre part, un telUest r´eunion desBx, donc dansτB.

6CHAPITRE I. TOPOLOGIESReste `a voir queτBest effectivement une topologie : il suit de (1) deI.1.7queX?τBet on a vu (ou

pr´ecis´e) que∅ ?τBcomme r´eunion de la famille vide d"´el´ements de la base : l"axiome (1) deI.1.1est donc

satisfait. L"axiome (2) vient du fait que la r´eunion d"une famille de r´eunions d"´el´ements de base est une

r´eunion d"´el´ements de base :? i

λ?IλB

iλ? i

λ?Iλ,λ?ΛB

iλ.

Enfin, pour l"axiome (3), il suffit de prendre 2 ouverts et voir que leur intersection est encore un ouvert :

i?IB i? j?JB j? (i,j)?I×J(Bi∩Bj)

et il suit deI.1.7(2) queBi∩Bjest r´eunion d"´el´ements de la base.Exemple I.1.9.Soit (X,d) un espace m´etrique. On poseBd={boules ouvertes}. C"est une base de topolo-

gie : pour la conditionI.1.7(2), six?B(a1,r1)∩B(a2,r2), on poseρ= min{r1-d(x,a1),r2-d(x,a2)}>0,

ce qui fait queB(y,ρ)?B(x1,r1)∩B(x2,r2).

Parfois des bases diff´erentes peuvent engendrer les mˆemes topologies; c"est le cas si les bases sont

´equivalentes au sens suivant.D´efinition I.1.10(Bases ´equivalentes).Soit X un ensemble etB,B?deux bases de topologie surX; on dit

qu"elles sont ´equivalentes si ?B?? B?etx?B?,?Bx? Btel quex?Bx?B? et inversement : ?B? Betx?B ,?B?x? B?tel quex?B?x?B .

Si c"est le cas, on a ´evidemment queτB=τB?Exemple I.1.11(M´etriques ´equivalentes).On dit que 2 m´etriquesd1etd2sur le mˆeme ensembleXsont

´equivalentes s"il existe des constantesK1etK2telles que

Si c"est le cas, les bases de topologieB1etB2constitu´ees par les boules ouvertes associ´ees `ad1etd2

respectivement sont ´equivalentes. En effet, siB1(a,r) d´esigne une boule d´efinie `a l"aide ded1etx?B1(a,r),

on sait queB1(x,ρ)?B1(a,r), o`uρ=r-d1(x,a); mais alorsB2(x,ρK

2)?B1(x,ρ)?B1(a,r). Comme on

peut ´echanger les rˆoles ded1etd2, on a bien que les deux bases sont ´equivalentes. Dans le cas deRn, il y a d"autres m´etriques qui sont naturelles :quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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