[PDF] La Martinière Monplaisir - Cours de MPSI

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La Martinière Monplaisir

Cours de MPSI

13 septembre 2023

2

Table des matières

ITrigonométrie et nombres ima-

ginaires 7 1

Relation de congruence modulo

un réel . . . . . . . . . . . . . . 8 2

Les fonctions sinus, cosinus et

tangente . . . . . . . . . . . . . 8 3

Modes de repérage dans le plan

et angles orientés . . . . . . . . 10

4 Trigonométrie . . . . . . . . . . 14

5 Nombres imaginaires . . . . . . 22

II Fonctions usuelles 31

1 Rappels d"analyse. . . . . . . . . 32

2

Effet d"une transformation sur

le graphe. . . . . . . . . . . . . . 36 3

Composée de fonctions, réci-

proque. . . . . . . . . . . . . . . 38

4 Fonction valeur absolue . . . . . 41

5

Fonctions puissances entières,

polynomiales et rationnelles . . 43 6

Fonctions exponentielles, loga-

rithmes et puissances quelconques44

7 Fonctions circulaires réciproques 48

8 Fonctions hyperboliques . . . . . 51

III Un peu de calcul 55

1 Le symbole somme :Σ. . . . . 56

2 Le symbole produit :Π. . . . . 60

3 Quelques formules à connaître . 60

4

Systèmes linéaires et pivot de

Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 64

IV Quelques fondamentaux 69

1 Propositions. . . . . . . . . . . . 70

2 Connecteurs logiques. . . . . . . 703

Quantificateurs universel et exis-

tentiel. . . . . . . . . . . . . . . 73

4 Raisonnements par récurrence. . 76

V Nombres complexes 85

1 L"inégalité triangulaire . . . . . 86

2

Propriétés supplémentaires de

l"exponentielle complexe et des arguments . . . . . . . . . . . . 86 3

GroupeUdes nombres com-

plexes de module1. . . . . . . 87

4 Équations du second degré . . . 87

5 Racines énièmes. . . . . . . . . . 89

6 Techniques de calcul . . . . . . . 90

7 L"exponentielle complexe . . . . 91

8

Nombres complexes et géomé-

trie plane . . . . . . . . . . . . . 91 VI

Équations différentielles linéaires97

1 Résultats d"analyse . . . . . . . 98

2

Généralités sur les équations dif-

férentielles linéaires. . . . . . . . 104 3

Équations linéaires du premier

ordre. . . . . . . . . . . . . . . . 107 4

Équations différentielles du se-

cond ordre à coefficients constants.109

VII Théorie des ensembles 115

1 Un peu d"histoire. . . . . . . . . 116

2 Définitions. . . . . . . . . . . . . 118

3 Interprétation logique . . . . . . 124

VIII Notion d"application 125

1 Vocabulaire. . . . . . . . . . . . 126

2 Restriction, prolongement . . . . 127

3 Composition d"applications . . . 128

4 Injectivité, surjectivité, bijectivité128

TABLES DES MATIÈRES

5 Image directe, tiré en arrière. . . 132

IX Calcul matriciel 135

1 Définitions élémentaires . . . . . 136

2 Systèmes linéaires . . . . . . . . 145

XRelations d"ordre et d"équiva-

lence. 149

1 Relations binaires. . . . . . . . . 150

2 Relations d"équivalence. . . . . . 151

3 Relations d"ordre. . . . . . . . . 152

4

Majorants, minorants et compa-

gnie. . . . . . . . . . . . . . . . 152

5 Relation d"ordre naturelle surN. 156

6 Relation d"ordre naturelle surR. 156

XI

Entiers relatifs et arithmétique

deZ161

1 Divisibilité. . . . . . . . . . . . . 162

2 PGCD, PPCM. . . . . . . . . . 163

3 Nombres premiers. . . . . . . . . 169

XII Suites réelles et complexes 173

1 Vocabulaire. . . . . . . . . . . . 174

2 Limite d"une suite réelle. . . . . 175

3 Résultats de convergence. . . . . 180

4

Traduction séquentielle de cer-

taines propriétés. . . . . . . . . 183

5 Suites particulières. . . . . . . . 183

6

Suites définies par une relation

de récurrence d"ordre 1. . . . . . 187

7 Suites à valeurs complexes. . . . 189

8

Premiers exemples de séries nu-

mériques. . . . . . . . . . . . . . 191 9

Annexe : unification des no-

tions de limites. . . . . . . . . . 191

XIII Groupes, anneaux, corps 195

1 Lois de composition internes. . . 196

2 Structure de groupe. . . . . . . 198

3 Anneaux . . . . . . . . . . . . . 203

4 Structure de corps. . . . . . . . 206

XIV Limite d"une fonction 209

1 Préliminaires. . . . . . . . . . . 210

2

Définitions de la limite d"une

fonction. . . . . . . . . . . . . . 2113

Propriétés des limites de fonctions.216

4 Théorèmes d"existence. . . . . . 218

5

Cas des fonctions à valeurs com-

plexes. . . . . . . . . . . . . . . 220

XV Continuité 223

1

Définitions et premières proprié-

tés. . . . . . . . . . . . . . . . . 224

2 Les grands théorèmes. . . . . . . 227

3

Extension au cas des fonctions

à valeurs complexes. . . . . . . . 232

XVI Polynômes 233

1K [X]: définitions et résultats algébriques. . . . . . . . . . . . 234

2 Décomposition. . . . . . . . . . 242

3 Dérivation des polynômes. . . . 247

4 Arithmétique deK[X]. . . . . . 250

5

Formule d"interpolation de La-

grange. . . . . . . . . . . . . . . 256

6 Annexe : construction deK[X]258

7

Annexe : fonctions polyno-

miales à valeurs dans un anneau 260

XVII Dérivabilité 263

1

Définitions et premières proprié-

tés. . . . . . . . . . . . . . . . . 264

2 Les grands théorèmes. . . . . . . 270

3

Extension au cas des fonctions

complexes. . . . . . . . . . . . . 277

4 Convexité. . . . . . . . . . . . . 277

XVIII Fractions rationnelles 285

1

Corps des fractions rationnelles

K(X). . . . . . . . . . . . . . . . 286

2

Étude locale d"une fraction ra-

tionnelle. . . . . . . . . . . . . . 290

3 Application au calcul intégral. . 295

XIX Espaces vectoriels 297

1

Espaces vectoriels et combinai-

sons linéaires. . . . . . . . . . . 298

2 Sous-espaces vectoriels. . . . . . 300

3 Translations, sous-espaces affines.306

XX Analyse asymptotique 311

4

TABLES DES MATIÈRES

1Comparaison asymptotique de

suites. . . . . . . . . . . . . . . . 312

2 Comparaison de fonctions. . . . 315

3 Développements limités. . . . . 318

4

Théorèmes de comparaison pour

les séries. . . . . . . . . . . . . . 326 XXI

Applications linéaires et fa-

milles de vecteurs 329

1 Applications linéaires. . . . . . . 330

2 Familles de vecteurs. . . . . . . 334

3 Endomorphismes particuliers. . 344

XXII Intégration 347

1 Continuité uniforme. . . . . . . 348

2 Construction de l"intégrale. . . . 349

3

Le théorème fondamental du cal-

cul différentiel. . . . . . . . . . . 355

4 Méthodes de calcul. . . . . . . . 356

5 Formules de Taylor. . . . . . . . 356

6

Cas des fonctions à valeurs com-

plexes. . . . . . . . . . . . . . . 358

7 Approximation d"intégrales. . . 358

8 Comparaison série-intégrale. . . 361

9 Annexes. . . . . . . . . . . . . . 362

XXIII Dénombrement 365

1 Cardinal d"un ensemble fini. . . 366

2 Dénombrement. . . . . . . . . . 368

XXIV

Espaces vectoriels de dimen-

sion finie 373

1 Notion de dimension. . . . . . . 374

2

Sous-espaces vectoriels en di-

mension finie. . . . . . . . . . . 379 3

Applications linéaires en dimen-

sion finie. . . . . . . . . . . . . . 382

4 Formes linéaires et hyperplans. . 384

XXV Probabilités sur un univers fini 3891 Événements, probabilités. . . . . 390

2 Variables aléatoires. . . . . . . . 400

XXVI Matrices et algèbre linéaire 419

1 Structure deMn,p(K). . . . . . 420

2

Matrices, familles de vecteurs et

applications linéaires. . . . . . . 421

3 Matrices remarquables. . . . . . 429

4 Rang d"une matrice. . . . . . . . 431

5 Systèmes d"équations linéaires. . 436

6 Matrices semblables et trace. . . 437

7 Matrices par blocs (HP). . . . . 440

XXVIIDéterminants 445

1 Groupe symétrique. . . . . . . . 446

2 Applications multilinéaires. . . . 450

3

Déterminant d"une famille de

vecteurs. . . . . . . . . . . . . . 453 4

Déterminant d"un endomor-

phisme. . . . . . . . . . . . . . . 456 5

Déterminant d"une matrice carrée.458

XXVIIISéries numériques 463

1 Prolégomènes . . . . . . . . . . 464

2 Séries à termes réels positifs . . 466

3 Comparaison série-intégrale . . . 468

4 Séries absolument convergentes . 470

5 Familles sommables . . . . . . . 472

XXIX

Espaces euclidiens et préhilber-

tiens réels 483 1

Produit scalaire, norme et dis-

tance. . . . . . . . . . . . . . . . 484

2 Orthogonalité. . . . . . . . . . . 487

XXX Fonctions de deux variables 495

1

Fonctions numériques à deux va-

riables . . . . . . . . . . . . . . 496

2 Introduction au calcul différentiel498

5

TABLES DES MATIÈRES

6

Chapitre I

Trigonométrie et nombres imaginaires

Sommaire

1 Relation de congruence modulo un réel 8

2 Les fonctions sinus, cosinus et tangente 8

2.1 Définitions géométriques . . . . . . . . 8

2.2 Résultats admis . . . . . . . . . . . . . 9

3Modes de repérage dans le plan et

angles orientés . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1 Coordonnées cartésiennes . . . . . . . 10

3.2 Angles orientés de vecteurs . . . . . . . 11

3.3 Angles orientés de droites . . . . . . . 12

3.4 Cercle trigonométrique . . . . . . . . . 13

3.5 Coordonnées polaires . . . . . . . . . . 14

4 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.1 Angles remarquables . . . . . . . . . . 14

4.2 Propriétés élémentaires . . . . . . . . . 16

4.3 Équations trigonométriques . . . . . . 16

4.4 Formules trigonométriques . . . . . . . 16

4.5

Régularité des fonctions trigonomé-

triques circulaires . . . . . . . . . . . . 19

5 Nombres imaginaires . . . . . . . . . . . 22

5.1 Bref aperçu historique . . . . . . . . . 22

5.2 Une définition géométrique . . . . . . 22

5.3 Écriture trigonométrique d"un complexe 24

5.4 Multiplication de deux complexes . . . 26

5.5

Conjugué et module d"un nombre com-

plexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.6 Inverse d"un nombre complexe non nul 28

5.7 Technique de l"angle moitié . . . . . . 29

CHAPITRE I. TRIGONOMÉTRIE ET NOMBRES IMAGINAIRESNous nous placerons dans tout ce chapitre dans le planR2, muni de son repère orthonormal cano- nique(O,-→ı ,-→?). 1

Relation de congruence mo-

dulo un réelDéfinition 1.0.1.

Soitθ?R. On dit que deux réelsaetbsont

congrus moduloθs"il existek?Ztel quea= b+kθ. On note alorsa≡b[θ], ou aussia=b[θ]. Exemple 1.0.2.•π2,-π2et5π2sont congrus moduloπ;

•π4

,9π4 et-15π4 sont congrus modulo2π.

Remarque 1.0.3.

La relationa=b[θ]se lit aussi "aetbsont

égaux à un multiple deθprès ».Proposition 1.0.4.

Soitθ?R, eta,b,c,dquatre réels.

1.

On aa≡a[θ](on dit que la relation de

congruence moduloθestréflexive). 2. Sia≡b[θ], alorsb≡a[θ](on dit que la relation de congruence moduloθestsymé- trique). 3. Sia≡b[θ]etb≡c[θ], alorsa≡c[θ](on dit que la relation de congruence moduloθ esttransitive). 4. Sia≡b[θ]etc≡d[θ], alorsa+c≡b+d[θ]. 5.

Si a≡b[θ], alorsa≡b[-θ].

6.

Si n?Zeta≡b[nθ], alorsa≡b[θ].

7.

Si a≡b[θ], alorsac≡bc[cθ].

Une relation vérifiant les trois premiers points de cette proposition est appelée unerelation d"équi- valence.

Démonstration.

C"est immédiat en revenant à la définition. 1.

On a a=a+ 0θ, donca≡a[θ].2.

Soitk?Ztel quea=b+kθ, alorsb=a+(-k)θ, or

-k?Z, doncb≡a[θ]. 3.

Soitk,??Ztels quea=b+kθetb=c+?θ, alors

a=c+ (k+?)θ, ork+??Z, donca≡c[θ]. 4.

Soitk,??Ztels quea=b+kθetc=d+?θ,

alorsa+c=b+d+ (k+?)θ, ork+??Z, donc a+c≡b+d[θ]. 5.

C"est un cas particulier du point suivant (avecn=

-1). 6.

Soitk?Ztel quea=b+knθ, alorsa=b+ (nk)θ,

ornk?Z, donca≡b[θ]. 7.

Soitk?Ztel quea=b+kθ, alorsac=bc+k(cθ),

ork?Z, doncac≡bc[cθ].Exercice 1.0.5. Parmi la famille de réels suivants, déterminer les- quels sont congrus entre eux modulos2π. Même question pourπ,π2 et2π3

•α= 1

•β= 3π

•γ= 4π

•δ=-π2

•ε=5π6

Au besoin, vous placerez les points/angles cor-

respondants sur le cercle trigonométrique (voir partie 3.4).quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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