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Précisde Gestion des risques. Michel Lesbats. Cours et exercices corrigés. Page 2. © Dunod Paris

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Correction des exercices du livre

La Gestion des Risques Financiers

Thierry Roncalli

4 Décembre 2011

Ce document présente les corrections des questions de cours et des exercices des pages 535 à 552 du

livre : Thierry Roncalli,La Gestion des Risques Financiers, Economica, deuxième édition, 2009. Notons

que ce livre est cité sous la référence [TR-GDR] par la suite. Ce document présente aussi de nouveaux

exercices (à partir de la page 46) et la correction de ceux-ci (de la page 49 à la page 61). Pour chaque

exercice, nous indiquons à quelle page du livre le lecteur peut trouver l"énoncé correspondant. Par exemple,

l"énoncé du premier exercice "valeur en risque d"un portefeuille long/short" se trouve à la page 538 du

livre "La Gestion des Risques Financiers".

Table des matières

1 Correction des exercices2

1.1 Valeur en risque d"un portefeuille long/short (TR-GDR, page 538) . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Valeur en risque d"un portefeuille de gestion (TR-GDR, page 538) . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Construction d"un scénario de stress à partir de la théorie des valeurs extrêmes (TR-GDR,

page 542) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Stress-testing et statistiques d"ordre (TR-GDR, page 545) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Les mesures de risque (TR-GDR, page 549) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.6 Valeur en risque crédit d"un portefeuille non granulaire (TR-GDR, page 542) . . . . . . . 13

1.7 Contribution en risque dans le modèle Bâle II (TR-GDR, page 541) . . . . . . . . . . . . 15

1.8 Le risque de contrepartie sur opérations de marché (TR-GDR, page 551) . . . . . . . . . . 17

1.9 Le risque opérationnel (TR-GDR, page 550) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.10 Valorisation d"un CDS (TR-GDR, page 539) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.11 Calibration du paramètreLGD(TR-GDR, page 543) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.12 Modélisation du temps de défaut (TR-GDR, page 544) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.13 Les spreads de crédit (TR-GDR, page 546) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.14 Valeur en risque d"une position optionnelle (TR-GDR, page 551) . . . . . . . . . . . . . . 34

1.15 Corrélation et copules (TR-GDR, page 547) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.16 La distribution exponentielle (TR-GDR, page 548) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.17 Les fonctions copules (TR-GDR, page 540) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2 De nouveaux exercices46

2.1 Calculs statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.2 Contribution en risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3 Dérivés de crédit et corrélation de défaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.4 Modélisation de la perte en cas de défaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.5 Produits exotiques et gestion des risques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.6 Calcul des bornes de corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.7 Le modèle exponentiel généralisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3 Correction des exercices supplémentaires49

3.1 Calculs statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2 Contribution en risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3 Dérivés de crédit et corrélation de défaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.4 Modélisation de la perte en cas de défaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.5 Produits exotiques et gestion des risques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.6 Calcul des bornes de corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.7 Le modèle exponentiel généralisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4 Éléments de correction des questions de cours61

4.1 La réglementation Bâle II (TR-GDR, page 535) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2 Le risque de marché (TR-GDR, page 535) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.3 Le risque de crédit (TR-GDR, page 536) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.4 Le risque opérationnel (TR-GDR, page 536) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.5 Les fonctions copules (TR-GDR, page 537) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.6 Les dérivés de crédit (TR-GDR, page 538) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.7 La gestion du risque de crédit (TR-GDR, page 538) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1 Correction des exercices

1.1 Valeur en risque d"un portefeuille long/short (TR-GDR, page 538)

La référence principale de cet exercice est (TR-GDR, pages 61-63). On notePA(t)(resp.PB(t)) la valeur de l"action A (resp. B) à la datet. La valeur du portefeuille est :

P(t) =xA·PA(t) +xB·PB(t)

avecxAetxBle nombre d"actions A et B. On en déduit que le PnL entre les datestett+ 1est1:

PnL(t;t+ 1) =P(t+ 1)-P(t)

=xA(PA(t+ 1)-PA(t)) +xB(PB(t+ 1)-PB(t)) =xAPA(t)RA(t;t+ 1) +xBPB(t)RB(t;t+ 1) avecRA(t;t+ 1)etRB(t;t+ 1)les rendements des actions A et B entre les datestett+ 1. 1. On axA= +1,xB=-1etPA(t) =PB(t) = 100. On en déduit que :

PnL(t;t+ 1) = 100×(RA-RB)

On aRA-RB∼ N(0,σA-B)avec :

A-B=√

0,202+ (-0,20)2+ 2×0,5×0,20×(-0,20)

= 20% La volatilité annuelle de cette position long/short est donc de 20%. Pour calculer la VaR pour un horizon 1 jour, on utilise la méthode du scaling (TR-GDR, page 74). On obtient 2: VaR

1D= Φ-1(0,99)×100×σA-B×1

260
= 2,33×100×0,20×1 260
= 2,89 La probabilité de perdre2,89euros par jour est de 1%.

1. On suppose ici que les positions ne changent pas d"une période à l"autre.

2. car1(0;99) =1(0;01).

2 2.

On aPnL(t;t+ 1) = 100×(RA-RB). On utilise les données historiques pour calculer les scénarios

de rendements joints(RA,RB). On en déduit ensuite la distribution empirique du PnL. Enfin, on

calcule le quantile empirique correspondant. Avec 250 scénarios, le quantile empirique 1% est à

mi-chemin entre la deuxième et troisième pires pertes : VaR 1D=-[ -3,09 +1 2 (-2,72-(-3,09))] = 2,905 La probabilité de perdre2,905euros par jour est de 1%.On obtient un résultat très proche de la VaR Gaussienne. 3. L"expression du PnL devient (TR-GDR, pages 91-95) :

PnL(t;t+ 1) = (PA(t+ 1)-PA(t))-

(PB(t+ 1)-PB(t))- (CA(t+ 1)-CA(t)) avecCA(t)la valeur de l"option d"achat. On a : C

A(t+ 1)-CA(t)≃∆×(PA(t+ 1)-PA(t))

avec∆le delta de l"option. On en déduit que :

PnL(t;t+ 1) = 50×RA-100×RB

À titre d"illustration, on obtient pour la VaR analytique : VaR

1D= Φ-1(0,99)×σA/B×1

260
= 2,33×17,32×1 260
= 2,50 car :

A/B=√

(50×0,20)2+ (-100×0,20)2+ 2×0,5×(50×0.20)×(-100×0,20) = 17,32 La VaR 1 jour 99% est donc passée de2,89euros à2,50euros.

1.2 Valeur en risque d"un portefeuille de gestion (TR-GDR, page 538)

On a (TR-GDR, page 63) :

PnL(t;t+ 1) =P(t+ 1)-P(t)

=P(t)(1 +R(t;t+ 1))-P(t) =P(t)R(t;t+ 1) avecP(t)la valeur du portefeuille à la datetetR(t;t+ 1)le rendement du portefeuille pour la période[t;t+ 1]. À la datet,P(t)est une variable certaine -P(t)est égal à20000euros - tandis queR(t;t+ 1)est aléatoire. Par construction,R(t;t+ 1)suit une distributionN(µp,σp) avecµp=x⊤µle rendement espéré du portefeuille etσp=√ x ⊤Σxla volatilité du portefeuille. Soit VaR αla valeur en risque du portefeuille. Celle-ci vérifie :

Pr{PnL(t;t+ 1)≤ -VaR}= 1-α

3 ou de façon équivalente :

Pr{L(t;t+ 1)≥VaR}= 1-α

avecL(t;t+ 1) =-PnL(t;t+ 1)la fonction de perte. On en déduit que : Pr {PnL(t;t+ 1)-P(t)µp

P(t)σp≤-VaR-P(t)µp

P(t)σp}

= 1-α (-VaR-P(t)µp

P(t)σp)

= 1-α

On obtient finalement que :

VaR =-P(t)µp-Φ-1(1-α)P(t)σp

=P(t)×(Φ-1(α)σp-µp) =P(t)×(

Φ-1(α)√

x ⊤Σx-x⊤µ)

Pour déterminer la VaR gaussienne du portefeuille, il suffit de calculer l"expression précédente avec

les valeurs données deP(t),x,µetΣ. Dans cet exercice, on aµp=-34%etσp= 40%. La VaR

99% pour une période de détention d"un an est donc :

VaR

1Y= 20000×(2,33×0,40 + 0,34) = 25440

On applique la méthode du scaling pour calculer la VaR mensuelle (TR-GDR, page 74) : VaR 1M=1 12

VaR1Y= 7344

Si on néglige l"effet moyenne -µp= 0- on obtientVaR1M= 5380. En fait, il n"est pas pertinent

d"introduire l"effet moyenne car on n"a aucune information sur le rendement espéré du portefeuille

dans le futur. Introduire l"effet moyenne revient à considérer qu"il y a une persistance de la perfor-

mance. Ainsi, des actifs qui ont bien performé dans le passé récent auraient une valeur en risque

plus faible que des actifs qui ont moins bien performé pour le même niveau de volatilité. À titre

d"illustration, considérons un actif qui a une performance de 15% et une volatilité de 5% sur les 250

derniers jours de trading. On obtient une VaR négative égale à2,33×0,05-0,15, ce qui signifie

que la probabilité de subir une perte est plus petite que 1%! 2.

Le quantile empirique1%correspond à la statistique d"ordre2,6 : 260. On procède par interpolation

et on a (TR-GDR, page 66) : VaR

1D=-(-1124 + 0,6×(-1012-(-1124))) = 1056.8

Par la méthode du scaling, on obtient (TR-GDR, page 74) : VaR

1M=√

20VaR

1D= 4726

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[PDF] Correction des exercices du livre La Gestion des Risques Financiers

Correction des exercices du livre

La Gestion des Risques Financiers

Thierry Roncalli

4 Décembre 2011

Table des matières

1 Correction des exercices2

1.1 Valeur en risque d"un portefeuille long/short (TR-GDR, page 538) . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Valeur en risque d"un portefeuille de gestion (TR-GDR, page 538) . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Construction d"un scénario de stress à partir de la théorie des valeurs extrêmes (TR-GDR,

1.4 Stress-testing et statistiques d"ordre (TR-GDR, page 545) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Les mesures de risque (TR-GDR, page 549) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.6 Valeur en risque crédit d"un portefeuille non granulaire (TR-GDR, page 542) . . . . . . . 13

1.7 Contribution en risque dans le modèle Bâle II (TR-GDR, page 541) . . . . . . . . . . . . 15

1.8 Le risque de contrepartie sur opérations de marché (TR-GDR, page 551) . . . . . . . . . . 17

1.9 Le risque opérationnel (TR-GDR, page 550) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.10 Valorisation d"un CDS (TR-GDR, page 539) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.11 Calibration du paramètreLGD(TR-GDR, page 543) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.12 Modélisation du temps de défaut (TR-GDR, page 544) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.13 Les spreads de crédit (TR-GDR, page 546) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.14 Valeur en risque d"une position optionnelle (TR-GDR, page 551) . . . . . . . . . . . . . . 34

1.15 Corrélation et copules (TR-GDR, page 547) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.16 La distribution exponentielle (TR-GDR, page 548) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.17 Les fonctions copules (TR-GDR, page 540) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2 De nouveaux exercices46

2.1 Calculs statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.2 Contribution en risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3 Dérivés de crédit et corrélation de défaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.4 Modélisation de la perte en cas de défaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.5 Produits exotiques et gestion des risques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.6 Calcul des bornes de corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.7 Le modèle exponentiel généralisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3 Correction des exercices supplémentaires49

3.1 Calculs statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2 Contribution en risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3 Dérivés de crédit et corrélation de défaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.4 Modélisation de la perte en cas de défaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.5 Produits exotiques et gestion des risques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.6 Calcul des bornes de corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.7 Le modèle exponentiel généralisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4 Éléments de correction des questions de cours61

4.1 La réglementation Bâle II (TR-GDR, page 535) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2 Le risque de marché (TR-GDR, page 535) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.3 Le risque de crédit (TR-GDR, page 536) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.4 Le risque opérationnel (TR-GDR, page 536) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.5 Les fonctions copules (TR-GDR, page 537) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.6 Les dérivés de crédit (TR-GDR, page 538) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.7 La gestion du risque de crédit (TR-GDR, page 538) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1 Correction des exercices

1.1 Valeur en risque d"un portefeuille long/short (TR-GDR, page 538)

P(t) =xA·PA(t) +xB·PB(t)

PnL(t;t+ 1) =P(t+ 1)-P(t)

PnL(t;t+ 1) = 100×(RA-RB)

On aRA-RB∼ N(0,σA-B)avec :

A-B=√

0,202+ (-0,20)2+ 2×0,5×0,20×(-0,20)

1D= Φ-1(0,99)×100×σA-B×1

1. On suppose ici que les positions ne changent pas d"une période à l"autre.

2. car1(0;99) =1(0;01).

PnL(t;t+ 1) = (PA(t+ 1)-PA(t))-

A(t+ 1)-CA(t)≃∆×(PA(t+ 1)-PA(t))

PnL(t;t+ 1) = 50×RA-100×RB

1D= Φ-1(0,99)×σA/B×1

A/B=√

1.2 Valeur en risque d"un portefeuille de gestion (TR-GDR, page 538)

On a (TR-GDR, page 63) :

PnL(t;t+ 1) =P(t+ 1)-P(t)

Pr{PnL(t;t+ 1)≤ -VaR}= 1-α

Pr{L(t;t+ 1)≥VaR}= 1-α

P(t)σp≤-VaR-P(t)µp

P(t)σp}

P(t)σp)

On obtient finalement que :

VaR =-P(t)µp-Φ-1(1-α)P(t)σp

Φ-1(α)√

99% pour une période de détention d"un an est donc :

1Y= 20000×(2,33×0,40 + 0,34) = 25440

VaR1Y= 7344

1D=-(-1124 + 0,6×(-1012-(-1124))) = 1056.8

1M=√