lois de poisson PDF Les conditions d'approximation sont

Exercices corrigés

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EXERCICES CORRIGES ∑ ∑ ∑ ∑

2°) On considère une variable aléatoire Y dont la loi de probabilité est la loi de Poisson de paramètre 155. a) Calculer les probabilités prob(Y = k) pour les

Rappel de cours Exercice n° 01 :

Exercices et corrigé-types sur les lois de Probabilités. (Lois discrètes et Exercice n° 2 : Loi de Poisson approximée par une loi normale. Supposons que ...

Exercices de probabilités avec éléments de correction Memento

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corrigé des exercices sur les lois de poisson

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Exercices et problèmes de statistique et probabilités

Quel est le paramètre de cette loi de Poisson? Quelles sont les valeurs possibles de la variable ? 2. Quelle est la probabilité d'observer plus de

MODULE 7 LOIS PROBABILITÉ PROBABILITÉ

Dans le cas de la loi de Poisson la variable aléatoire était le nombre d'événements tandis que dans la loi exponentielle c'est le temps d'attente avant le

Processus de Poisson

Approcher une loi binomiale par une loi de Poisson ou une loi normale ? Les Dans la suite de l'exercice on considère qu'un individu français

EXERCICES CORRIGES ? ? ? ?

2°) On considère une variable aléatoire Y dont la loi de probabilité est la loi de Poisson de paramètre 155. a) Calculer les probabilités prob(Y = k) pour

lois de poisson

Les conditions d'approximation sont n ? 30 p ? 0

BTS SIO - Loi de Poisson

29 avr. 2021 Trouver la probabilité pour qu'en deux minutes la centrale reçoive au moins trois appels. BTS SIO. Page 12. Corrigé de l'exercice 11.5. Une ...

corrigé des exercices sur les lois de poisson

Statistique inférentielle en BTSA - B. Chaput - ENFA - Lois de Poisson corrigés. CORRIGÉ DES EXERCICES SUR LES LOIS DE POISSON

Cours et exercices corrigés en probabilités

mation d'une variable aléatoire discrète ainsi que l'approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson. Enfin le troisième et dernier chapitre est

Exercices corrigés

La variable aléatoire N suit donc une loi de Poisson de paramètre ?. EXERCICE 3.15.– [Régression linéaire]. Soient X et Y deux variables aléatoires réelles. On

Exercices de mathématiques - Exo7

Sur 100 per- sonnes calculer la probabilité qu'il y ait au moins une personne mesurant plus de 1.90m (utiliser une loi de. Poisson). Sur 300 personnes

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Exercices de Probabilités

Calculer l'espérance et la variance de Un. 3.2 Loi de Poisson. Siméon Denis Poisson (1781-1840). Exercice 24. 1.

Exercices de probabilités avec éléments de correction Memento

e?a

Statistique inférentielle en BTSA - B. Chaput - ENFA - Lois de Poisson 1

LOIS DE POISSON

Définition

Une variable aléatoire X suit la loi de Poisson P(l) de paramètre l, réel strictement positif, lorsque sa loi de

probabilité est définie par P (X = k) = e - l lk k! pour k Î IN.

Espérance et variance

L"espérance de X est E(X) = l et sa variance est V(X) = l, ainsi son écart-type est s(X) = l.

Propriétés

Les lois de Poisson interviennent dans la modélisation de phénomènes aléatoires où le futur est indépendant du

passé (pannes de machines, sinistres, appels téléphoniques à un standard, files d"attente, mortalité, temps de

guérison de petites blessures, stocks, nombre d"étoiles filantes dans le ciel d"été...) Approximation d"une loi binomiale par une loi de Poisson

Lorsque n prend de grandes valeurs, et que p est petit, la loi binomiale B(n , p) est approchée par la loi de

Poisson

P(np) (conservation de la moyenne). Les conditions d"approximation sont n ³ 30, p £ 0,1 et n p < 15.

Exercices Exercice 1

Dans une entreprise, une étude statistique a montré qu"en moyenne 5 % des articles d"une chaîne de fabrication

présentent des défauts. Lors d"un contrôle de qualité, on envisage de prélever un échantillon de 120 articles. Bien

que ce prélèvement soit exhaustif (sans remise), on considère que la production est suffisamment importante pour

que l"on puisse assimiler cette épreuve à un tirage avec remise et que la probabilité qu"un article prélevé soit

défectueux est constante.

1. - Justifier que la loi de la variable aléatoire X donnant le nombre d"articles défectueux d"un tel échantillon peut

être approchée par la loi de Poisson de paramètre 6.

2. - Évaluer les probabilités P(X = k) pour k entier naturel inférieur à 8.

__________________

Exercice 2

La variable aléatoire X donnant le nombre de clients se présentant au guichet Affranchissements d"un bureau de

poste par intervalle de temps de durée 10 minutes, entre 14 h 30 et 16 h 30, suit la loi de Poisson de paramètre 5.

Calculer la probabilité que, sur une période de 10 minutes choisie au hasard entre 14 h 30 et 16 h 30 un jour

d"ouverture du guichet, il y ait au moins 8 personnes à se présenter à ce guichet. __________________

Statistique inférentielle en BTSA - B. Chaput - ENFA - Lois de Poisson 2

Exercice 3

3 % des bouteilles d"eau livrées par une usine sont défectueuses. On appelle X la variable aléatoire qui, à tout lot de

100 bouteilles prises au hasard, associe le nombre de bouteilles défectueuses. On admet que X suit la loi de

Poisson de paramètre 3. Trouver la probabilité de chacun des événements suivants :

1°) - "Sur un lot de 100 bouteilles choisies au hasard, il n"y a aucune bouteille défectueuse."

2°) - "Sur un lot de 100 bouteilles choisies au hasard, il y a 2 bouteilles défectueuses."

3°) - "Sur un lot de 100 bouteilles choisies au hasard, il y a 3 bouteilles défectueuses."

4°) - "Sur un lot de 100 bouteilles choisies au hasard, il y a moins de 4 bouteilles défectueuses."

__________________

Exercice 4

Dans un grand magasin, la variable aléatoire X dénombrant le nombre de magnétoscopes vendus au cours d"une

journée quelconque, suit la loi de Poisson de paramètre 4. Les ventes pendant deux journées sont supposées indépendantes.

1°) - On choisit une journée au hasard, calculer la probabilité de chacun des événements suivants :

a) - "La vente de la journée est au plus égale à 5." b) - "La vente de la journée est au plus égale à 2 ou au moins égale à 6."

2°) - On choisit deux jours consécutifs au hasard.

a) - Calculer la probabilité que les ventes de chacune des deux journées soit au moins égale à 5.

b) - Calculer la probabilité que la somme des ventes de deux jours consécutifs soit égale à 2.

__________________

Exercice 5

Un chef d"entreprise, pour éviter l"attente des camions venant livrer, envisage si cela s"avère nécessaire, de

construire de nouveaux postes de déchargement. Il y en a actuellement cinq. On considère pour simplifier l"étude,

qu"il faut une journée pour décharger un camion. Une enquête préalable sur 120 jours a donné les résultats

suivants : Nombre d"arrivées par jours (xi) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nombre de jours (ni) 2 10 18 22 23 19 12 7 4 2 1 I - Calculer la moyenne, la variance et l"écart type de cette série statistique.

II - La v. a. r. X mesurant le nombre quotidien de camions venant livrer, suit la loi de Poisson de paramètre 4.

1°) - Justifier cette loi.

2° a) - Quel est le nombre maximal d"arrivées de camions n"entraînant pas d"attente ?

b) - En déduire la probabilité de n"avoir aucun camion en attente.

3°) - Combien faudrait-il de postes de déchargement pour que la probabilité de n"avoir aucun camion en attente

soit supérieure à 0,95 ?

4°) - On prévoit, pour les années à venir, un doublement de la fréquence des livraisons. Combien faudra-t-il de

postes de déchargement pour que la probabilité de n"avoir aucun camion en attente soit supérieure à 0,95 ?

__________________ Statistique inférentielle en BTSA - B. Chaput - ENFA - Lois de Poisson 3

Pourquoi une loi de Poisson ? un exemple

On suppose qu"il apparaît en moyenne deux étoiles filantes toutes les cinq minutes dans le ciel d"une nuit de la

première semaine d"août.

On choisit au hasard un intervalle de 5 minutes. Soit X la variable aléatoire associant à l"intervalle de 5 minutes

choisi, le nombres d"étoiles filantes observées. Déterminons la loi de probabilité de X. Dans un premier temps, discrétisons le problème :

On partage les cinq minutes en n intervalles de temps suffisamment petits pour contenir au plus une apparition

d"étoiles filantes.

o On fait l"hypothèse que la probabilité d"apparition d"une étoile filante durant de petits intervalles de temps

est proportionnelle à leur durée. o On suppose de plus que les apparitions des étoiles sont des événements indépendants.

La probabilité d"une apparition durant un de ces n intervalles est nombre moyen d"apparitions en 5 min

nombre d"intervalles en 5 min = 2 n.

Dans une première approximation, le nombre d"apparitions d"étoiles filantes en cinq minutes suit la loi binomiale

B (())n ,. 2 n. P n(X = k) = (()) n k (()) 2 n k (())1 - 2 n n - k = n (n - 1) ... (n - k + 1) k! (()) 2 n k (())1 - 2 n n - k = 2k k! (())1 - 2 n n - k n (n - 1) ... (n - k + 1) n k P n(X = k) = 2k k! (())1 - 2 n n - k i=1k-1 (())1 - i n Examinons les limites de chacun des facteurs du produit obtenu lorsque n tend vers +

¥, c"est-à-dire lorsque la

durée des n intervalles tend vers 0 : o (())1 - 2 n n - k = exp(())(n - k) ln(())1 - 2 n = exp((( )))(())2 - 2 k n ln(())1 - 2 n 2 n

Lorsque n tend vers +

¥, 2

n tend vers 0, alors (())2 - 2 k n tend vers 2 et ln(())1 - 2 n 2 n tend vers - 1.

On en déduit que

(())1 - 2 n n - k tend vers e- 2. o Lorsque n tend vers + i=1k-1 (())1 - i n tend vers 1.

Ainsi  P

n(X = k) tend vers 2k k! e - 2 quand n tend vers + ¥.

La loi du nombre d"apparitions d"étoiles filantes en cinq minutes est la loi de Poisson de paramètre 2.

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[PDF] lois de poisson Les conditions d'approximation sont

LOIS DE POISSON

Définition

Espérance et variance

Propriétés

Poisson

Exercices Exercice 1

1. - Justifier que la loi de la variable aléatoire X donnant le nombre d"articles défectueux d"un tel échantillon peut

2. - Évaluer les probabilités P(X = k) pour k entier naturel inférieur à 8.

Exercice 2

Exercice 3

3 % des bouteilles d"eau livrées par une usine sont défectueuses. On appelle X la variable aléatoire qui, à tout lot de

100 bouteilles prises au hasard, associe le nombre de bouteilles défectueuses. On admet que X suit la loi de

1°) - "Sur un lot de 100 bouteilles choisies au hasard, il n"y a aucune bouteille défectueuse."

2°) - "Sur un lot de 100 bouteilles choisies au hasard, il y a 2 bouteilles défectueuses."

3°) - "Sur un lot de 100 bouteilles choisies au hasard, il y a 3 bouteilles défectueuses."

4°) - "Sur un lot de 100 bouteilles choisies au hasard, il y a moins de 4 bouteilles défectueuses."

Exercice 4

1°) - On choisit une journée au hasard, calculer la probabilité de chacun des événements suivants :

2°) - On choisit deux jours consécutifs au hasard.

Exercice 5

1°) - Justifier cette loi.

2° a) - Quel est le nombre maximal d"arrivées de camions n"entraînant pas d"attente ?

3°) - Combien faudrait-il de postes de déchargement pour que la probabilité de n"avoir aucun camion en attente

4°) - On prévoit, pour les années à venir, un doublement de la fréquence des livraisons. Combien faudra-t-il de

Pourquoi une loi de Poisson ? un exemple

¥, c"est-à-dire lorsque la

Lorsque n tend vers +

¥, 2

On en déduit que

Ainsi  P