1 Point fixe et Newton PDF

Analyse numérique - TD4 & TD5 - Corrigé des exercices 2-4-5-7-8-9. Résolution numérique des équations non linéaires. Méthode du point fixe pour la résolution de

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2) Algorithme du point fixe. 3) Théorème du point fixe. 4) Exercice calcul numérique de π. 5) Deux exercices corrigés. Point fixe. François Dubois 18 octobre

Corrigé de lEXAMEN 1

Donc la méthode est divergente car g/. 3(¯x) = g/. 3(2) > 1. 2. Page 3. c) [3 pts] Donnez un 4`eme algorithme de point fixe (sans en faire l'étude). Réponse:.

2.2.5 Exercices (méthodes de point fixe)

2. 1 + x. 2. 1x2 + x2 sin(x3). Exercice 78 (Point fixe dans IR). Corrigé en page 164. 1. Etudier la convergence de la suite (x.

Analyse Numérique

point milieu doit fournir la meilleure approxi- mation des trois en général ... méthode de Givens et on note M (i µ) le nombre de paires consécutives de ...

Analyse Numérique - Corrigé du TD 5

Par suite d'apr`es l'exercice 1

Réponses aux exercices du chapitre 2

c) Déterminer pour chaque point fixe trouvé en a) la valeur de λ pour laquelle la conver- gence de la méthode des points fixes sera quadratique. Solution a) On

LICENCE 3 MATHEMATIQUES – INFORMATIQUE

donner une modification de la méthode de Newton donnant une convergence au moins d'ordre 2. Exercice 104 (Point fixe et Newton). Corrigé en page 196. Soit g ∈

TP 1 : Calcul approché et méthode du point fixe

Un corrigé sera distribué plus tard pour les questions théoriques. Question 3 Montrer que la fonction f(x) = x − cos(x) n'admet qu'un seul et unique zéro sur

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Point fixe. 1) Introduction. 2) Algorithme du point fixe. 3) Théorème du point fixe. 4) Exercice: calcul numérique de ?. 5) Deux exercices corrigés www.

Méthode du point fixe pour la résolution de léquation fpxq “ x.

Analyse numérique - TD4 & TD5 - Corrigé des exercices 2-4-5-7-8-9 (algo) Écrire l'algorithme du point fixe (fonction PointFixe) permettant de résoudre ...

Analyse Numérique

Corrigé du TD 5 admettant un point fixe l ? I i.e. g(l) = l. ... Par suite d'apr`es l'exercice 1

1 Point fixe et Newton

postériori dépendant du u0 choisi). Exercice 2. Points fixes instables. On veut résoudre l'équation eu ? 2 = u u > 0. (1) par la méthode du point fixe.

Analyse Numérique

1.5 Exercices du chapitre 1 . 4.4.2.5 Méthode des trapèzes corrigés . . . . . . . . . . . . . . 82 ... ECKHA 2.4 Méthode de point fixe pour g(x) = x2.

2.2.5 Exercices (méthodes de point fixe)

2.2.5 Exercices (méthodes de point fixe). Exercice 76 (Calcul différentiel). Suggestions en page 163 corrigé détaillé en page 163. Soit f ? C. 2(IRn

TP 1 : Calcul approché et méthode du point fixe

Un corrigé sera distribué plus tard pour les questions théoriques. Question 3 Montrer que la fonction f(x) = x ? cos(x) n'admet qu'un seul et unique zéro sur

1 Point fixe et Newton

postériori dépendant du u0 choisi). Exercice 2. Points fixes instables. On veut résoudre l'équation eu ? 2 = u u > 0. (1) par la méthode du point fixe.

Résolution déquations non linéaires £ ¢ ¡ Exercice 4.1 Correction

Pour étudier la convergence de la méthode on rappelle le théor`eme du point fixe : Théor`eme 0.1 Si g est une application strictement contractante définie

Réponses aux exercices du chapitre 2

c) Déterminer pour chaque point fixe trouvé en a) la valeur de ? pour laquelle la conver- gence de la méthode des points fixes sera quadratique. Solution a) On

L2-M249, 2009-2010 Travaux Dirigés Université J. Fourier1 Point fixe et NewtonExercice 1. Point fixeSoit

f(x) = cos(1 x+ 1) définie sur l'intervalle[0,1].

1. Faire le tableau de variations def.

2. Donner un majorantkde|f?|sur[0,1].

3. Montrer quefsatisfait aux hypothèses du théorème du point fixe et en déduire une suiterécurrente

convergeant vers l'unique solution decos(1/(l+ 1)) =lsur[0,1].

4. Combien de termes de la suite faut-il calculer pour être sur d'obtenir une valeur approchée à1e-3près

del? Même question pour avoir une valeur approchée à1e-6près. Faites le calcul du nombre de termes

de deux manières : sans calculer les termes de la suite (estimation à priori, uniquement avec la valeur de

ket indépendamment deu0?[0,1]), ou en estimant|un-l|en fonction de|un+1-un|(estimation à postériori dépendant duu0choisi). Exercice 2. Points fixes instables.On veut résoudre l'équation e u-2 =u,u >0(1) par la méthode du point fixe.

1. La fonctionf(u) =eu-2est-elle contractante sur[0,∞[? Tracer sur le graphe defles premières

valeurs de la suite itéréeun=fn(u0)pour une valeur initialeu0>0. La suite converge-t-elle?

En considérant la fonction réciproquef-1, trouver une méthode de point fixe pour résoudre (1) numé-

riquement. Justifier la convergence et donner une majoration théorique de l'erreur.

Donner la solution approchée et le nombre d'itérations nécessaires pouravoir une précision de10-6en

prenantu0= 1.

2. Utiliser la même méthode pour résoudre numériquement l'équation

tan(u) =u,π/2< u <3π/2.

3. Étant donnée une fonction non contractante quelconquef: [a,b]→R, sous quelles conditions surf

votre méthode est-elle applicable?

Exercice 3. Du point fixe à Newton (MATHS).Soitf: [a,b]→[a,b]une contraction, c'est-à-dire qu'il

existek <1tel que|f(u)-f(v)| ≤k|u-v|pour toutu,v?[a,b]. On rappelle qu'il existe alors un unique

point fixe pourf, que l'on note?, et que pour toutu0?[a,b], la suite(un)définie parun+1=f(un)converge

vers?.

1. Montrer que le nombre de décimales deuncoïncidant avec celles du point fixe?= limn→∞unaugmente

(au moins) proportionnellement ànquandncroît (convergence linéaire).

2. Si l'on suppose de plus quefest de classeC2([a,b])et quef?(?) = 0, montrer que le nombre de

décimales deuncoïncidant avec celles de?augmente beaucoup plus rapidement avecn: (au moins) comme2n(convergence exponentielle). Indication :Utiliser la formule de Taylor avec reste à l'ordre 2.

Exercice 4. Newton (1).Utiliser la méthode de Newton pour résoudre l'équation (1)eu-2 =u,u >0.

Justifier la convergence et donner une majoration théorique de l'erreur.

Combien d'itérations sont-elles nécessaires pour avoir une précision de1e-6en prenantx0= 1(comparer

avec le résultat de l'exercice 2)? Peut-on choisirx0= 0? 1 Exercice 5. Newton (2)On veut résoudre par la méthode de Newton l'équation x= cos(1 x+ 1), x?[0,1]

Écrire cette équation sous la formef(x) = 0, étudier la convexité def, en déduire une valeur deu0pour

laquelle on peut affirmer que la suite(un)de la méthode de Newton converge versltel quef(l) = 0. Calculer

2puis donner un encadrement de|u2-l|.

Exercice 6. Problèmes de convergence?Soitg(u) = arctan(u). On note(xn)n?Nla suite itérée obtenue en

appliquant la méthode de Newton à l'équationg(r) = 0en partant dex0.

1. Déterminer numériquement une valeura >0telle que six0=a, la suite(xn)n?Noscille entre les deux

valeurs±ade part et d'autre de la solution exacter= 0. Indication :On pourra par exemple chercherapar une méthode de point fixe sur un intervalle bien choisi.

2. Déterminergraphiquementle comportement de(xn)n?Nquantn→ ∞pour|x0|< aet pour|x0|> a.

2 Représentation des entiers et des réels.

Exercice 7. Entiers en base 2 et en base 16.

1. Soitn1l'entier s'écrivant1234en base16. Donnern1en base10.

2. Soitn2l'entier s'écrivant6000en base10. Écriren2en base16puis en base2.

Exercice 8. Opérations en base 2.Donner les tables d'addition et de multiplication en base2. Calculer la

somme, la différence et le produit des 2 entiers s'écrivant1101et1011en base2en utilisant l'algorithme

"école primaire" en base2. Vérifiez vos résultats en les comparant à ceux obtenus en base10.

Exercice 9. Fractions en base 2.Écrire les nombres décimaux0.25,0.1875et0.3en base2. Comment ces

nombres sont-ils codés sur un ordinateur disposant de52bit pour la mantisse et de11bit pour l'exposant? Le

codage est-il exact? Que donne le calcul de0.3-3?0.1effectué avec xcas? Expliquer. Exercice 10. (Examen Juin 2006)Comparer les valeurs de

1011+ 1-⎷1011et1⎷1011+ 1 +⎷1011

en calcul exact et en calcul approché. En calcul approché, laquellede ces deux valeurs vous parait-elle plus

proche de la valeur exacte correspondante?

Exercice 11. Erreur relative pour l'inverse.Donner l'erreur relative de1/xpar rapport à1/x0en fonction

de l'erreur relative?=|x-x0|/|x0|dexpar rapport àx0(on pourra se limiter au plus bas ordre en?).

Exercice 12. Méthode de Horner (1).Il s'agit d'évaluer efficacement un polynôme en un point. On note

P(x) =anxn+...+a0, on poseb0=P(α)et on écrit :

P(X)-b0= (X-α)Q(X)

où :

Q(X) =bnXn-1+...+b2X+b1.

On calcule alors par ordre décroissantbn,bn-1, ...,b0.

1. Donnerbnen fonction deanpuisbien fonction deaietbi+1pouri=n-1,n-2,...,1.

2. Appliquer la méthode ci-dessus pour calculerP(α)pourP(X) =X3+ 7X2+ 7Xetα= 16.

3. Même question pourP(X) =X5+ 4X4+ 3X3etα= 5. En déduire l'écriture en base10de l'entier

s'écrivant143000en base5.quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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1. Faire le tableau de variations def.

2. Donner un majorantkde|f?|sur[0,1].

3. Montrer quefsatisfait aux hypothèses du théorème du point fixe et en déduire une suiterécurrente

4. Combien de termes de la suite faut-il calculer pour être sur d'obtenir une valeur approchée à1e-3près

1. La fonctionf(u) =eu-2est-elle contractante sur[0,∞[? Tracer sur le graphe defles premières

2. Utiliser la même méthode pour résoudre numériquement l'équation

3. Étant donnée une fonction non contractante quelconquef: [a,b]→R, sous quelles conditions surf

1. Montrer que le nombre de décimales deuncoïncidant avec celles du point fixe?= limn→∞unaugmente

2. Si l'on suppose de plus quefest de classeC2([a,b])et quef?(?) = 0, montrer que le nombre de

2puis donner un encadrement de|u2-l|.

1. Déterminer numériquement une valeura >0telle que six0=a, la suite(xn)n?Noscille entre les deux

2. Déterminergraphiquementle comportement de(xn)n?Nquantn→ ∞pour|x0|< aet pour|x0|> a.

2 Représentation des entiers et des réels.

Exercice 7. Entiers en base 2 et en base 16.

1. Soitn1l'entier s'écrivant1234en base16. Donnern1en base10.

2. Soitn2l'entier s'écrivant6000en base10. Écriren2en base16puis en base2.

1011+ 1-⎷1011et1⎷1011+ 1 +⎷1011

P(X)-b0= (X-α)Q(X)

Q(X) =bnXn-1+...+b2X+b1.

1. Donnerbnen fonction deanpuisbien fonction deaietbi+1pouri=n-1,n-2,...,1.

2. Appliquer la méthode ci-dessus pour calculerP(α)pourP(X) =X3+ 7X2+ 7Xetα= 16.

3. Même question pourP(X) =X5+ 4X4+ 3X3etα= 5. En déduire l'écriture en base10de l'entier