[PDF] Corrections des exercices sur les pyramides et cônes de révolut

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Corrections des exercices sur les pyramides et cônes de révolutionExercice 1 : Bien que sa base soit un polygone régulier ( un carré), la pyramide 1 n'est pas régulière car sa hauteur ne passe pas par le centre de sa base.Par contre la pyramide 2 est régulière, sa base est un polygone régulier et sa hauteur passe par le centre de ce polygone.Exercice 3 : a. Il faut que la circonférence du cercle (C) soit égale à la

longueur de l'arc AA' du cercle (C').Calculons la longueur de l'arc AA' : On sait que la longueur d'un arc de cercle est

proportionnelle à la mesure de l'angle qu'il intercepte. On a donc le tableau de proportionnalité suivant :

Longueur de l'arc2´p´6,5L

angle qu'il intercepte360216On en déduit que L = (216 ´2´ p´6,5) : 360 »24,5. On doit donc trouver le rayon r de la base dont la circonférence est 24,5 cm. Puisque la circonférence d'un cercle est donné par la formule 2´ p´r, il vient que 2´ p´r = 24,5 d'où r = 24,5 : (2p) » 3,9. Le rayon du cercle C est donc de 3,9 cm.b. Pour le patron voir à la dernière page ! c. On applique le théorème de Pythagore dans le triangle SAO rectangle en O, on a SA² = SO² + OA² or OA = 3,9 et SA = 6,5 d'où SO² = SA² - OA² = 27,04.Il vient que la hauteur du cône est de

04,27 cm c'est-à-dire 5,2 cm.Exercice 2 : 1°) Je ne suis pas d'accord. Par définition la hauteur

d'une pyramide est toujours perpendiculaire à la base. Pour que la pyramide soit régulière il faut que la base soit un polygone régulier et que la hauteur passe par le centre de ce polygone.2°) Je suis d'accord. Le volume d'un cône est 3

1´B´h

et celui d'un cylindre B´h, avec h la hauteur et B l'aire de la base.3°) Je suis d'accord.4°) Je suis d'accord, en effet on obtient un cône de

révolution en faisant tourner un triangle rectangle autour

de l'un des côtés de l'angle droit.5°) Je ne suis pas d'accord. Il faut que la circonférence

de la base soit égale à la longueur de l'arc AA'.(voir schéma ci-dessous) Or ici la circonférence de la base est

égale à 2

p donc l'angle, la longueur de l'arc AA' doit

être égale à 2

p or SA =2 cm et on a la propriété : la longueur d'un arc de cercle est proportionnelle à la mesure de l'angle qu'il intercepte. Calculons alors la mesure de l'angle A'SA :

A'SA = 360´2

p : (2´p´2) = 180.L'angle A'SA doit donc mesurer 180° ce qui n'est pas le cas sur le schéma de l'énoncé.6°)Je suis d'accord. Supposons que AB = 6 cm et

SH = 4cm. Pour calculer

l'aire latérale de la pyramide, on doit calculer l'aire de chaque face latérale. On a de la chance, car on travaille sur une pyramide régulière donc les quatre faces de la pyramide sont des triangles de même aire. Calculons SM : On applique le théorème de Pythagore dans le triangle SHM rectangle en H, on a SM² = SH² + MH²or MH = 3 cm et SH = 4 cm donc SM² = 16 + 9 = 25 d'où SM = 5 cm. On en déduit l'aire latérale de la pyramide : (aire d'une face)´4=(5´6 :2)´4

= 60.L'aire latérale de la pyramide est bien de 60 cm².Exercice 4 : La figure du milieu n'est pas le patron d'une pyramide.

Exercice 9 : Le volume de la pyramide de Khéops est :3

1´230,3²´137 »2 420 073 m3

Le volume de la pyramide de Mykérinos est :

3

1´104,6²´106 »386 588 m3

Le volume de la pyramide de Khephren est :

3

1´215,15²´136,5 »2 106 173 m3

Exercice 5 :

a. Pour calculer AH², on va calculer AC² puis utiliser le fait que H soit le milieu de [AC].ABCD est un carré de 3 cm de côté donc ABC est un triangle rectangle et isocèle en B.On applique le

théorème de Pythagore dans ce triangle, on a AC² = AB² + BC² or AB = BC = 3 donc AC² = 18.De plus AC = 2 AH d'où AC² = 4 AH². Il vient que

4AH²=18 et donc AH² = 4,5.Calculons maintenant SA : Grâce au théorème de Pythagore appliqué dans le

triangle SAH rectangle en H, on a: SA² = AH² + HS² or HS = 6 et AH² = 4,5.d'où SA²= 4,5 + 36 = 40,5 et donc SA =

5,40 » 6,36.La longueur de [SA] est donc 6,36 cm environ.b.voir à la dernière page !

c. On peut construire une telle pyramide sans effectuer aucun calcul. Pour cela il suffit de construire la longueur SA : on trace un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesure 3 et 6 cm. La longueur de l'hypoténuse de ce triangle est la longueur de [SA]. (en fait, on a juste tracé le triangle SAH dans le plan de la feuille). Il suffit pour terminer le patron de tracé un carré de côté 3 cm et de construire quatre triangles isocèles (en utilisant la longueur trouvée précédemment ) autour du carré.Exercice 7 : On a

Vclocher = Vprisme droit + Vpyramide

= 5,5 ´ 2,5´ 2,5 + 1

3 ´ 2,5² ´ (8-5,5)

¿39,58.

Le volume du clocher est environ égal à 39,58 m3.Exercice 6 : a. Les triangles SAB, SAM et SMH sont isocèles.b.

Premier cas :

SH = 5 cm et AB = 4 cm.Calculons SM : On applique le théorème de Pythagore dans le triangle

SHM rectangle en H, on a SM² = SH² + MH² or MH = 2 cm et SH = 5 cm donc SM² = 25 + 4 = 29 d'où

SM =

29» 5,39 cm.L'aire du triangle SAB est donc de 5´

29 : 2 c'est-à-dire 13,46 cm². SABCD étant une pyramide régulière,

l'aire latérale de la pyramide est égale à quatre fois l'aire d'une face donc l'aire latérale recherchée est

13,46 ´ 4 = 53,84 environ (ou plus exactement 10´

29).

Le volume de la pyramide est 803≈¿

¿26,667 cm3

Deuxième cas : SA = 10 cm et AB = 4 cm.Cette fois-ci, on travaille dans le triangle SAM rectangle en M.En appliquant le théorème de Pythagore on trouve SM = 96. L'aire latérale de la pyramide est égale à 4´4´ 96 : 2 ¿ 75,38 cm².On réutilise le théorème de Pythagore dans le triangle SHM rectangle en M, on a SM² = SH² + MH² or HM=2 et SM = 96 d'où SH² = 92 et donc SH = 92. On peut maintenant calculer le volume de la pyramide : V = 1

3´ 4´4´

92 ¿51,16.Troisième cas : SM = 8 cm et SH = 6 cm.Il faut calculer la longueur du côté de la base de la

pyramide. On va calculer pour cela la longueur HM. On en déduira AB (car AB = 2 HM). On applique le théorème de Pythagore dans le triangle

SHM rectangle en H, on a SM² = SH² + MH² or SM = 8 cm et SH = 6 cm donc MH² = 28.On en déduit

que AB = 2´ 28¿10,58.L'aire latérale de la pyramide est donc de 172,33 cm² et son volume est 672 cm3. Exercice 10 : Le volume du cône de révolution est 1

3´π´ r²´h avec r le rayon de la base et h la hauteur du cône.Ici, h = SO = 6 et r = OA.Calculons AO : On applique le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle SOA rectangle en O, on a donc SO²+OA²=SA²

d'où OA² = SA² - SO² . Il vient que OA²= 6,5²-6²=6,25 et donc OA = 2,5.On en déduit le volume du cône de révolution : 1

3´

π´2,5²´ 6 ¿39,2699.La valeur exacte du volume est 12,5 πet sa valeur arrondie au millième est 39,270 cm3.

Exercice 11 : 1.

a, en cm232,511,5

B, aire de base en

cm²496,2512,25

V, volume de la

pyramide en cm381812,524,5

2. J'ai dû réduire le graphique car il prenait trop de place.3.Le volume n'est pas proportionnel à la longueur du

côté de la base car les points du graphique ne sont pas alignés.quotesdbs_dbs9.pdfusesText_15

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