Tableau de KARNAUGH : exercices corrigés
Tableau de KARNAUGH. Rappel : Règles de simplification pour les diagrammes de Exercice 1. Déterminer les équations des fonctions logiques suivantes : 1 ...
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2) Simplifier les fonctions à l'aide de tableau de Karnaugh. 3) Dessiner le logigramme utilisant 3 portes NOR 1 porte NAND et une porte ET. Exercice 9: Une
Exercice 1 : Exercice 2 : Exercice 3 :
Simplifier les fonctions suivantes en utilisant les tableaux de Karnaugh. Les implanter ensuite avec des portes NAND. solution minimale relative au T.K 2 est ...
De Morgan - Tableau de Karnaugh à 2 variables
_ numéroter les 8 lignes de la table de vérité c b
Chapitre 2 : Algèbre de Boole
2. Solution : En simplifiant l'équation. 1 par le tableau de. Karnaugh. : Page tableau suivant : Après simplification on trouve : Exemple. Page 32. Exercice ...
Simplification des fonctions logique à laide des tableaux de Karnaugh
Le passage de la case (3) à la case (7) est réalisé avec le changement d'une seule variable. Ex : Case (5) : cba .. II ) Marquage d'une fonction dans le tableau.
Circuits et Architecture (CA7) TD no 1 : Fonctions booléennes et
Exercice 1 – De tableau de Karnaugh vers fonction booléenne. Quelle fonction Tableaux de Karnaugh avec 3 ou 4 paramètres. Lorsqu'il y a plus de deux ...
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Compléter la table de transition suivante en y écrivant les valeurs des fonctions de commutation. 3. Remplir les tableaux de Karnaugh correspondant à ces
Exercice 1 : Exercice 2 :
On veut concevoir un système d'ouverture de porte avec code d'accès. La machine utilisant le tableau de Karnaugh ci- après qui donne en fait la solution ...
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TD N°3: Synthèse & Simplification par Tableau de Karnaugh. accompagner le travail personnel de l'étudiant avec l'aide précieuse de ... Exercice 4:.
Simplification des fonctions logique à laide des tableaux de Karnaugh
Le passage de la case (3) à la case (7) est réalisé avec le changement d'une seule variable. Ex : Case (5) : cba .. II ) Marquage d'une fonction dans le tableau.
Tableau de KARNAUGH : exercices corrigés
Tableau de KARNAUGH. Exercice 1. Déterminer les équations des fonctions logiques suivantes : 1. Fonctions à deux variables:.
Corrigé des exercices
Si on préfère une conjonction on a F ? ab + ac
Devoir surveillé 2
Exercice 3 Déterminer les formes canoniques disjonctives et conjonctives des Ainsi la forme est réduite et le tableau de Karnaugh donne les mintermes et ...
Electronique numérique
"Simplification des fonctions logiques par tableaux de Karnaugh". Exercice 1 Solution. Il faut faire apparaître les variables C et D dans le 1er terme.
Corrigé détaillé du TD N°1
La simplification de Karnaugh permet de réduire au maximum le nombre de termes les variables et les opérateurs. Exercice 4 : Question : Donner la forme
Exercice 1 F1 = a . b. c + a . b. c Simplification par la méthode
Révision tableau de Karnaugh. T ELTB. Révision. Page 1/4. Y.Sutra. Exercice 1 Simplification par les tableaux de Karnaugh. Exercice 2.
Recueil dexercices sur les propriétés des variables et fonctions
Utiliser les zéros du tableau de Karnaugh et donner le résultat sous forme conjonctive. Exercice 10. Simplifier par la méthode des diagrammes de Karnaugh
UNIVERSITE MOSTEFA BEN BOULAID - BATNA 2
FACULTE DE MATH & INFORMATIQUE
DEPARTEMENT SOCLE COMMUN MATH & INFORMATIQUE
MODULE : STRUCTURE MACHINE 2
Corrigé détaillé du TD N°1
Réalisé par :
H. Fedala
N. Alloui
Année universitaire : 2019/2020
1Exercice 1
Utiliser la table de vérité pour démontrer :A+B.C = (A+B).(A+C)
On a 3 variables A, B et C on utilise une table de vérité de 23 lignes (8 lignes) Utilisons la loi de Morgan et les autres axiomes pour démontrer les égalités suivantes : (A+B) . ࡄࡄ = 0 ? (A+B) . ࡄࡄ . (A . B) / ࡄࡄ = A . B = (A+B) . (A . B) / A . B = A . B $D . ࡄ . (A . ࡄ . ࡄ =$D. ࡄ. A . BA B C B.C A+B.C A+B A+C (A+B).(A+C)
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1 1
1 0 1 0 1 1 1 1
1 1 0 0 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
A B C A B C ࡄ ࡄࡄ ࡄࡄࡄ ࡄࡄࡄࡄ ࡄࡄࡄ0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1
1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
2 $D. A . ࡄ. B / ࡄ.A= A.ࡄ = 0 . 0 / ࡄ. A= ࡄ. B = 0 = 0 / 0.0 = 0A.ࡄࡄ.B = A.ࡄ.ࡄ ?
A.ࡄࡄ.B = A.ࡄ. ࡄ.B;< ;D. ࡄ avec X= A.ࡄet Y= ࡄ.B = ࡄࡄ. (ࡄ%D) / X. ࡄࡄ; $HW< %D ; ࡄ $D%.$%D%D %HW$D $ = ࡄ.ࡄ.%D'LVWULEXWLYLWpGH ET (.) $D.A + B.ࡄ.ࡄ.ࡄistributivité de ET = (0 + A.ࡄ.ࡄ ࡄ.A=0 et B.ࡄ = 0+ A.ࡄ.ࡄ = A.ࡄ.ࡄ / 0+X=X avec X = A.ࡄ.ࡄA.B + B.ࡄ.B.ࡄ = B ?
A.B + B.ࡄ.B.ࡄ = B. (A + ࡄ.ࡄ) / Mise en facteur de B = B.$&$D.ࡄ / A + C = A + C = B.$D.&D$D.ࡄࡄࡄ = B . ࡄ ࡄ.&D ; = B .;D; = B / B.1 = 1.B = B ࡄ.ࡄ .$$D.ࡄࡄC.D = C.D ? ࡄ.ࡄ. (ࡄ.ࡄࡄ.ࡄ.ࡄ. ࡄࡄ.ࡄ.B = A+B = (A+B) .$%&D'D C.D / ࡄ.ࡄ = A+B ࡄ. X + ࡄࡄ.D : On pose A + B = X = 0 + ࡄࡄ.D / ;D. X=0 <2QSRVH&D'D&.D = Y = Y / 0 + Y =Y = ࡄࡄ.D / On remplace Y par ࡄࡄ.D 3 = C.D + C.D / ࡄࡄ = C.D = X + X / On pose C.D = X = X / X + X = X = C.D / On remplace X par C.DConclusion :
Attention : Respecter les priorités des parenthèses et des opérateurs logiques.Exercice 2
1) Ecrire sous la première forme canonique les fonctions définies par les propositions
suivantes : Q1 F(A, B, C) = 1 si et seulement si exactement deux des variables A, B, C prennent la valeur 1.On a 3 variables A, B et C 23 = 8 lignes
On a 3 variables A, B et C et la fonction F(A,B,C) 4 colonnes Table de vérité avec 4 colonnes et 8 lignes :F1FNC$%& $D%& ࡄ + ࡄ
A B C F(A,B,C,D)
0 0 0 0 0 1 0 1 00 1 1 1
1 0 01 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1Les mintermes
les entrées la sortieDans Q1 F(A,B,C) = 1 Si et seulement si
exactement deux des variables A, B, C prennent 1 deux variables en même temps prennent 1On veut écrire F sous la première forme
canonique : 1FNC on fait alors la somme des produits : 4 Q2 F(A, B, C) = 1 si et seulement si au moins une des variables A, B, C prennent la valeur 1.Réponse 2 : On utilise toujours une table de vérité comme utilisée dans Q1, mais la sortie
F(A,B,C) change, dans Q2, on a :
F(A,B,C)= 1 si au moins une des variables A, B et C prennent 1 1 variable prend 1 ou 2 variables prennent 1 ou 3 variables prennent 1.2) Ecrire sous la deuxième forme canonique les fonctions définies par les propositions
suivantes : Q1 F(A, B, C) = 0 si et seulement si exactement une des variables A, B, C prend la valeur 0.Réponse 1
vérité associée est :A B C F(A,B,C,D)
0 0 00 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
A B C F(A,B,C,D)
0 0 0 0 0 1 0 1 00 1 1 0
1 0 01 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1Les mintermes
Variable de sortie
F(A,B,C)
F1FNC (A,B,C) =
ࡄࡄ.C +ࡄࡄࡄ.B.C +ࡄࡄ+ࡄ+A.Bࡄ +A.B.C ࡄࡄ.C A.B.CVariable de sortie
On veut écrire F sous la deuxième forme canonique :2FNC on fait alors le produit des sommes :
F2FNC (A,B,C) = (ࡄࡄ) .(ࡄ+B+ࡄ).( ࡄࡄLes maxtermes
ࡄࡄࡄࡄ.B.C 5 Q2 F(A, B, C) = 0 si et seulement si au moins deux des variables A, B, C prennent la valeur 0. Réponse 2 Deux variables ou plus prennent la valeur 0 au moins 2 variables prennent 0. On construit alors, la table de vérité associée :3) Soit F une fonction booléenne tel que : F(A,B,C,D) = (0, 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 15) (*)
Q1) Donner la table de vérité de F.
Réponse 1 F est donnée sous forme décimale : A, B, C, D et F (A,B,C,D) une variable de sortie 5 colonnes. La table de vérité de F est :A B C F(A,B,C,D)
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 11 0 0 0
1 0 1 1 1 0 1 1 1A B C D F(A,B,C,D)
0 0 0 0 1
0 0 0 1 1
0 0 1 0
0 0 1 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1 1
0 1 1 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1 1
1 0 1 0 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1 1
1 1 1 0
1 1 1 1 1
Variable de sortie
F2FNC (A,B,C) =
(A+B+C) .(A+B+ࡄ).( ࡄࡄLes maxtermes
A+B+CVariable de sortie
N° de ligne
0 1 14 2 15 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Sachant : F(A,B,C,D)= (0, 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 15) La ligne 13 dans la table de vérité correspond à :A= 1 ; B = 1 ; C = 0 ; D = 1
Mettre 1 dans la
ligne 0 de la tableMettre 1 dans la
ligne 13 de la table 6 Q2 Quelle est la forme abrégée pour représenter F ? Représenter F sous cette forme.Réponse 2 - La forme abrégée de F est constituée de termes représentés par les lignes de F(*).
- F est sous forme : Fࡄࡄࡄࡄࡄࡄࡄ$D%D&'$D%&D' $D%.Cࡄࡄ%D&'D$%D&'$%&D'$%&'Q3 Simplifier F par Karnaugh.
Réponse 3 Pour simplifier F, on doit construire le tableau de Karnaugh soit à partir de la table
de vérité, soit à partir de F donnée sous forme décimale. Cas 1 : Utilisation de la forme décimale Cas 2 : Utilisation de la table de véritéF(A,B,C,D) = (0, 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 15)
Les cases en vert doivent contenir des 1 ; On met 1 dans la case qui correspond les autres des 0 : à la ligne de la table (voir réponse 1) : F(A,B,C,D) = (0, 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 15) On met 1 dans les cases correspondantes aux lignes : 0, 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 15 On fait les regroupements pour éliminer le maximum de variables. Plus le groupe est grand,plus le nombre de variables éliminées est grand (on supprime la ou les variables qui
changent).0000 0001 0011. . . . . .1111
case n°0 case n°1 case n°3 case n°15 7 On fait la somme logique (+) entre les On fait la somme logique (+) entre les trois groupes, on obtient : trois groupes, on obtient : F(A,B,C,D)= D + ࡄࡄ.ࡄ + ࡄ.C F(A,B,C,D)= D + ࡄࡄ.ࡄ + ࡄ.CConclusion
Si on remplit la table Karnaugh à partir de la forme décimale de F ou à partir de la table de
vérité associée, on obtient le même résultat.La fonction F utilisée (voir la réponse 2 (*)) a la forme algébrique : Fࡄࡄࡄࡄ
A.B.C.D
La simplification par la méthode de Karnaugh nous a donné :F(A,B,C,D) = D + ࡄࡄ.ࡄ + ࡄ.C
Exercice 3 :
Simplifier par la méthode de Karnaugh les fonctions booléennes suivantes :1) Fonction à 3 variables A, B, C
F est définie par :
F(A,B,C) = ࡄࡄ + ࡄࡄ + ࡄ
F(A,B,C) = $D%D& + B.ࡄ
82) Fonction à 3 variables A, B, C
F est définie par :
F(A,B,C) = ࡄ&D + ࡄ + ࡄ
ࡄB.&D3) Fonction à 3 variables A, B, C
F est définie par :
F(A,B,C) = ࡄࡄ&D + ࡄࡄ + ࡄ.B.C + ࡄࡄ + ࡄ ࡄࡄ$D.ࡄ )$%& %D&D$D%$%D OU 94) Fonction à 4 variables A, B, C, D
F est définie par :
F(A,B,C,D) = ࡄࡄࡄ'D + ࡄࡄ&'D + ࡄࡄ.D + ࡄ + A.Bࡄ'D +ࡄ&D'D+ࡄࡄ
F(A,B,C,Dࡄࡄ&D'D$D%'
5) Fonction à 2 variables A, B
F est définie par :
F(A,B) = (0, 1, 3) : F sous forme décimale
F(A, B, C) = ࡄ + B
6) Fonction à 4 variables A, B, C, D
F est définie par :
F(A,B,C,D) = (2, 5, 7, 11, 13, 15)
)$%&' %'$&'$D%D&'D 107) Fonction à 4 variables A, B, C, D
F est définie par :
F(A,B,C,D) = (1, 5, 6, 7, 11, 12, 13, 15) : F sous forme décimale F(A,B,C,D) = ࡄB.C ࡄ&D.D+ A.B.ࡄ + A.C.DConclusion
La simplification de Karnaugh permet de réduire au maximum le nombre de termes, les variables et les opérateurs.Exercice 4 :
Question : Donner la forme canonique adéquate des fonctions suivantes : )DEF DEDFF1(a,b)= a + b
F1(a,b,c,d)= a.b.c + a.ࡄ.d
F1(a,b,c,d,e)= a.b.c.d.e
Réponse
Rappel: Il existe deux formes canoniques :
Première forme
Union (ou) logique des mintermes. Les mintermes ne doivent pas être répétés.Exemple 1:
Soit f une fonction logique avec 3 variables a, b, c :F(a,b,c) = a.b.cDEDFDEDFDDDEFD
11 f est composée de 4 termes reliées par ou (+) chaque terme de f contient toutes les variables a,b,c les termes sont tous des mintermes. ition de mintermesConclusion : f est sous sa forme canonique
Exemple 2 :
Soit g une fonction logique avec 3 variables a, b, c : la variable c est absente.Conclusion première forme canonique
Deuxième forme
Intersection (et) logique des maxtermes. Les maxtermes ne doivent pas être répétés.Exemple1 :
Soit f une fonction logique avec 3 variables a, b, c :F(a,b,c) = (a+b+c) . ࡄ. ࡄࡄ.DEFD
f est composée de 4 termes reliées entre eux par (et) chaque terme de f contient toutes les variables a,b,c les termes sont tous des maxtermes. chaque maxa pas de répétition de maxtermes Conclusion : f est sous sa deuxième forme canoniqueExemple2 :
Soit g une fonction logique avec 4 variables a, b, c, d : g(a,b,c,dࡄEFDGD) . ࡄEDF+d) . ࡄࡄ.DDEFG g est composée de 4 termes le 3qPHWHUPHGHJ ࡄࡄ pas la variable b.Conclusion deuxième forme canonique
12Exemple3 :
Soit h une fonction logique avec 3 variables a, b, c : ࡄEDFD) . ( a+b+c) . ࡄࡄࡄ.DEDF h est composée de 4 termes chaque terme de h contient toutes les variables a,b,c les termes sont tous des maxtermes. le maxterme ࡄࡄࡄ est doubléConclusion : h deuxième forme canonique
Comment trouver la première ?
Les fonctions F1, F2, F3 et F4 (+)
on fait un passage à la première forme canonique : on utilise un passage canonique.F1ࡄ
EDFDDD aEDF + ࡄࡄ
Minterme Minterme
a.(ࡄࡄDEDFFD DEDF + ࡄࡄ
Minterme Minterme
DEFFD a.b.c + ࡄ
Minterme Minterme
F1ࡄDEDFDEDFDDEDFDDEDF
On élimine la répétition du minterme ࡄ :F1(a,b,c) DEFDEFDDEDFDEDFD +DDEDF
13F2(a,b) = a + b
EDDD a.b + ࡄ.b
Minterme Minterme
DEED a.b + ࡄ
Minterme Minterme
F2(a,b) = a.bDEDa.bDDE
On élimine la répétition du minterme a.b, on obtient :F2(a,b) = a.b + ࡄDDE
F3(a,b,c,d) = a.b.c + ࡄ
Minterme
DEFGGD a.b.c.d + ࡄ
Minterme Minterme
F3(a,b,c,d) DEFGDEFGDDEDFG
F4(a,b,c,d,e) = a.b.c.d.e
Minterme
F4(a,b,c,d,e) = a.b.c.d.e
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