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Phy 12a/12b Cinématique : corrections 2013-2014

CINÉMATIQUE : CORRECTIONS

Exercices prioritaires :Vrai ou faux?

?Exercice n° 1Justifiez vos réponses. 1.

L "accélérationd "unpoint ma térieldont la v itesseest cons tante(5 0km/ h)e sts ystémati-

quement nulle.

Faux : l"accélération est nulle à condition que la vitesse soit constante à tout point de

vue (intensité et direction). Par exemple, un objet circulant sur une trajectoire circu-

laire à vitesse constante a une accélération centripètev2/R.2.U neba lleglisse san sfr ottementd ansune p entein curvée.C efaisa nt:

(a) S avi tesseaugmen teet s onacc élérationdi minue (b) S avi tessediminue e tson a ccélérationaugmen te (c)

L esd euxaugmen tent

(d)

L esdeux sont con stantes

(e)

Les deu xdi minuentSa vitesse augmente et son accélération diminue. Concernant la vitesse le problème

est simple. On peut y répondre en faisant appel au th de l"E cou encore à la conserva- vaille pas et le poids dérive du potentielgz). L"énergie potentielle diminue lorsque la balle descend donc sa vitesse augmente (énergie cinétique). Pour l"accélération c"est plus délicat. L"accélération tangentielle correspond à la projection de#gsur la trajec- toire. Comme la trajectoire s"incurve de la verticale vers l"horizontale cette projection diminue : l"accélération tangentielle diminue. L"accélération normale estv2/RoùR est le rayon de courbure. Il n"est donc pas du tout évident qu"elle diminue (en tout cas en permanence). Elle va sans doute finir par s"annuler si la trajectoire ne remonte

jamais.3.U nfilm m ontrela c huted "unobje t(qui a d oncu neac célérationdir igéev ersle ba s).S ion

projette le film à l"envers (de la fin, vers le début), l"accélération sera-t-elle dirigée :

UJF L1 1 TD Phy 12a/12b

Phy 12a/12b Cinématique : corrections 2013-2014 (a) v ersl eba s? (b) v ersl eh aut? Verslebas: lefilmàl"enversmontreunobjetquimonteavecunevitessequiseréduit (la vitesse augmente dans le film à l"endroit). L"accélération est donc opposée à la vitesse (vers le haut) : elle est vers le bas.Mouvement avec accélération constante ??Exercice n° 2 Quelle est la trajectoire d"un point subissant une accélération vectorielle constante?

On peut choisir une repère (O,~ı,~|,~k) de façon à ce que l"accélération soit~aAEa0~|, la vitesse

initiale soit ~v0AEvx0~ıÅvy0~|et le pointOsoit le point de départ. Par intégrations successives on peut aisément calculer les équations du mouvement : 8>< aAE~a0 vAE~a0tÅ~v0¡¡!OMAE12 ~a0t2Å~v0tÅ¡¡¡!OM0)8 aAEa0~| a0t2Åvy0t)~|)M8 :xAEvx0t yAE12 a0t2Åvy0t zAE0 Il s"agit donc d"un mouvement parabolique d"équation :yAEa0v

2x0x2Åvy0v

x0x. Le plan de la pa- rabole n"est autre que le plan définit par

~aet~v0.1.M ontrerqu ele m ouvementcorr espondantn "esten g énéralp asunifor mémentv arié.

On entend par mouvement uniformément varié un mouvement dont le module de la vitesse est une fonction linéaire du tempsjj~vjj AE®tů. On peut calculer le module de la vitesse : jj ~vjjAEp~ v¢~vAEqv

20Åa2t2Å2~a¢~v0t

Qui, de façon générale, n"a aucune raison d"être une fonction linéaire det...2.A qu ellec onditioncett etr ajectoireest -eller ectiligne?

La trajectoire est rectiligne pour

~vÒd~v/dt(accélération colinéaire à la vitesse), c"est à dire ( ~atÅ~v0)Ò~a. Or, comme de façon évidente~aÒ~at, on en déduit : Mouvement rectiligne,~v0Ò~aUJF L1 2 TD Phy 12a/12b Phy 12a/12b Cinématique : corrections 2013-2014 3. D ansqu elcas p articulierle mou vementest -ilu niformémentv arié? Le mouvement est uniformément varié si d"après la question 1 on a : qv

Les deux seuls cas possibles sont

~a¢~v0AE §av0réalisés si~v0Ò~a(mvt rectiligne) et

donnantjj~vjjAEv0§at(mouvementsrectilignesuniformémentaccéléréoudécéléré).Avion de chasse

?Exercice n° 3

Un avion de chasse vole à 1800 km/h suivant une trajectoire circulaire (looping) située dans un

plan vertical. 1.

C alculerla position, la v itessee tl "accélérationdu p iloteen c oordonnéescar tésienneset

polaires.

On part des équations du mouvement :

8>< :rAERµAE!t xAERcosµyAERsinµ rAE0µAE!xAE¡R!sinµyAER!cosµ et on obtient directement :

OMAER~urAERcosµ~ıÅRsinµ~|

vAER!~uµAE ¡R!sinµ~ıÅR!cosµ~|

aAE¡R!2~urAE ¡R!2cosµ~ı¡R!2sinµ~|2.S achantq u"unp iloteent raînésuppor teau t otal6 g(5gplus l"accélération de pesanteur

g), quel est le rayon minimum qu"il peut donner à la trajectoire?

La norme de l"accélération s"écrit :

j ~ajAEv2R

Et on obtient directement :

R minAEv2j ~ajmaxAEv25gAE5097mUJF L1 3 TD Phy 12a/12b Phy 12a/12b Cinématique : corrections 2013-2014 Remarque : dans ce type d"exercice, il faut partir des relations suivantes :

et remplacerx,x,¨x,y,y,¨y,z,z,¨z,r,r,¨r,µ,µet¨µpar leurs valeurs respectives.Détermination d"un mouvement polaire

??,Exercice n° 4

Le corrigé est dans le polycopié de TD.

du mobile est donnée parµ(tAE0)AE0 etr(tAE0)AEr0. On se propose d"étudier le mouvement de M. 1. Q uelleest l ad imensionde aet 1/¸? Que représentent-ils physiquement? 2. E xprimerles équ ationstemp orellesdu mou vementr(t) etµ(t). 3.

Q uelleest l at rajectoirede M? Faire un dessin.

4. C alculerle v ecteuracc élérationd eMen coordonnées polaires. 5. L emouv ementest-il unif orme,ac céléré,u niformémentac céléré,autr e? 6. L aconn aissancedu v ecteurvitesse est ell es uffisantep ourrépond reà l aq uestion2 ?à la question 4? Expliquer.Détermination d"un mouvement cylindrique ??Exercice n° 5 Un mouvement est représenté en coordonnées cylindriques parrAEa,µAE3bt2etzAE4abt2.

2¼a2¼43

al FIGURE1: un tour (µAE2¼) de l"hélice déroulée 1. Q uellesson tles dimensions des deu xc onstantesaetb?UJF L1 4 TD Phy 12a/12b Phy 12a/12b Cinématique : corrections 2013-2014 temps au carré.AE)a»[L] etb»[1/T2]2.Q uelleest l at rajectoire? DerAEa, on en déduit que dans le planx0y, la trajectoire est un cercle. Comme par ailleurszAE4aµ3 , on en déduit que la trajectoire est une hélice d"axeOzde rayonaet de pas

8¼a3

.3.C alculerà l "instanttla distance parcourue par le mobile (on pourra s"aider en se repré- sentant la trajectoire sur le cylindre déroulé). Sur la figure (1), on a déroulé un tour de l"hélice. Par le théorème de Pythagore, on obtient alors : lAE(aµ)2ŵ43 2

AEaµs1ŵ43

2 AE53 aµ D

0où :s(t)AE53

a3bt2AE5abt24.C alculerson v ecteurv itesseet son accélér ation(en coor donnéescyl indriques).

De 8 :rAEaµAE3bt2zAE4abt2 rAE0µAE6btxAE8abt rAE0¨µAE6b¨zAE8ab)¡¡!

OMAEa~urÅ4abt2~uz

vAE2abt[3~uµÅ4~uz] aAE2ab[¡18bt2~urÅ3~uµÅ4~uz]5.Dé terminerl ev ecteurunit aire ~uttangent à la trajectoire. Quel est l"angle®du vecteur vitesse avec le plan horizontal (calculer ~ut¢~uµ)?

Par définition,

utAE~vj ~vjAE3~uµÅ4~uz5 Commej~utjAEj~uµjAE1, on en déduit : cos(®)AE~ut¢~uµAE35 )®AE53±UJF L1 5 TD Phy 12a/12b Phy 12a/12b Cinématique : corrections 2013-2014

Exercices supplémentaires :

Mouvement elliptique

??Exercice n° 6

Un satellite décrit une trajectoire elliptique (voir Figure) dont l"équation en coordonnées po-

laires (avec l"origine au foyer) est :

½AEp1Åecos(µ)

oupet 0ÇeÇ1 sont deux paramètres constants, respectivement le paramètre et l"excentricité

de l"ellipse). On sait par ailleurs que la conservation du moment cinétique implique :

2µAECte

1. Dé terminerla vi tessedu satelli teen un poin tqu elconque,en c oordonnéespolai res.

Entoutegénéralitéona

#vAE½# urŽµ# uµ.Danslecasprésentetennotantlaconstante

2µAEpu(ua la dimension d"une vitesse) on a :

½2µsin(µ)AEeusin(µ) et½µAE1½

½2µAEu(1Åecos(µ))2.E nd éduirele v ecteura ccélérationet mont rerque cell e-ciest cent rale.P ourquoin "est-elle

pas constante?

En toute généralité on a

#aAE(¨½¡½µ2)# urÅ(2½µÅ½¨µ)# uµ. Dans le cas présent il est plus astucieux de partir de la forme trouvée pour la vitesse à la question précédente : aAEddt (eusin(µ))# urÅ(eusin(µ))ddt (# ur)Åddt (u(1Åecos(µ)))# uµÅ(u(1Åecos(µ)))ddt (# uµ)

aAE(euµcos(µ))# urÅ(eusin(µ))µ# uµÅ(¡ueµsin(µ))# uµÅu(1Åecos(µ))(¡µ)# urUJF L1 6 TD Phy 12a/12b

Phy 12a/12b Cinématique : corrections 2013-2014

Au final on a donc une accélération radiale

#aAE ¡uµ# ur.uest une constante maisµ non. L"accélération radiale n"est pas constante à cause du caractère elliptique de la trajectoire (la vitesse angulaire augmente quand le rayon diminue : c"est la "loi des

aires" de Kepler.3.E nqu elsp ointsla vitesse et l "accélérations ont-ellesminimales o um aximales?R eprésen-

ter les vecteurs correspondants sur la trajectoire. jj #vjj AEpe

2u2sin2µÅu2(1Åcosµ)2AEupe

2Å2ecosµÅ1. La vitesse est donc maxi-

malelorsquecosµAE1(µAE0: périgée)etminimalelorsquecosµAE¡1(µAE¼:apogée) jj #ajj AEujµj AEpu2/½2. L"accélération est donc maximale lorsque½est minimal (péri- gée) et minimale lorsque½est maximal (apogée).i

Les expressions peuvent être factorisées en faisant apparaître½2µMouvement circulaire accéléré

?Exercice n° 7 Un mobile subit un mouvement circulaire de rayonR0et d"équationµAEat2oùaAECte. Trouver sa vitesse et son accélération.

Dans le cas de ce mouvement, on a :

8>< :rAER0µAEat2 rAE0µAE2at rAE0¨µAE2a

D"où les expressions :

OMAER0~ur

vAE2R0at~uµ aAE ¡4R0a2t2~urÅ2R0a~uµTrajectoire d"une roue ??Exercice n° 8

On considère une roue de rayonR, de centreO0, roulant sans glisser sur le sol avec une vitesseUJF L1 7 TD Phy 12a/12b

Phy 12a/12b Cinématique : corrections 2013-2014

angulaire!. On s"intéresse à la trajectoire d"un pointA, situé à la périphérie de la roue et dont

la position entAE0 se trouve à l"origine du repère (O,x,y) lié au sol. 1. Dé terminerles coor données( x,y) deAen fonction detet tracer sa trajectoire. On considère un repèreR0se déplaçant avec la roue, dont l"origineO0est le centre de O

0yest vertical orienté vers le haut. Dans ce repère, la roue a un simple mouvement

de rotation, dans le sens horaire.

½0AER x0AE¡Rsin(!t)

0AE!t y0AE¡Rcos(!t)

En appliquant les formules de changement de repère, xAEx0ÅR!t yAEy0ÅR on obtient alors la position dans le repère fixeR: xAER(!t¡sin(!t))

yAER(1¡cos(!t)2.C alculerle v ecteurv itesseet étudier l esv ariationsd es onmodul eau cou rsd ut emps.

On en déduit le vecteur vitesse :

v xAExAER!(1¡cos(!t)) v yAEyAER!sin(!t) ainsi que son module j ~vjAEq x2Åy2AER!p2(1¡cos(!t)) (1)

On trouve alors :

vAEvminAE0 pour!tAE0 mod 2¼ vAEvmaxAE2R!pour!tAE¼mod 2¼UJF L1 8 TD Phy 12a/12b Phy 12a/12b Cinématique : corrections 2013-2014 3. R eprésenterdan su nespa cev ectoriell "évolutiondu v ecteuracc élérationau c oursdu temps.

L"accélération est donnée par :

aAE¨x~iŨy~jAE¡R!2{sin(!t)~ıÅcos!t~|} (2)

Le vecteur position décrit une cycloïde (cf. figure) et le vecteur accélération un cercle

de rayonR!2.4.Mêmes qu estionspour la t rajectoirevu epa run obser vateurp ositionnéau cent rede la

roue, sans tourner avec celle-ci.

Pour cet observateur, il s"agit simplement d"un mouvement circulaire uniforme!Longueur de l"astroïde

???Exercice n° 9 Une particule se déplace selon une trajectoire dé- crite par les équations paramétriques suivantes : x(t)AEx0cos3(!0t) y(t)AEy0sin3(!0t) Déterminer la longueur de la trajectoire. On pren- dra :x0AEy0AE1 m et!0AE1 rad/s.1.0 0.5

0.00.51.01.0

0.5

0.00.51.0La longueur de la trajectoire s"obtient en intégrant sur celle ci un élément de longueur :

LAEI jjd# OMjjAEZ T 0 jj#vjjdtAE4Z

¼2!0

0jj#vjjdt

oùTAE2¼/!0est le temps de parcours de l"astroïde et de toute évidence sa longueur sera 4 fois celle d"un de ses quartiers. x(t)AE ¡3x0!0sin(!0t)cos2(!0t) y(t)AE3y0!0cos(!0t)sin2(!0t) jj #vjjAEq 12

UJF L1 9 TD Phy 12a/12b

Phy 12a/12b Cinématique : corrections 2013-2014 jj#vjjAE3x0!0sin(!0t)cos(!0t) et donc : LAE4Z

¼2!0

¼2!0

0AE6x0

Dans le cas général le calcul est plus compliqué mais reste faisable. On obtient :

LAE4x20Åx0y0Åy20x

0Åy0Tube tournant

???Exercice n° 10

Un tube rectiligne tourne dans un plan hori-

zontal à la vitesse angulaire constante!au- tour d"un axe vertical¢passant par son centre (figure ci-contre). A l"instanttAE0 on lâche un point matériel de masseMà la distanced0de l"axe, ce point glisse sans frottement à l"inté- rieur du tube. On travaille dans le référentiel terrestre supposé galiléen. On utilisera dans cet exercice les fonctions hyperboliques (cosh et

sinh). En préparation, révisez leurs propriétés.Od(t)MΔωL1.E xprimerd(t), la distance entre le point et l"axe au cours du temps.

Référentiel : terrestre supposé galiléen. Système : le point matériel M de massemconstante.

Repère : R(O,

~ı,~|,~k). Mouvement : M se déplace à l"intérieur du tube, qui est lui-même en rotation uni- forme autour de l"axe¢vertical. La vitesse angulaire de M est donc celle!du tube polaires, dans le plan horizontal.UJF L1 10 TD Phy 12a/12b Phy 12a/12b Cinématique : corrections 2013-2014 an= horizontal= à= la= vitesse= angulaire= instant=t=0= axe,=ce=point=glisse=sans= aille= dans= le= référentiel= terrestre= 2L. O d (t) M L y x "#M O i j! ru r "u

Plan horizonta

l+l -R y P O z zR =+xCinématique :

¡¡!OMAEr~ur

vAEd¡¡!OMdt

AEr~urÅrµ~uµAEr~urÅr!~uµ

aAEd~vdt

Remarque : comme

µAE!est constant, on peut calculer directementµ(t)AE!tsi l"on choisit l"axe Ox tel queµ(tAE0)AE0. La seule inconnue du mouvement est doncr(t).

Forces extérieures :

Forces à distance :

- poids ~PAE¡mg~k

Forces de contact :

- réaction normale du tube : elle est perpendiculaire au tube, donc elle n"a pas de composante le long du tube, c"est à dire suivant ~ur, donc la composanteRrest nulle.

On peut écrire

~RAERµ~uµÅRz~k. On ne peut rien affirmer de plus, à part qu"il est rai- sonnable de penser queRzest dirigée vers le haut (le tube empêche M de tomber). - on néglige tout frottement. Les inconnues du point de vue des forces sontRzetRµ. PFD :repère galiléen et système de masse constante :

Projection selon

~ur: 0AE¨r¡r!2(1)

Projection selon

~uµ:RµAEm2r!(2)

Projection selon

~k:¡mgÅRzAE0 (3) Remarque : si on avait oublié le termeRµ, l"équation (2) donnerait alorsrAE0, c"est à direrAEconstante, ce qui voudrait dire que M est immobile par rapport au tube, quelles que soient les conditions, ce qui ne serait pas vraisemblable.UJF L1 11 TD Phy 12a/12b Phy 12a/12b Cinématique : corrections 2013-2014

Equation différentielle du mouvement :

Donnée par l"équation (1) :

¨r¡r!2AE0

Résolution :

1- solution générale :r(t)AEAe¡!tÅBe!toùAetBsont des constantes d"intégration.

2- détermination deAetBpar les conditions initiales : on lâche M à la distanced0de

n"est pas immobile dans le référentiel du laboratoire puisqu"il est entraîné par la ro- tation du tube. Il a donc une vitesse orthoradiale (parallèle à ~uµ). Sa vitesse radiale le long du tube (parallèle à ~ur) est donc nulle :r(tAE0)AE0. Orr(t)AE¡A!e¡!tÅB!e!t. Donc r(tAE0)AE¡A!ÅB!AE0, doncAAEB. On en déduit finalementAAEBAEd02

Solution :d(t)AEd02

¡e¡!tÅe!t¢AEd0cosh(!t)

Analyse du résultat :d(t) augmente avec le temps, et M sera finalement éjecté du tube.w+= w

Plan horizonta

l x t = 0t 1 Oy d 0 t4 t3 t22.E xprimerla réact iondu tube ,en m oduleet dir ection. On reprend les équations (2) et (3) :RµAEm2r!etRzAEmg. On trouve donc : Remarque 1 : La composanteRµ, orientée dans le sens de la rotation, manifeste l"ac- tion du tube sur M. Cette forceRµest responsable du mouvement :m~aAE ¡mg~kÅ R µ~uµÅRz~kAERµ~uµ. Si cette forceRµn"existait pas, le mouvement de M serait recti- ligne uniforme. La forceRµoblige M à rester dans le tube, et donc incurve la trajec- toire, mais elle ne peut empêcher M de partir vers l"extérieur (i.e.raugmente). Remarque 2 : En terme d"accélération, on a donc une accélération orthoradiale (suivant ~uµ). Atten- tion, bien que

¨r6AE0, la composante radiale de l"ac-

célération (suivant ~ur) est nulle car¨r¡r!2AE0. L"accélération orthoradiale se décompose en une composante tangentielle (orientée dans le sens de la vitesse car le module de la vitesse augmente) et une composante normale (qui incurve la trajec- toire). w+= w l w==+-

Plan horizonta

l O xy N m &d &=d d mR M'&d mUJF L1 12 TD Phy 12a/12b Phy 12a/12b Cinématique : corrections 2013-2014 3. M ontrerqu el "anglede sor tieest i ndépendantde !. M arrive au bout du tube à l"instanttfinallorsque :d(tfinal)AEL,d0cosh(!tfinal)AEL

Le tempstfinalest donc donné par la relation :

cosh(!tfinal)AELd 0

La vitesse est alors :

L"angle de sortieÁest tel que :

tanÁAEvµ(tfinal)v r(tfinal)AELd

0sinh(!tfinal)AE1tanh(!tfinal)

En utilisant la relation mathématique :

cosh

2x¡sinh2xAE1, on obtient

sinh(!tfinal)AEqcosh

2(!tfinal)¡1AEqL

2/d20¡1.

L"angle de sortie est donc donné par la relation in- dépendante de!: tanÁAELq L

2¡d20w+=

w l w==+- l final vqd

Plan horizonta

l x O y finalr vd finalvd4.R eprésenterl atr ajectoiredu point u nefois éj ectédu tube de l ongueur2 L.quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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