[PDF] Mécanique Rationnelle 2 exercices. Corrigés : Tenseur d'

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Les exercices repris dans cet ouvrage sont le fruit du travail collectif de Benjamin Mertens, Emmanuelle Vin et

Anne Lamy

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Faculté des Sciences Appliquées

Mécanique Rationnelle 2 Syllabus d'exercices

Énoncés : Cinématique du solide, cinématique instantanée, CIR

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Formulaire

Distribution des vitesses :

Distribution des accélérations : A B

A Bv v BA

a a BA BA

Distribution des vitesses et accélérations

1. et A Bv vsont les vitesses (vecteurs coplanaires) des extrémités de la tige AB à l'instant t. Déterminer à cet instant la vitesse angulaire de la tige en fonction de , et A Bv vθ. A B L

θ vA

v B 2. Le parallélogramme ABCD est en rotation dans le plan Axy, autour du point A. Si α est constant, calculer la vitesse et l'accélération de son centre de masse G en fonction de , et θ θ θ? ??.

Utiliser

a) la méthode de dérivation des coordonnées. b) les formules de distribution des vitesses et des accélérations. B C A D L 3L/4 G x y

Mouvement instantané

3. On considère le système à 3 barres coplanaires représenté ci- contre. La barre AB, à cet instant, a une vitesse angulaire instantanée de 6 rad/s et une accélération angulaire instantanée nulle. On demande de déterminer les vitesses et accélérations angulaire instantanées correspondantes pour les barres BC et CD.

30°

60° 6 rad/s°

0.4 m 0.3 m

0.25 m A

B C D 4. A l'instant où le système représenté est dans la position indiquée (OC verticale, BC horizontale), ω=2rad/s et vA=1.2m/s.

1.) Calculer à cet instant la vitesse angulaire de BC.

2.) Déterminer la position des centres instantanés de rotation de BC et de AB et vérifier graphiquement.

AB C O vA 50cm
40cm
30cm

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5. Une plaque triangulaire est accrochée à l'aide de deux barres de

longueur différentes.

1. Calculez la distance AC pour que la hauteur OS du

triangle soit horizontale dans la configuration donnée par le dessin. A l'instant représenté, la barre AE tourne à la vitesse angulaire constante

θ? de 3 rad/s.

2. Quelle est la vitesse angulaire instantanée

??de la barre CD ?

3. Calculer la vitesse et l'accélération du point S..

D 4 m

6 m 60° 60°

C E A O

B S 3 m

30°

30°

6. Un mécanisme dessiné ci-contre est utilisé pour pousser des petites boites de leur position de stockage sur un convoyeur. Au moment initial, OD et BC sont en position verticale. BC tourne à vitesse constante dans le sens horlogique pour effectuer un tour toutes les deux secondes. Pour la position dessinée, déterminer la vitesse angulaire de chacune des barres ainsi que la vitesse à laquelle la boite est poussée horizontalement sur le convoyeur.

Mouvement relatif 7.

Bille se déplaçant dans un tube en rotation. Le système est constitué d'un tube s pouvant être mis en rotation autour de l'axe vertical Oz à l'aide d'un moteur. On désigne par ω la vitesse angulaire (constante) de ce tube par rapport au bati S0. A l'intérieur de ce tube, une masse m, de centre de gravité c, peut rouler sans frottement. Déterminer l'accélération du centre de gravité c de la masse m. O z c 8. Les deux branches d'un T symétrique ont même longueur L. Le T, ABC, est articulé en A sur un axe vertical OZ. Un point P peut se déplacer le long de BC. Le T peut tourner autour de A dans le plan vertical zOx, qui, lui-même, peut tourner autour de OZ. a) Déterminer la vitesse ainsi que l'accélération du point D. b) Déterminer la vitesse du point P mobile sur la tige BC P Z Y X C D B A ? x 2rr 6r 2r 2rr r/2 4r

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9. A la fin de la piste de décollage, l'avion effectue une légère

rotation avant de décoller. La vitesse et l'accélération de l'avion exprimées au niveau du point C sont v c et ac. L'angle θ entre le sol et l'avion évolue avec la vitesse ω=dθ/dt et l'accélération ε = dω/dt. Une personne A marche vers l'avant de l'avion avec la vitesse et l'accélération suivante : vrel et arel. Déterminer la vitesse et l'accélération de la personne A vue par un observateur au sol. 10. Une tige mince AB de longueur 3L est reliée comme indiquée sur la figure par deux glissières à deux droites perpendiculaires

OX et OZ qui tournent dans un plan fixe Oxz.

Calculer les composantes dans les axes XYZ de la vitesse (absolue) et de l'accélération (absolue) du centre C de la tige

1. par dérivation des coordonnées de C dans les axes XYZ

2. par application des formules de distribution des vitesses dans un solide

3. après avoir déterminé le mouvement du point C.

Déterminer entièrement le mouvement instantané de la tige AB Ѝ͵ pour un observateur attaché aux axes XYZ

5. pour un observateur attaché aux axes xyz (discuter les différents cas correspondant aux valeurs de

φ et

eCIR 11. r O r O

A B C A B C

(a) (b) r r 2r 2r

Déterminer pour chacun des deux cas, la vitesse angulaire de la barre CB à l'instant dessiné.

12.

Un tapis roulant incliné d'un angle α par rapport à l'horizontale et avançant à une vitesse constante vt permet de

passer avec des caddies du niveau parking au niveau magasin du supermarché. On considère un caddie parvenu

au niveau supérieur dont les roues avant ont déjà parcouru une distance x sur le sol horizontal.

L'entre-axe entre les roues avant et arrière est L

La personne qui pousse le caddie marche sur le tapis roulant et le fait avancer avec une vitesse relative v

c Les roues, de rayon R, roulent sans glisser sur le tapis et sur le sol.

On demande :

1. la vitesse et l'accélération angulaire d'une des roues arrière.

2. la vitesse angulaire du caddie

3. la vitesse du point d'une des roues arrière qui se déplace le plus vite

4. la vitesse du point d'une des roues arrière qui se déplace le moins vite

5. la position du CIR du caddie.

L

α v

c vt 2 1 x tapis roulant sol fixe

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13. La roue circulaire de rayon r tourne librement autour du bras

coudé CO en rotation autour de l'axe vertical à la vitesse angulaire constante de p rad/s. Le disque roulant sans glisser sur le plan horizontal à une distance R. de l'axe de rotation.

1. Déterminer entièrement le mouvement instantané du disque

(l'axe instantané de rotation, la vitesse angulaire

ω et

l'accélération angulaire

ε de la roue).

2. Déterminer la vitesse et l'accélération instantanée du point

du disque opposé au point de contact.

PS : L'axe x est toujours horizontal.

14. A l'instant où le disque de rayon R est dans la position indiquée sur la figure, et en supposant que les vitesses angulaires

ω1 et

ω3 sont constantes dans le temps,

1) Déterminer les composantes dans les axes xyz (x est

l'axe horizontal du mécanisme et y l'axe vertical) de la vitesse et de l'accélération angulaire du disque, ainsi que la vitesse et l'accélération du point A.

2) Discuter le type de mouvement du disque en fonction

des valeurs ω1, ω2 et ω3. Et préciser dans chaque cas ce qui permet de caractériser entièrement ce mouvement.

3) Tous les points de l'axe hélicoïdal instantané ont-ils le

même vecteur accélération ?

NB : O est un point fixe

15. Un disque de rayon R peut rouler sans glisser à l'intérieur d'un anneau circulaire mince (fixe) de centre O et de rayon 4R. Au centre C du disque est articulée une tige mince homogène de longueur 4R dont l'extrémité D peut glisser le long de l'anneau.

Le système est dans un plan fixe.

En choisissant comme coordonnée généralisée l'angle

θ indiqué

sur la figure, déterminer les types de mouvement du disque et de la tige, et indiquer ce qui les caractérise entièrement. Calculer les composantes dans les axes xy de la vitesse et de l'accélération du centre de masse G de la tige. y O G C x 16. Une tige homogène AB est fixée en A et s'appuie sur un disque circulaire de rayon R et de centre C de manière telle qu'il y a roulement sans glissement entre les deux solides, alors que le disque peut se déplacer sans frottement sur l'horizontale passant par A (le système est dans un plan vertical fixe). Déterminer la vitesse du point C ainsi que la vitesse angulaire de rotation du disque en fonction de etθ θ? C B A

ω3ω

1ω2

x Oy A C

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17. La bague extérieure du roulement à billes roule sans glisser vers

la gauche avec une vitesse de son centre O égale à v. L'axe central qui est enserré dans la bague intérieure du roulement, tourne dans le sens trigonométrique avec une vitesse angulaire

Déterminer la vitesse angulaire instantané

ω du roulement du

bas. cbaO 18.

La figure ci-dessous représente un broyeur. La roue circulaire (AB) de rayon R tourne librement autour du bras

CD en rotation autour de l'axe vertical OO' à la vitesse angulaire constante de Ω rad/s. Le disque AB roule sans

glisser sur le plan horizontal. O 4R R A C B O' D

1) Déterminer entièrement le mouvement instantané du disque (la vitesse angulaire

ω et l'accélération

angulaire ε de la roue).

2) Déterminer la vitesse et l'accélération instantanée du point du disque opposé au point de contact.

19. En 1985, John Howard établit un record de vitesse à vélo. Roulant derrière un véhicule servant à réduire la résistance de l'air, il atteint une vitesse de 152 miles à l'heure. Le mécanisme d'entraînement de la bicyclette est composé d'une roue dentée de 12cm de rayon relié à l'aide d'une chaîne à une autre roue dentée de 3cm de rayon. Cette dernière est solidaire d'une roue dentée de

10cm de rayon reliée par une deuxième chaîne à la

roue dentée de 3cm solidaire de la roue arrière. Le rayon de la roue arrière est de 23.5cm. Lorsque cet athlète roule à une vitesse de 152 miles à l'heure, quelle est la vitesse de rotation du pédalier (en tours par minutes) ?

PS : 1 mile=1.609344 km

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Caractéristique des mouvements 20.

Deux tiges AB et HE, de longueur L, sont soudées à angle droit en (milieu de AB) pour former un té. La glissière H peut coulisser sur OZ et la tige AB glisse dans le plan fixe OXY. La position du té est repérée par les angles ? et θ variables. A l'instant représenté sur la figure ci-contre, on demande :

1. de calculer le vecteur vitesse angulaire instantané du té ;

2. de calculer la vitesse des points H, A, B et

E ;

3. de discuter la nature du mouvement instantané en fonction de

θ? et ?? ; dans

chacun des cas identifiés, caractérisez entièrement celui-ci. ? θ A x H O E B X y Y Z=z

Cinématique des solides

21.
Déterminer une relation exprimant la vitesse verticale v de la voiture en fonction de θ. Le piston sort du cylindre à la vitesse u. REP

θθtancos22

22

LbLLbuv-+=

L 2bbb 22.
Le problème est plan (2-D). Le système, soumis à l'effet de la gravité, est composé de : - Un anneau de masse M, de rayon R et de centre A, qui roule sans glisser sur un sol plat. - Un disque de rayon a, de centre B, et de masse homogène m. - Une barre AB, de masse négligeable, articulée en A et autour de laquelle le disque peut tourner librement En cours de mouvement, ce disque roule sans glisser sur la piste de forme circulaire formée par l'intérieur de l'anneau. g A B Cquotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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