[PDF] PROGRAMMES OFFICIELS Classes préparatoires ECS

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- PROGRAMMES OFFICIELS Classes préparatoires ECS Mathématiques 2ème année IPESUP, la prépa de référence depuis 1974, vous présente les programmes officiels des classes préparatoires économiques et commerciales. Retrouvez les professeurs d'IPESUP lors des stages intensifs proposés pendant les vacances scolaires. Plus d'infos : www.ipesup.fr/formation/stages-intensifs-hec IPESUP - 322 557 802 RCS PARIS 18 rue du Cloître Notre-Dame 75004 PARIS www.ipesup.fr | Etablissement d'enseignement supérieur privé https://www.facebook.com/ipesup

© Ministère de l'enseignement supérieur et de la recherche, 2013

Programmes des classes

préparatoires aux Grandes Ecoles

Filière : économique et commerciale

Option : Scientifique (ECS)

Discipline : Mathématiques-

Informatique

Seconde année

Tabledesmati` eres

1Ob jectifsg´en´erauxdelaformati on3

2Comp´etencesd´evelopp´ees3

3Ar chitecturedesprogrammes4

ENSEIGNEMENTDEMATH

EMATIQUESDUTROISI

EMESEMESTR E5

I-A lg` ebrelin´eaireetbilin´eair e5

1-C ompl ´ementsd'alg`ebrelin´eaire........ ........................5

a)Ch angementdebase............ ...... ......... ... .. ... 5 b)Trace ........... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... .5 2- El´ementspropresdesendomorphi smesetdesmatricesc arr´ees,r ´eduction.........6 a)Ve cteurspropresetespacesprop res............... ..... .......6 b)Rech erched'´el´ementspropres... ...........................6 c)Propr i´et´esg´en´erales.............. ......................6 d)R´ed uctiondesendomorphismesetdesm atricescarr ´ees................6

3-Al g`e brebilin´eaire....... ............................. .. ..7

a)Pr oduitscalaire......... .................. .. ... ... ... 7 b)Espac eseuclidiens..... ............................. ... 7

II-F onc tionsr´eellesd´efiniessurR

n 8

1-I ntr oductionauxfonctionsd´efiniessurR

n ..........................8

2- Calc uldi

´erentiel................. ... ... .. ... ... ... ... ... 9 a)D´ eriv´eespartielles,gradient..... ..........................9 b)D´er iv´eedirectionnelle........ ...........................9 c)Rech erched'extremum:conditiond'or dre1......................9 III-Compl ´em entsdeprobabilit´es;couplesetn-upletsdevariablesal´eato iresr ´eelles10

1-C omp l´ementssurlesvariablesal´eatoiresr´e elles.... ........ ...........10

a)G´ en´eralit´essurlesvariablesal´eatoiresr´eell es...... ......... .......10 b)Esp´ eranceetconditionnementpourles variable sal´eatoiresdiscr`etes.........11 c)Compl ´ementsd'analyse.................. ................11 d)Compl ´ementssurlesvariablesal´eatoires`ade nsit´e.. ......... ........11 e)Compl ´ementssurlesloisusuelles........ ......... ........ ...12

2-C oupl esdevariablesal´eatoir es.... .................... ........13

a)Cas g´en´ eral;ind´ependance.......... ......................13 b)Coupl esdevariablesal´eatoir esr´ee llesdiscr`etes...... ...............13 c!Minist`eredel'enseignementsup´ erieur etdelarecherche,2013 1 c)Coupl esdevariablesal´eatoir esr´ee lles`adensit´e...... ...............14

3-n-upletsdevariablesal´eatoi resr´ eelles;g´en´eralisation despropri´et´esdel'esp´er anceetde

lavari ance............... ... .. ... ... ... ... ... ... .. ... 15

ENSEIGNEMENTDEMATH

EMATIQUESDUQUATRI

EMESEMESTRE 16

I-C omp l´ementsd'alg`ebrebilin´eaire16

1-E ndom orphismessym´etriquesd'unespaceeuclid ien,matricessym´etriques........17

2-P roj ectionorthogonale............... ................. ... ..17

3-R ´e ductiondesendomorphismesetdes matricessy m´etriques................17

II-F onc tionsr´eellesdenvariables;recherched'extr ema18

1-E xte nsiondelanotiondefonctionr´e elled envariables.............. .. ... 18

2-F onct ionsdeclasseC

2 ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... .. 18

3-R ech erched'extrema............ .......................... 19

a)D´ efinition................... .. ... ... ... ... ... ... .. 19 b)Extr emasurunensembleferm ´eborn´e. ...... ..................19 c)Condi tiond'ordre1.......... .................. .. ... ... 20 d)Exem plesderecherchesd'extre masousu necontraintequelconque.......... 20 e)Cond itiond'ordre2.......... ................. ... ... .. .21 f)Rec herched'extremasouscontrainte d'´egalit´eslin´eaires....... ......... 21

III-Prob abil it´es:convergences,estimation21

1-C onve rgencesetapproximations.......... ...... ................21

a)Con vergenceenprobabilit´e....... ...... ...................22 b)Conve rgenceenloi................. ...... ..... ... ... ..22

2-E sti mation................... ... ... ... ... .. ... ... ... .23

a)Es timationponctuelle........ .......................... .24 b)Esti mationparintervalledeconfiance ,inter valledeconfianceasymptotique.... 25

TRAVAUXPRATIQUESDEMATH

EMATIQUESAVECSCILAB26

I-Listedesexigibles26

1-S avoi r-faireetcomp´etences.......... ...... ..................26

2-Nou vel lescommandes.......... .................... ... ... .27

II-L ist edesth`emes27

1-S tati stiquesdescriptivesunivari´ees... ...........................27

2-S tati stiquesdescriptivesbivari´ees.... ...........................27

3-C haˆ ınesdeMarkov............ ...... .............. ... ... .27

c!Minist`eredel'enseignementsup´ erieu retdelarecherche,2013 2

4-F onct ionsdeplusieursvariable s.... .......................... ..28

5-S imu lationdelois.............. ...... ......... .. ... ... ... 28

6-E sti mationponctuelleetparinterv alledeconfiance............... ...... 29

1Ob jectifsg´en´erauxdelaforma tion

Lesmath´ ematiquesjouentunrˆoleimportantenscience s´economiquesete ngestion ,danslesdomain es

notammentdelafinanceoudel agestion d'ent reprise,delafinan ced emarch ´e,des sciencessociale s.

Lesprobab ilit´esetlastatistiqueintervienn entdans tousles secteursdel'´economieetdansunegran de

vari´et´edecontextes(actuari at,biol ogie,´epid´emiologie,financequ antitative,pr´evision´econom ique...)

o`ulamod´ elisati ondeph´enom`enesal´eatoires`apartirdeb asesde donn´eesestindispensable.

L'objectifdelaformationdansle sclasse spr´e paratoires´economiquese tcommerci alesn'estp asde

formerdesprofessi onnelsdes math´ematiques,maisdespersonnescapablesd' utiliserd esoutilsmath´e-

matiquesoud'encomprendre l' usagedansdivers essituationsdeleurparcoursacad´e miqueetprofes- sionnel.

Lesprogram mesd´efinissentlesobje ctifsdel'enseignementdecesclassese td´ecrive ntlesconnaissances

etlesc apacit´ese xigiblesdes´etudiants.Ils pr´ecisent´egalementcertai nspointsde terminologieet

certainesnotations.

Leslimi tesduprogrammesontclairem entpr´ ecis´ees.Ellesdoiv entˆetrer espect´eesaussibiendansle

cadredel'ense ignemen tenclassequedansl'´evaluation. Unefonc tionfondamentaledel'en seignementdesmath´ematiquesd anscesc lassesestdestructurerla pens´eedes´etudiantse tdelesform er`alarigueuret`alalogiqueeni nsist antsurl esdiverst ypesde raisonnement(par´equivalence,impl ication,l'ab surde,analyse-synth`ese...).

2Co mp´etencesd´evelopp´ees

L'enseignementdemath´ematiquesenclasses pr´epar atoires´economiquesetcommercialesviseenpar -

ticulier`ad´evelopperche zles´e tudiantslescomp´etencessuivantes : •Rechercheretmettreenoeuvredess trat´eg iesad´equates:savoiranalyserunpr obl`eme, ´emettredesconjecturesnot amment`apar tird'exemples,choisirdesconcept setdesoutilsmath´e- matiquespertinents.

•Mod´eliser:savoirconceptualis erdessituationsconcr`etes(ph´enom`enes al´eatoiresou d´eterministes)

etlest raduireenl angagemath´ematique,´elabore rdesalgor ithmes.

•Interpr´eter:ˆetreenmesured' interp r´eterdesr´esultat smath´ematiquesdansdessituationsconcr`etes,

avoirunregardc ritiqu esurcesr´esu ltats. •Raisonneretargumenter:savoirconduireune d´emonstration,confirmerou infirmerde sconjec- tures. •Maˆıtriserleformalismeetlestec hnique smath´ematiques:savoiremployerle ssymboles math´ematiques`abonescient,ˆetrecapabled emener descal culsdemani`erepertinentee te cace.

Utiliseravecdiscerneme ntl'outilinf ormatique.

•Communiquerpar´ecritetoralement:comprendreles´enonc´esmath´em atiques,sa voirr´ediger

unesolution rigoureuse,pr´esent eruneproductionmath´ematique. c!Minist`eredel'enseignementsup ´erieu retdelarecherche,2013 3

3Ar chitecturedesprogrammes

Lepr ogrammedemath´ematiques dedeu xi`emeann´eedelafili`ereECvoiescientifi queses ituedans leprolon gementdeceluidepremi`ereann´ eeetpe rmetd'enconsolid erlesac quis.Sonobjectifestde

fourniraux´etudiantsl ebagagen´ ecessairepoursuivrelesenseign ements sp´eci alis´esdemath´ematiques,

´economieetgestiondispens ´esen Grande

Ecoleouentroisi `em eann´ee deLicence`al'universit´e.

Ils'organ iseautourdequatrepointsf orts:

•Enalg`e brelin´eaire,onintrodu itlar´eductiondesendormorphis mes etdesmatricescarr´eesainsique

lesstruct ureseuclidiennes.Cesnotionsd'alg `ebrelin´eairetrouverontdesapplicationsenanal yselors

del'opt imisationdesfonctionsdeplusieursvariab les,maisau ssienprobabilit´es(´etu desde chaˆınes

deMarko v)etenanalysededonn´ ees(st atistiq uesdescriptive sbivari ´ees).

•Enanaly se,oncompl`etel'´etu ded esint´egralesg´en´eralis´e esd´ebut´eeenpremi`erean n´eedecl asse

pr´eparatoireetonintroduitlesfonct ionsdep lus ieursvariablesd´efiniessurR n ainsiquelanot ion degradi ent.Auquatri`emesemest re, onpoursuitcette´etudedanslebu tder´esoudredesprobl`emes d'optimisationavecousanscontraintes,cr uciauxen´econom iee tenfinance .

•Enprobab ilit´es,l'´etudedesvariablesal´eatoiresd iscr`etes,initi´eeaulyc´ eeetpoursu ivieenpremi`ere

ann´ee,seprolongeautrois i`emes emestreparl'´et ude descouplesetdessuitesdevariab lesal´eatoires

discr`etes;auquatri`emesemestre,le snot ionssurlesvariablesal´eatoires`a densit´e,abord´eesd`esla

premi`ereann´ee,sontcompl´et´ ees.L'ensembledesn otionsserap r´esent´eenlienaveclasimulation

informatiquedesph´enom`enesal´eatoi res.Undesob jectifsestdepermettre,enfindeformat ion, uneapproch eplusrigoureuse(etunec ompr´ehensionp lusaboutie)desm´ethodesde l'estimat ion ponctuelleouparintervallesdecon fianc e. •Lestra vauxpratiquesdemath´e matiquesavecScilabsontorganis ´esaut ourdesixth`emesfaisant intervenirdiverspointsduprogramme demath´ematiques.L'obj ectifestd'appre ndreaux ´etudiants `autil iserScilabdemani`erejudic ieuseetautonomeain siqued eleurpermettred'illu streroude mod´eliserdessituationsconcr`ete senmobilis antleursconnaissancesmath´em atiques.Lessavoir-

faireetcomp´e tences queles´etudiantsdoiventacqu´erirlors decess´e ancesdetra vauxpratiques

sontsp´ec ifi´esdanslalistedesexigiblesetr appel´esen pr´eamb uledechaqueth`e me.Lesnouve lles

notionsmath´ematiq uesintroduitesdanscertainsth`emesnefon tpaspartiedesexigiblesdupro-

gramme.L'enseigneme ntdecestravauxpratiquessed´eroulerasu rlescr ´eneauxhorai resd´edi´es`a

l'informatique. Aufu ret`amesu redela progres sion,onaura`acoeurdeme ttree nvaleur l'interactionentrelesdi

´e-

rentespartiesduprogram me. Lepr ogrammedemath´ematique sestorgan is´eendeuxsemestres.Ced´ecoupageendeux semestre s d'enseignementdoitˆetrerespect´e.Enrevanc he,ausein dechaquesemestre ,aucunordreparticulier n'estimpos´eetch aqueprofesseurcondui tentout elibert´el'organi sationdesonenseignement,bien quelapr´e sentati onparblocssoitfortementd´econseill´ee . Lepr ogrammesepr´esentede lamani` eresuivante:danslacolonnedegauch efiguren tlescon tenus exigiblesdes´etudiants;la colonnededr oitecomportedespr´ecisionssurcesc ontenus oudesexemples d'activit´esoud'applications.

Lesd´e veloppementsformelsoutropth´eoriquesdoiventˆetr e´evit´es.Ilsnecor res pondentpasau coeur

deformat iondecesclassespr´e paratoire s. c!Minist`eredel'enseignementsup´ erieu retdelarecherche,2013 4

Lesr´es ultatsmentionn´esdansleprogramme serontadmisoud´emontr´esselonlesc hoixdidacti ques

faitsparleprofe sseur. Pource rtainsr´esultats,marqu´escomme"admis»,la pr´ese ntationd'uned´e-

monstrationenclasseestd´econ seill´ ee.

Less´ean cesdetravauxdirig´esp ermet tentdeprivil´egierl apriseenmain,puislamisee noeuvrepar

les´etud iants,destechniquesusuellesetb iend´elim it´ees,inscritesdanslecorpsdupr ogramme.Cette

maˆıtrises'acquiertnotammentp arl'´etudedeprobl`emesqueles ´etudiantsdoiventinfin eˆetrecapables

der´es oudrepareux-mˆemes. Lelogi cielScilabcomportede nombreusesfonction nalit´espermettantd 'illus trersimplementcertaines

notionsmath´ematiqu es.Ainsi,onutiliserad`esquepossiblel'outi linformatiqueencou rs demath´ema-

tiquespourvisualiser etillust rerlesnotions´etudi´ees.

ENSEIGNEMENTDEMATH

EMATIQUESDUTROISI

EMESEMESTR E

I-Alg`ebrelin´eaireetbil in´eaire

Danstoutce chapitreKd´esigneraRouC.

1-C ompl ´ementsd'alg`ebrelin´eaire

a)C hangementdebase

Matriced'unendomorphi smedansunebas e.Rappels.

MatricedepassagedeBversB

.Notat ionP B,B P "1 B ,B =P B,B

Formulesdechangementdebas e.X

B =P B,B !X B Mat B !(f)=P "1 B,B Mat B (f)P B,B Matricessemblables.Deuxmatrices AetBcarr´eessontsemblables s'ilexisteu nematriceinversibl ePtelleque B=P "1 AP.

AetBpeuventˆetreinterpr´ et´eescommeles

matricesd'unmˆemeendomor phismedansde s basesdi

´erentes.

D´efinitiond'unsous-espacestabl eparunendo-

morphisme. Seulelad´efiniti onestex igibledes´etudiants. b)Trace Latr aced'unematri cecarr´eeestintr oduiteuniquementc ommeoutilsimpleete caceenvued ela

recherchedevaleurspropres.Tou td´ev eloppementth´eorique estexclu.Aucunautrer´e sultatconc ernant

latrace n'estauprogramme .

Traced'unematr icecarr´ee.

Lin´earit´edelatrace.

NotationTr(A).

Invariancedelatraceparchangem entdeb ase.Tr( A)=Tr(P "1 AP). c!Minist`eredel'enseignementsup´ erieur etdelarecherche,2013 5 2- El´ementspropresdesendomorph ismesetdesmatricesc arr´ees, r´eduction

Lesespac esvectorielsconsid´ er´esdanscechapitresontd´efini ssurK.D anstoutecet tepartie,fd´esignera

unendom orphismed'unespacevectorielEdedime nsionfinie,etAunematrice carr´ee. a)Ve cteurspropresetespacesprop res

Valeurspropres,vecte urspropres,sous-espaces

propresd'unendomorphi smedeEetd'u nema- tricecarr´ee.

Valeurspropresdesmat ricestriangulaires.

Spectred'unendomorphism eetd'unematr ice

carr´ee.

NotationsSp(f)etSp(A).

SiQestunpoly nˆome,ob tentiond'´el´ements propresdeQ(f)` apartir d'´el´ementsprop res def.

Sif(x)=!xalorsQ(f)(x)=Q(!)x.

SiAX=!XalorsQ(A)X=Q(!)X.

b)Rech erched'´el´ementspropres

Polynˆomesannulateursd'unen domorphisme,

d'unematricecarr ´ee.

Exemplesdeshomoth´eties,d esproject eurset

dessym´e tries.

SiQestunpolyn ˆomeannu lateurdef(respec-

tivementA)et!unevaleur propredef(res- pectivementA),alors!estracine deQ.

Toutendomorp hismed'unespacededimension

finieadmetaumoi nsunpolynˆomean nul ateur nonnul.

Toutematricec arr´eeadmetaumoinsunpol y-

nˆomeannulateur nonnul.

Aucuneautreconnaiss ancesurlespol ynˆomes

annulateursnefigureauprogramme. c)Propr i´et´esg´en´erales

Unen domorphismed'unespacededimension

finieadmetunnom brefinidevale ursprop reset sessous-e spacespropressontensommedirecte. !#Sp(f) dimker(f"!Id E )!dim(E).

Uneconcat ´enationdefamilleslibresdesous-

espacespropresassoci ´es`adesvaleursprop res distinctesformeunefamillelibre deE.

Enpart iculier,unefamilledevecteurspropre s

associ´es`adesvaleurspropre sdist inctesest une famillelibre.

Unen domorphismed'unespacevectorieldedi-

mensionnaaup lus nvaleurspropres. d)R´ed uctiondesendomorphismesetdes matricesca rr´ees festdiagonalis ablesietseulements'ilexiste unebaseBdeEcompos´eedevecteursprop res def. Mat B (f)es talorsunem atricediagonal e. sables`al'aidede sdimen sionsdessous-esp aces propres. festdiagonalis ablesietseulementsi !#Sp(f) dimker(f"!Id E )=dim(E). c!Minist`eredel'enseignementsup´ erieur etdelarecherche,2013 6 festdiagonalis ablesietseulementsiEest sommedirected essous-espacespropresde f.

Sidi m(E)=n,tou tendomorph ismedeEad-

mettantnvaleurspropresdistin ctesestdiago- nalisableetlessous-espace spropr essonttous dedim ension1.

Matricesdiagonalisables,diagon alisationd'une

matricecarr´ee. Interpr´etationmatricielledesr´esultatspr´ ec´e- dents.

Aestdiagonalis ablesietseulements'ilexiste

unematric ePinversibletellequeP "1 AP estunematr icediagonale. LescolonnesdeP formentunebasedeM n,1 (R)con stitu´eedevec- teurspropresdeA.quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20

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