LES VECTEURS
A l'origine des vecteurs un italien
VECTEURS 1) EGALITE VECTORIELLE 2) ADDITION ET
1) EGALITE VECTORIELLE. A) DIRECTION - SENS. Si deux droites sont parallèles on v deux vecteurs .On appelle vecteur somme de. → u et. → v le vecteur ...
Les vecteurs
La propriété géométrique I est le milieu du segment [AB] et l'égalité vectorielle AI= IB sont donc équivalentes. 3- Vecteurs et parallélogrammes. Considérons
Seconde Exercices sur les vecteurs Page 1 Définition égalité de
Exercice 5 : Soit un triangle tel que = 5 = 6 et = 3 . 1) a) Construire le point tel que = . b) Déterminer l'image de par la translation de vecteur .
I Définition II Égalité de vecteurs III Opposé dun vecteur
Seconde. Vecteurs. 2011-2012. Propriétés dans un repère (O;. −→ i ;. −→ j ) : • Deux vecteurs sont égaux si etseulement si ils ont les mêmes coordonnées.
Partie 1 : Notion de vecteur
Définition : Des vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont même direction même sens et même Remarques : • L'égalité précédente porte le nom de relation de Chasles.
Chapitre 8 : Vecteurs
Retrouver votre résultat par le calcul. Méthode - Déterminer les coordonnées d'un point à l'aide d'une égalité vectorielle Vecteurs-cours. Seconde. Méthode - ...
1 Activités 2 Égalité de vecteurs
C. B. Page 4 sur 10. Page 5. 6 Exercices. Vecteurs et repérage. Seconde. EXERCICE 3. Sommes. Dans chacun des cas suivants construire en couleur le vecteur w
VECTEURS ET REPÉRAGE
?== 13. −14 ? Méthode : Calculer les coordonnées d'un point défini par une égalité vectorielle. Vidéo https://youtu.be/eQsMZTcniuY.
Les vecteurs
l'égalité de vecteurs est AB= . DC et non AB= . CD . Remarque. Le parallélogramme ABCD peut aussi être nommé BCDA CDAB
VECTEURS 1) EGALITE VECTORIELLE 2) ADDITION ET
VECTEURS. 1) EGALITE VECTORIELLE. A) DIRECTION - SENS. Si deux droites sont parallèles Deux points distincts A et B définissent deux vecteurs notés.
TRANSLATION ET VECTEURS
Vecteurs. 1. Définition : Définition : Soit t la translation qui envoie A sur A' Egalité de vecteurs ... D'après la relation de Chasles
I Translation et égalité vectorielle.
Cette relation permet de transformer un vecteur en une somme de vecteurs et vice-versa. Elle est très utile pour le calcul vectoriel. Exercice d'application :
1 Activités 2 Égalité de vecteurs
C. B. Page 4 sur 10. Page 5. 6 Exercices. Vecteurs et repérage. Seconde. EXERCICE 3. Sommes. Dans chacun des cas suivants construire en couleur le vecteur w
Seconde Exercices sur les vecteurs Page 1 Définition égalité de
Exercice 5 : Soit un triangle tel que = 5 = 6 et = 3 . 1) a) Construire le point tel que = . b) Déterminer l'image de par la translation de vecteur .
I Définition II Égalité de vecteurs III Opposé dun vecteur
Seconde. Vecteurs. 2011-2012. I Définition. Définition 1. ® Un point C est l'image d'un point D par la translation qui transforme A en B lorsque le.
VECTEURS ET REPÉRAGE
Méthode : Déterminer les coordonnées d'un vecteur par lecture graphique Méthode : Calculer les coordonnées d'un point défini par une égalité vectorielle.
Vecteurs et coordonnées
Un vecteur est un objet mathématique qui est caractérisé par 3 informations Chaque façon de le nommer fournit une nouvelle égalité vectorielle; on a.
Partie 1 : Notion de vecteur
La flèche qui définit la translation s'appelle un vecteur. Un vecteur est défini selon : L'égalité précédente porte le nom de relation de Chasles.
Les vecteurs en seconde - Mon Cours de Math
Les vecteurs en seconde I/ Vecteurs Définition: deux vecteurs sont égaux s’ils ont même longueur même direction et même sens Remarque: un vecteur représente un déplacement Définition: ABCD est un parallélogramme si et seulement si A B o = D C o Ex: ABCD et ABFE sont des parallélogrammes montrer que DCFE est un parallélogramme
CALCUL VECTORIEL - FEMTO
Vecteurs-cours Seconde III Représentants d’un même vecteur et vecteur nul Étant donné deux points A et B on peut construire une infinité de parallélogrammes dont un côté est le segment [AB] On obtient ainsi une infinité de vecteurs égaux à ?AB
MATHEMATIQUES Les vecteurs (entraînement 2 (corrigé))
L’égalité ?? AF = 1 2 ?? AE prouve que le point F est le milieu de [AE] Autre méthode pour prouver que F est le mi-lieu de [AE] : Dans le triangle ABE I est le milieu de [AB] et (IF) est parallèle à (BC) d’après le théo-rème de la droite des milieux F est le milieu de [AE] F est le milieu de [AE] 6 • Les coordonnées
Géométrie vectorielle - Free
un vecteur est dé?nit par la donnée de : sa direction son sens et sa longueur pour reconnaître : directions sens longueurs deux vecteurs colinéaires parallèles deux vecteurs opposés parallèles opposés égales deux vecteurs égaux parallèles identiques égales
Seconde Géométrie vectorielle Notion de vecteurs
Notion de vecteurs – coordonnées de vecteurs 2 Vecteurs particuliers : • Le vecteur nul ? 0 : pour tout point M ? MM = ? 0 • Le vecteur opposé à ? AB est le vecteur qui a la même direction la même longueur que ? AB mais un sens opposé C’est donc le vecteur ? BA On note : ? BA = - ? AB Propriété :
Translation-égalité de vecteurs - lycee-corot-morestelfr
Ces vecteurs sont égaux si et seulement si et On en déduit que M (0 ; 3) c On contrôle graphiquement ce résultat : Exercice 11 On appelle (x ; y) les coordonnées de M Alors et donc On en déduit que et d’où M (2 ; 1) Autre méthode L’égalité vectorielle donnée traduit le fait que M est le milieu de [AB] donc M (
Seconde Exercices sur les vecteurs Page 1 - Rosamaths
Seconde Exercices sur les vecteurs Page 1 Définition égalité de vecteurs ----- Exercice 1: A vue d’œil dire s’il existe une translation qui transforme la figure (1) en la figure (2) Exercice 2 :
VECTEURS 1) EGALITE VECTORIELLE
VECTEURS 1) EGALITE VECTORIELLE A) DIRECTION - SENS Si deux droites sont parallèles on dit qu'elles ont même direction ( Deux droites sécantes n'ont pas la même direction ) Soit A et B deux points distincts Il y a deux sens de parcours sur la droite (AB) : de A vers B ou de B vers A B) VECTEURS 1) Définition
Seconde - Déterminants de deux vecteurs Vecteurs colinéaires
Deux vecteurs non nuls ?? et ? sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel ???? tel que ?? = ???? ?? Le vecteur nul ?? est colinéaire à tous les vecteurs Exemples : Soit (O ? ?) un repère du plan Soit (O ? ?) un repère du plan Les vecteurs ?et ont pour coordonnées respectives dans
COURS SUR LES VECTEURS (S ) COURS (1/3)
- Quand les deux vecteurs sont représentés par des flèches dont l’extrémité de l’une est l’origine de l’autre on utilise la Relation de Chasles: AB + BC = AC Cette égalité permet de transformer une somme de deux vecteurs en un seul vecteur et réciproquement b Soustraction de deux vecteurs : Soustraire un vecteur revient à
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III Colinéarité de deux vecteurs a) vecteurs colinéaires Définition : Dire que deux vecteurs non nuls ?u = AB et ?v = CD sont colinéaires signifie qu’ils ont la même direction Cela signifie que les droites (AB) et (CD) sont parallèles ou confondues
Est-ce que deux vecteurs sont égaux ?
- Deux vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont même direction, même sens et même norme. Autrement dit on est libre de déplacer un vecteur tant qu'on ne change ni son orientation ni sa norme. La somme de deux vecteurs ?A et ?B est un vecteur (notons le ?C ).
Comment traduire l’égalité de deux vecteurs ?
- a. Pour traduire ? ?1? """! """! """! """! l’égalité de deux vecteurs, on Les""" vecteurs CE et AD ont donc les mêmes coordonnées, ainsi CE = AD . écrit que leurs coordonnées ! """! sont égales. b. CE = AD donc le quadrilatère ADEC est un parallélogramme.
Quels sont les caractéristiques d'un vecteur?
- Un vecteur est caractérisé par : ( voir applet geogebra ) Sa direction. Son sens. Sa norme. Deux vecteurs sont égaux si ils ont la même direction, le même sens, la même norme. Deux vecteurs peuvent ne pas avoir la même direction et la même norme ( et dans ce cas inutile de parler de sens ) ( De tels vecteurs ne sont pas colinéaires )
Quelle est l’égalité des veecteeurs ?
- """! L’égalité des vececteeurs "AB """! et t CD ignifie qu signifi que D est l’image de C par la S translati ation de vectteur ur AB B. Dééfin nition """! """! Exemple Deux veecteeurs AB et CD sont égaux si et seulement si le q?rilatère l ère AABDC DC est un parallélogramme (éventuellement aplati). G Remarques ques """! """!
1 sur 17 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr TRANSLATION ET VECTEURS Activités de groupe : La Translation (Partie1) : http://www.maths-et-tiques.fr/telech/trans_gr1.pdf La Translation (Partie2) : http://www.maths-et-tiques.fr/telech/trans_gr2.pdf Activité conseillée Activité conseillée p150 activité1 : Attention, ça glisse ! p148 activité1 : Attention, ça glisse ! ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014 I. Translation Exemple : B 80m Une translation est un glissement : A - avec une direction donnée : câble du téléphérique, la droite (AB), - avec un sens donné : le téléphérique monte de A vers B, - avec une longueur donnée : 80m, longueur AB On dit que : Le téléphérique T' est l'image du téléphérique T par la translation qui transforme A en B. Définition : Soit P et P' deux points distincts du plan. On appelle translation qui envoie P sur P' la transformation dont l'image F' d'une figure F est obtenue en faisant glisser la figure F : - selon la direction de la droite (PP'), - dans le sens de P vers P', - d'une longueur égale à PP'. T ' T P P' F F'
2 sur 17 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Méthode : Construire l'image d'une figure par une translation Vidéo https://youtu.be/8Jb9cMOeYSk Soit t la translation qui transforme A en A'. Construire l'image B'C'D'E' du trapèze BCDE par la translation t. Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir p171 n°1 à 3 p171 n°4 p166 n°1 à 4 p166 n°5 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014 II. Vecteurs 1. Définition : Définition : Soit t la translation qui envoie A sur A', B sur B' et C sur C'. Les couples de points (A ; A'), (B ; B') et (C ; C') définissent un vecteur caractérisé par : - une direction : celle de la droite (AA'), - un sens : de A vers A', - une longueur : la longueur AA'.
3 sur 17 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr On note
u ce vecteur et on écrit : u AA' . On dit que AA' est un représentant de u BB' et CC' sont également des représentants de u. Remarque : La longueur d'un vecteur est aussi appelée la norme du vecteur. " vecteur » vient du latin " vehere » (conduire, transporter) Le mot a été introduit en 1925 et la notation
ABen 1920. A l'origine des vecteurs, un italien, Giusto Bellavitis (1803-1880) qui les désignait comme segments équipollents. Activités de groupe : http://www.maths-et-tiques.fr/telech/Act_vect.pdf TP info : Bonhommes et dromadaires : http://www.maths-et-tiques.fr/telech/bonhom.pdf http://www.maths-et-tiques.fr/telech/droma.pdf 2. Egalité de vecteurs Définition : Les vecteurs
AB et CD sont égaux lorsqu'ils ont même direction, même sens et même longueur. On note AB CD . Exemple : Ci-dessous, on peut poser : u AB CD AB et CD sont des représentants du vecteur u . C C' B B' A A' A C D B AB CD u4 sur 17 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Propriété du parallélogramme : Soit A, B, C et D quatre points deux à deux distincts. Dire que les vecteurs
AB et CDsont égaux revient à dire que le quadrilatère ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati. Démonstration : - Si
AB CD , la translation de vecteur ABtransforme le point C en D. Les segments [AB] et [CD] ont donc même longueur et même direction. Le quadrilatère non croisé ABDC est donc un parallélogramme éventuellement aplati. - Réciproquement : Les côtés opposés d'un parallélogramme sont parallèles et de même longueur donc les vecteurs
AB et CD, définis à l'aide des segments [AB] et [CD] d'un parallélogramme ABDC, sont égaux. Méthode : Construire un point défini à partir de vecteurs Vidéo https://youtu.be/zcQPz4dfnn0 A partir du parallélogramme ABCD, construire les points E, F, G et H tels que :
DE BC CF DC BG AB HA BCExercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir -p171 n°5, 6 Ex 1 et 2 (page15) -p177 n°77 Ex 4 à 6 (page15) Ex 3 (page15) -p166 n°5 Ex 1 et 2 (page15) -p170 n°58 Ex 4 à 6 (page15) Ex 3 (page15) ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014 B A D C D C B A H A G B D C F E A D B C
5 sur 17 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Propriété du milieu : Dire que B est le milieu du segment [AC] revient à dire que
AB et BC sont égaux. 3. Vecteur nul Définition : Un vecteur AB est nul lorsque les points A et B sont confondus. On note : AB 0 . Remarque : Pour tout point M, on a : MM 0. 4. Vecteurs opposés Il ne faut pas confondre sens et direction ! Une droite définit une direction, ci-dessous la direction de la droite (AB). Cependant une direction possède deux sens, ici de " A vers B » ou de " B vers A ». Définition : Deux vecteurs sont opposés lorsqu'ils ont la même direction, la même longueur et qu'ils sont de sens contraire.
AB et BA sont des vecteurs opposés. On note BA ABExercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir p172 n°8 et 9 p171 n°7 p178 n°90 p178 n°87 p173 n°67, 68 p176 n°111* p176 n°108 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014 A B C B A
AB BC A B AB BA6 sur 17 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr III. Somme de vecteurs 1. Définition Exemple : Soit t1 la translation de vecteur
u et t2 est la translation de vecteur v. Appliquer la translation t1 puis la translation t2 : t1 t2 M M1 M2 revient à appliquer la translation t de vecteur
w: t M M2 Propriété : La composée (ou l'enchaînement) de deux translations est une translation. Définition :
u et v sont deux vecteurs quelconques. On appelle somme des vecteurs u et v , notée u v , le vecteur w associé à la translation composée des translations de vecteurs u et v. 2. Une relation fondamentale La relation de Chasles : Pour tous points A, B et C du plan, on a :
AC AB BC . Remarque : Dans le triangle ABC, on a également les relations : AB AC CB BC BA AC AB AC BCA C B
7 sur 17 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Michel Chasles (Fr, 1793-1880) : La relation n'est pas de lui, mais nommée ainsi en hommage à ses travaux sur les vecteurs. Homme naïf, on raconte qu'il fut ruiné en achetant de fausses lettres (Jeanne d'arc à sa mère, Vercingétorix à César,...) ! Méthode : Appliquer la relation de Chasles Vidéo https://youtu.be/fbVrdYiY0qc Simplifier les écritures : a)
AM MN b) MP AM c) OP KO NK d) MN NM e) MO PM OP f) KN ON OK a) AM MN b) MP AM c) OP KO NK AN AM MP KO OP NK AP KP NK NK KP NP d) MN NM e) MO PM OP f) KN ON OK MM MO OP PM KN NO OK 0 MP PM KO OK MM 0 KK 0Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir Ex 7 à 9 (page15 et 16) p172 n°21 p172 n°20 p167 n°18, 19, 21 p173 n°77 p174 n°79, 80 p167 n°20 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014 TP conseillé TP conseillé TP Tice2 p163 : Démontrer avec les vecteurs TP Tice3 p163 : Somme nulle p162 TP5 : Démontrer avec les vecteurs p163 TP6 : Somme nulle ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014 3. Conséquence : Propriété caractéristique du parallélogramme : Dire que ABCD est un parallélogramme revient à dire que
AC AB AD , B A C D8 sur 17 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Démonstration : D'après la relation de Chasles, l'égalité
AC AB AD peut s'écrire : AD +DC =AB +AD soit DC =AB , soit encore : ABCD est un parallélogramme. 4. Différence de deux vecteurs Définition : u et v sont deux vecteurs quelconques. On appelle différence du vecteur u avec le vecteur v , le vecteur noté u v , tel que : u v u v). Méthode : Construire un point défini à partir d'une somme de vecteurs Vidéo https://youtu.be/nzABUzFM6p8 Soit un triangle ABC. Construire le point F tel que
AF BA BCOn construit à partir de A (origine de
AF ) le vecteur BA BC en mettant " bout à bout » les vecteurs BA et BC . On a ainsi construit un vecteur AF et donc le point F. C F A B BA AF BC C A B9 sur 17 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Activité de groupe : Course d'orientation http://www.maths-et-tiques.fr/telech/Course_vect.pdf Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir Ex 10 à 12 (page16) p166 n°9 p167 n°13 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014 IV. Produit d'un vecteur par un réel 1. Définition Exemple : Soit
u un vecteur du plan. Appliquer 5 fois la translation de vecteur u revient à appliquer la translation de vecteur w u u u u u = 5 uRemarques : - Les vecteurs 5
u et u ont la même direction et le même sens. - La norme du vecteur 5 u est égale à 5 fois la norme du vecteur u . Définition : u est un vecteur quelconque différent de 0 et k un nombre réel non nul. On appelle produit du vecteur u par le réel k, le vecteur noté k u : - de même direction que u , - de même sens que u si k > 0 et de sens contraire si k < 0, - de norme égale à : k fois la norme de u si k > 0, -k fois norme de u si k < 0. Remarque : Si u 0 ou k = 0 alors k u 0 . u ku ku k > 0 : k < 0 :10 sur 17 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Exemples : Les vecteurs
u , 1,5 u et -3 u ont la même direction. u et 1,5 u sont de même sens. u et -3 u sont de sens contraire. La norme du vecteur 1,5 u est égale à 1,5 fois la norme dequotesdbs_dbs1.pdfusesText_1[PDF] égalité des variances définition
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