[PDF] Topologie analyse et calcul différentiel

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Topologie, analyse et calcul différentiel

Frédéric Paulin

Version préliminaire

Cours de troisième année de licence

École Normale Supérieure

Année 2008-2009

1

Table des matières1 Vocabulaire7

1.1 Le corps ordonné des nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 7

1.2 Espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 9

1.3 Espaces métriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

Topologie définie par une famille de pseudo-distances . . . . .. . . . . . . 18

1.4 Topologie engendrée et base d"ouverts . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 25

Topologie de l"ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.5 Voisinages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.6 Intérieur, adhérence, frontière . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 30

1.7 Séparation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.8 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.9 Connexité et connexité par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 38

1.10 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 39

2 Constructions de topologies43

2.1 Comparaison de topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 43

2.2 Topologie initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 44

Topologie image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Topologie définie par une famille de pseudo-distances . . . . .. . . . . . . 45 Topologie définie par une famille de semi-normes . . . . . . . . . .. . . . 45 Topologie étroite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3 Sous-espace topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 48

Parties connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.4 Topologie produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54

Topologie limite projective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59

2.5 Topologie finale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

Topologie somme disjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Topologie faible définie par une famille de sous-espaces . . .. . . . . . . . 61 Topologie de Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.6 Topologie quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 67

Distance quotient d"une pseudo-distance . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 70 Constructions topologiques par quotients . . . . . . . . . . . . . .. . . . 71 Topologie limite inductive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73

2.7 Groupes et corps topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 74

Groupes topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Les groupes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Anneaux et corps topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Corps valués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.8 Espaces vectoriels topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 80

Espaces vectoriels normés sur un corps valué . . . . . . . . . . . . .. . . 82 Espaces vectoriels topologiques localement convexes . . . .. . . . . . . . 83 Continuité des applications multilinéaires . . . . . . . . . . . .. . . . . . 86 Topologie faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Topologie faible-étoile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90

2.9 Espace quotient d"une action de groupe . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 92

2

2.10 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 96

3 Limites et valeurs d"adhérence100

3.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Propriétés des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102

3.2 Comparaison asymptotique : notation de Landau . . . . . . . .. . . . . . . 107

3.3 Valeurs d"adhérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 108

3.4 Complétude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Espaces complets, de Banach, de Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . .112 Théorème du point fixe de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

3.5 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 119

4 Compacité121

4.1 Espace compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.2 Compacité et valeurs d"adhérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 122

4.3 Compacité et produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 125

4.4 Compacité et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 126

4.5 Espaces localement compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 129

Applications propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 L"espace des bouts d"un espace localement compact . . . . . . . .. . . . . . 132

4.6 Théorèmes de point fixe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 136

4.7 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 137

5 Topologie fonctionnelle138

5.1 Topologie de la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 138

Exemples d"espaces fonctionnels complets . . . . . . . . . . . . . .. . . . 143 Relation avec la convergence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 145

5.2 Topologie compacte-ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 146

5.3 Continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 149

Complété d"un espace métrique. Corps valués complets . . . . .. . . . . . 154

5.4 Semi-continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 158

Limites supérieures et inférieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 158 Semi-continuité inférieure et supérieure . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 161

5.5 Théorème d"Arzela-Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 164

5.6 Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

5.7 Théorie de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

5.8 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 178

6 Analyse fonctionnelle179

6.1 Espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

Rappels et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Théorèmes de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Résultats de compacités pour topologies affaiblies . . . . . . .. . . . . . . 191 Applications de la théorie de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .196

6.2 Espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .199

Rappels sur les espaces préhilbertiens et définitions . . . . .. . . . . . . . 199 Projection sur un convexe fermé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 3 Autodualité des espaces de Hilbert réels . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 205 Théorèmes de Lax-Milgram et de Stampachia . . . . . . . . . . . . . . .. 207 Bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

6.3 Théorie spectrale des opérateurs auto-adjoints bornés. . . . . . . . . . . . . 213

Spectre des opérateurs bornés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .213 Opérateurs compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 Opérateurs auto-adjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 Spectre des opérateurs auto-adjoints compacts . . . . . . . . . .. . . . . 224 Résolution spectrale des opérateurs auto-adjoints . . . . . .. . . . . . . . 225

6.4 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 227

7 Calcul différentiel banachique230

7.1 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

Propriétés élémentaires des différentielles . . . . . . . . . . . .. . . . . . 232

7.2 Théorème des accroissements finis et applications . . . . .. . . . . . . . . . 236

7.3 Différentielles partielles et d"ordre supérieur . . . . . .. . . . . . . . . . . . 239

Différentielles partielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 239 Différentielles d"ordre supérieur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 242 Applications analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .246 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

7.4 Inversion locale et équations implicites . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 250

7.5 Théorie de Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 255

Existence locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 Solutions approchées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 Unicité locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 Explosion des solutions maximales en temps fini . . . . . . . . . . .. . . 262 Cas des équations différentielles linéaires . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 263 Régularité des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 Propriété de la résolvante dans le cas linéaire . . . . . . . . . . .. . . . . 266 Dépendance régulière des conditions initiales et des paramètres . . . . . . 268 Des équations différentielles d"ordrepà celles du premier ordre . . . . . . 271

7.6 Équations différentielles autonomes et champs de vecteurs . . . . . . . . . . 272

7.7 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 276

8 Exercices de révision277

8.1 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

Chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 Chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 Chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 Chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 Chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 Chapitre 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 Chapitre 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

8.2 Indications de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 293

Index314

4

Bibliographie321

1

1. Je remercie les élèves de la promotion 2007, en particulier Olivier Begassat, Igor Kortchemski et

Arthur Leclaire, et les élèves de la promotion 2008, en particulier Nicolas Dreyfus, David Gontier et

Arthur Milchior, pour leurs nombreuses corrections sur lespremières versions de ce texte, en espérant que

ceux des promotion suivantes aideront encore à le peaufiner! 5 6 Dans ces notes, nous supposons connues les notions d"espaces vectoriels normés réels ou complexes (et leurs distance et topologie associées) contenues dans le programme du cours de Mathématiques Spéciales MP*. Nous reviendrons plus longuement sur les espaces vectoriels normés dans le paragraphe 2.8 et le chapitre 6. Les preuves qui ne sont pas

données ci-dessous sont les mêmes que dans le cas particulier des espaces vectoriels normés,

ou sont laissées en exercice. La consultation de livres de contre-exemples [GO, Ste, Kha] est souvent profitable (surtout pour le premier).

1 Vocabulaire

Les références recommandées sont [Bou1, Dix, Dug].

1.1 Le corps ordonné des nombres réels

On ne ferait pas grand chose en analyse sans le corps ordonnéRdes nombres réels. Disons quelques mots sur cet objet en préambule. SoitEun ensemble. Rappelons qu"unordre(ouordre partiel) surEest une relation? qui est réflexive (?x?E, x?x), antisymétrique (?x,y?E, six?yety?x, alors x=y) et transitive (?x,y,z?E, six?yety?z, alorsx?z). On notex?ysix?y etx?=y,x?ysiy?x, etx?ysix?yetx?=y. Unensemble ordonnéest un ensemble muni d"un ordre. Si(E,?)et(F,?)sont deux ensembles ordonnés, une application deEdansFpréserve l"ordresif(x)?f(y)pour tousx?y. Si une bijection préserve l"ordre, alors son inverse aussi. Exemples.L"inclusion est un ordre (partiel) sur l"ensembleP(E)des parties deE, et sera souvent sous-entendu. Si?est un ordre surE, alors la relation??définie parx??ysi et seulement siy?xest encore un ordre, appelé l"ordre inversede?. Si(E,?)et(F,?) sont deux ensembles ordonnés, alors la relation?sur l"ensemble produitE×F, définie par (x,y)?(x?,y?)??(x?x?ou (x=x?ety?y?)) est une relation d"ordre surE×F, appelé l"ordre lexicographique. Sif:E→Fest une application, alors les applications image d"une partieA?→f(A)et image réciproque d"une partieB?→f-1(B)préservent l"ordre, respectivement deP(E)dansP(F)et deP(F) dansP(E). SoientEun ensemble ordonné etAune partie deE. Un élémentxdeEest unmajorant deAsi ?y?A y?x .

Un élémentxdeEest unminorantdeAsi

?y?A y?x . Laborne supérieure(resp.inférieure) deAest (lorsqu"il existe) le plus petit majorant (resp. le plus grand minorant) deA(il est alors unique), notésupA(resp.infA). Par exemple,s?Eest la borne supérieure deAsi et seulement si ?x?A, x?set?s??E,(?x?A, x?s?)?s?s?. 7 Si(xi)i?Iest une famille d"éléments deE, on notesupi?Ixi= sup{xi:i?I}(resp. inf i?Ixi= inf{xi:i?I}), lorsqu"ils existent. Pour tousx,ydans un ensemble ordonné(E,?), on note [x,y] ={z?E:x?z?y}, ]x,y] ={z?E:x?z?y}, [x,y[ ={z?E:x?z?y}, ]x,y[ ={z?E:x?z?y}, [x,+∞[ ={z?E:x?z}, ]x,+∞[ ={z?E:x?z}, ]- ∞,x] ={z?E:x?z}, ]- ∞,x[ ={z?E:x?z}, que l"on appelle lesintervallesdeE. Les premiers, cinquièmes et septièmes sont lesinter- valles fermés. Les quatrièmes, sixièmes et huitièmes sont lesintervalles ouverts. Unordre totalsurEest un ordre?tel que pour tousx,ydansE, on aitx?youy?x. On notemin{x,y}=xetmax{x,y}=ysix?y, etmin{x,y}=yetmax{x,y}=x siy?x. Un ensemble muni d"un ordre total est unensemble totalement ordonné. Par exemple, l"ordre lexicographique sur le produit de deux ensembles totalement ordonnés est un ordre total. Uncorps (totalement) ordonnéest un corps (commutatif)Kmuni d"un ordre total? tel que, pour tousx,y,zdansK, six?y, alorsx+z?y+z(propriété de compatibi- lité de l"ordre avec la structure de groupe additif, aussi appelée invariance de l"ordre par translations) et six?yet0?z, alorsxz?yz(propriété de compatibilité de l"ordre avec la multiplication, aussi appelée invariance de l"ordre parmultiplication par un élément positif). Unisomorphisme de corps ordonnésest un isomorphisme de corps préservant l"ordre. | · |. Il existe de nombreuses constructions deR(voir par exemple [Bou1, TG IV.3]), qui nécessitent plus ou moins de travail. Nous préférons introduireRimmédiatement, car cela permettra de donner des exemples et des constructions en topologie et en analyse très rapidement. Rappelons-en (car cela n"est pas au programme des classes préparatoires) une UnecoupuredeQest une partieAdeQ, différente de∅et deQ, telle que pour tousx AQ?R coupures, qui est un ordre total surR, comme on le vérifie facilement (pour deux coupures AetB, on amin{A,B}=A∩Betmax{A,B}=A?B). Sauf mention contraire, un intervalle dans ce texte sera un intervalle deR. une injection préservant l"ordre. SiAetBsont deux coupures deQ, on pose

A+B={x+y:x?A, y?B}

8 et on montre facilement que(R,+)est un groupe abélien, d"élement neutre la coupure

SiAetBsont deux coupures deQ, on pose

-((-A)B)siA <0,B >0, -(A(-B))siA >0,B <0, (-A)(-B)siA,B <0,

0siA= 0 ouB= 0.

deux lois ci-dessus, l"élément neutre pour la multiplication étant la coupure1 ={x?Q: On vérifie facilement que lavaleur absolue| · |(où|x|= max{x,-x}pour toutxdans R) du corps ordonnéRvérifie, pour tousA,B,CdansR:

• |A|= 0si et seulement siA= 0,

• |AB|=|A| |B|,

cette dernière propriété étant appelée l"inégalité triangulaire. Il est de plusarchimédien, i.e. pour tousA,B >0dansR, il existendansNtel que Une autre propriété cruciale est la suivante. Théorème 1.1Toute partie majorée (resp. minorée) et non vide deRadmet une borne supérieure (resp. inférieure). Preuve.SoitPune partie majorée non vide deR. AlorsS=?

A?PAest une coupure de

Q, car siBest un majorant deP, alors∅ ?=S?B?=Q. De plus, siBest un majorant de On peut raisonner de même pour un ensemble minoré non videP, ou remarquer que l"ensemble-Pdes éléments opposés des éléments dePest un ensemble majoré non vide, et que siSest la borne supérieure de-P, alors-Sest la borne inférieure deB.? Il existe de très nombreuses caractérisations deR, dont celle disant queRest, à iso- morphisme de corps ordonnés près, l"unique corps totalement ordonné archimédien dans lequel toute partie majorée non vide admet une borne supérieure (voir par exemple [Bou2,

Chap. V, §2]).

1.2 Espaces topologiques

SoitEun ensemble. UnetopologiesurEest un ensembleOde parties deEtel que (1) toute intersection finie d"éléments deOappartient àO, 9 (2) toute union d"éléments deOappartient àO. Par convention, une intersection vide de parties d"un ensembleEest égal àE, et une union vide de parties deEest égale à la partie vide. Donc∅etEappartiennent àO, siO

est une topologie surE. La première condition (stabilité par intersections finies) peut être

remplacée indifféremment par :Eappartient àOetA∩Bappartient àOpour tousA,B dansO. Unespace topologiqueest un ensembleXmuni d"une topologieOsurX. Par abus, on note souventXle couple(X,O). Les éléments deOsont appelés lesouvertsdeX(ou de la topologieOquand on veut préciser). Les complémentaires des ouverts d"une topologie s"appellent lesfermésde cette to-

pologie. Toute union finie de fermés est fermée, toute intersection de fermés est fermée,

donc∅etXsont fermés. Étant donné un ensemble de parties d"un ensembleE, stable par intersections et par unions finies, l"ensemble des complémentaires de ces parties est une topologie surE. On peut remplacer la stabilité par unions finies par le fait de contenir∅ et d"être stable par l"union de deux éléments. Exemples 1 :SiEest un ensemble, alorsO={∅,E}est une topologie surE, ditetopologie grossière. L"espace(E,O)est alors ditgrossier. Les seuls fermés d"un espace grossierE sont∅etE. L"ensembleP(E)de toutes les parties deEest une topologie surE, appeléetopologie discrète. L"espace topologique(E,P(E))est alors ditdiscret. Toute partie d"un espace discret est ouverte et fermée. Un espace topologique est discret si et seulement si tous ses singletons sont ouverts. Exemples 2 :SiEetFsont des ensembles, siOest une topologie surEet sif: F→Eest une application, alors l"ensemblef-1(O)desf-1(A)lorsqueAparcourtO est une topologie, appeléetopologie image réciproque, surF(voir aussi le paragraphe 2.5). L"ensemble des fermés def-1(O)est exactement l"ensemble des images réciproques des fermés deO.

Exemples 3 :L"intersectionO=?

j?JOjd"une famille(Oj)j?Jde topologies surEest une topologie surE(si cette famille est vide, par convention, cette intersection est égale à l"ensemble de toutes les parties deE). En effet, si(Ui)i?Iest une famille d"éléments deO, alors pour tousi?Ietj?J, la partieUiappartient àOj; par conséquent, les parties? i?IUisiIest fini et? i?IUiappartiennent àOj, pour toutjdansJ, donc elles appartiennent àO. Nous utiliserons cet exemple dans le chapitre 2 pour construire des topologies les plus petites possibles (pour l"inclusion), comme intersectionde topologies vérifiant certainesquotesdbs_dbs5.pdfusesText_9

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