[PDF] L2 Math ematiques Math ematiques: ALGEBRE LINEAIRE II Cours

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FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES. UHA MULHOUSE

L2 Mathematiques.

Mathematiques: ALGEBRE LINEAIRE II

Cours Elisabeth REMM

Chapitre 3Trigonalisation des matrices carrees

1.Matrices trigonalisables

1.1.Matrices triangulaires.Denition 1.SoitT2 Mn(K)une matrice carree a coecients dansK,K=RouC.

Elle est dite triangulaire superieure si elle est de la forme (1)T=0 B BBB@a

1;1a1;2a1;3a1;n1a1;n

0a2;2a2;3a2;n1a2;n..................

0 0 0an1;n1an1;n

0 0 00an;n1

C CCCA c'est-a-direai;j= 0des quej < i.Par exemple, toute matrice diagonale est triangulaire superieure. Denition 2.SoitT2 Mn(K)une matrice carree a coecients dansK,K=RouC. Elle est dite triangulaire inferieure si elle est de la forme T=0 B BBB@a

1;10 00 0

a

2;1a2;200 0..................

a n1;1an1;2an1;3an1;n10 a n;1an;2an;3an;n1an;n1 C CCCA c'est-a-direai;j= 0des quej > i.1

2 L2PC Chapitre 1. Diagonalisation

Pour simplier le langage, lorsque nous parlerons de matrice triangulaire, il s'agira de ma-

trices triangulaires superieures. L'autre cas sera donc toujours precise.Proposition 1.Toute matrice triangulaire deMn(K)admet toujoursnvaleurs propres

distincres ou confondues. SiTest la matrice triangulaire (1), ses valeurs propres sont k=ak;k,k= 1;n:Demonstration.En eet, le polyn^ome caracteristique de (1) est det(TXIn) = det0 B BBB@a

1;1X a1;2a1;3a1;n1a1;n

0a2;2X a2;3a2;n1a2;n..................

0 0 0an1;n1X an1;n

0 0 00an;nX1

C CCCA

En developpant ce determinant, on obtient

det(TXIn) = (a1;1X)(a2;2X)(an1;n1X)(an;nX): Les racines de ce polyn^omes sont donca1;1;a2;2;;an;n:

1.2.Matrices trigonalisables.Denition 3.SoitM2 Mn(K)une matrice carree a coecients dansK,K=RouC.

Elle est dite trigonalisable si elle est semblable a une matrice triangulaire, c'est-a-dire, s'il existe une matrice inversiblePtelle que

T=P1MP=0

B BBB@a

1;1a1;2a1;3a1;n1a1;n

0a2;2a2;3a2;n1a2;n..................

0 0 0an1;n1an1;n

0 0 00an;n1

C

CCCAOn en deduit

Proposition 2.Toute matrice trigonalisable deMn(K)admet toujoursnvaleurs propres

distincres ou confondues.Une grande partie de ce chapitre est destinee a etudier la reciproque de cette proposition.

Elisabeth Remm 3

2.Trigonalisation des matrices carrees complexes

Le resultat essentiel de ce paragraphe est le suivant:Theoreme 1.Toute matrice complexeM2 Mn(C)est trigonalisable.Demonstration.Demontrons par recurrence surn?1?

(1) Toute matrice carree complexe d'ordre 1 s"ecritM= (a1;1d. Elle est donc trigonalisble. (2) Soitn1 xe. Supposons que toute matrice complexe d?ordren?1 soit trigonalis- able. Considerons une matriceM2 Mnn+ 1(C). Nous avons vu, dans le cahpitre precedent, que toute matrice complexe d'ordrepadmettaitpvaleurs propres distinctes ou confondues. AinsiMadmetn+ 1 valeurs propres disctinctes ou pas. Soitune valeur propre deM. Il existe un vecteur propre non nulv6= 0 attache a ?: Mv=v: Commevest non nul, nous pouvons completer la famillefvgen une baseB=fv= e

1;e2;;en+1gdeCn+1. SoitPla matrice inversible obtenue en mettant en colonnes

les vecteursv=e1;e2;;en+1. CommeMv=v;la matrice semblable M

1=P1MP

est de la forme0 B

BBB@ a

1;2a1;3a1;n1a1;n

0a2;2a2;3a2;n1a2;n..................

0an1;2an1;3an1;n1an1;n

0an;2an;3an;n1an;n1

C CCCA SoitNla matrice complexe d'ordrendenie a partir deM1: N=0 B B@a

2;2a2;3a2;n1a2;n...............

a n1;2an1;3an1;n1an1;n a n;2an;3an;n1an;n1 C CA D'apres l'hypothese de recurrence, il existe une baseB1=fv1;;vngdeCntelle que siQest la matrice dont les colonnes sont les composantes des vecteursvi, la matrice d'ordren N

1=Q1NQ

soit triangulaire (superieure). Considerons la matriceP1d'ordren+ 1 denie par P

1=1 0nt0nQ

ou 0 n= (0;0;;0), alors M

2=P11M1P1= B

t0nN1 avecB= (b1;;b1;3;;b1;n+1). On en deduit queM2est une matrice triangulaire. (3) La propriete est donc vraie a l'ordren+ 1. Elle est vraie quel que soitn1.

4 L2PC Chapitre 1. Diagonalisation

Exemples

(1) Soit la matrice M=0 @13 4 47 8
67 71
A

Son polyn^ome caracteristique est

C

M(X) =(X+ 1)2(X3):

Les valeurs propres sont1= 3, racine simple et2=1, racine double. L'espace propre associe a1est de dimension 1 et engendre par le vecteurv1= (1;2;2). L'espace propre associe a la valeur double2est de dimension 1 et engendre par le vecteur v

2= (1;2;1). La matrice n'est donc pas diagonalisable. Pour trigonaliser la matrice,

il sut de completer la famille librefv1;v2gen une base deC3. Soitv3= (1;0;0) (ce choix est loin d'^etre unique). La famillefv1;v2;v3gest bien une base. La matrice de changement de base est P=0 @1 1 1 2 2 0

2 1 01

A qui est de determinant2 donc non nul, ce qui montre bien que la famillefv1;v2;v3g est une base. La matrice semblableT=P1MPs'ecrit T=0 @3 0a 01b 0 011 A (les valeurs propres sont sur la diagonale). On peut calculer les parametresaetbsoit en calculantP1MP, soit plus simplement, en ecrivant que0 @13 4 47 8
67 71
A0 @1 0 01 A =a0 @1 2 21
A +b0 @1 2 11 A 0 @1 0 01 A

On trouve

a= 4; b=2:

AinsiMest semblable a la matrice triangulaire

T=0 @3 0 4 012 0 011 A (2) Soit la matrice M=0 @21 2

156 11

146 111

A

Son polyn^ome caracteristique est

C

M(X) =(X1)3:

Elisabeth Remm 5

Les valeurs propres sont1= 1, racine triple. L'espace propre associe a1est de dimension 1 et engendre par le vecteurv1= (1;1;2). La matrice n'est donc pas diago- nalisable. Pour trigonaliser la matrice, nous n'avons guere de methode ecace. On en revient donc a la denition. On commence a chercher un vecteurv2= (x;y;z) tel que M:0 @x y z1 A =a0 @1 1 21
A +0 @x y z1 A Ce systeme lineaire est indetermine. On prenda= 1 (aest necessairement non nul).

On a alors le systeme8<

:3xy+ 2z= 1

15x7y+ 11z= 1

14x6y+ 10z= 2

qui admet comme solution (x;x+ 3;2x+ 2):. On prendrav2= (0;3;2):Completons la famillefv1;v2gen une basefv1;v2;v3g. SiPest la matrice de changement de bases associee, alors la matrice semblableT=P1MPest de la forme T=0 @1 1b 0 1c 0 0d1 A Maisdest valeur propre deTdonc deMce qui impliqued= 1. Il reste donc a calculer les constantesbetc. Choisissonsv3= (1;0;0). Alors M:0 @1 0 01 A =0 @2 15 141
A =b0 @1 1 21
A +c0 @0 3 21
A +0 @1 0 01 A et doncb=3,c=4. AinsiMest semblable a la matrice T=0 @1 13 0 14

0 0 11

A la matrice de passage etant P=0 @1 0 1 1 3 0

2 2 01

A

3.Cas des matrices carrees reelles

3.1.Critere de trigonalisation des matrices carrees reeles.

Si toute matrice carree complexe est trigonalisable, ceci n'est pas vrai pour les matrices reelles. Ceci signie qu'il n'existe pas toujours une matrice triangulaire reelle semblable a la matrice reele donnee, la matrice de passage devant ^etre aussi reelle. Prenons par exemple la matrice M=0 1 1 0

6 L2PC Chapitre 1. Diagonalisation

Les valeurs propres sont complexes conjuguees1=i;2=i:. Comme les valeurs propres sont les elements de la diagonale de la matrice triangulaire semblable, il est donc impossible de trigonaliserMdansR. Notons que l'on peut trigonaliserMdansC, mais dans ce cas,Tet

P, la matrice de passage, sont complexes. `Theoreme 2.Toute matrice reelleM2 Mn(R)admettantnvaleurs propres reelles

distinctes ou confondues est trigonalisable.` Demonstration.Il sut de reprendre mot pour mot la demonstration donnee dans le cas complexe. La seule dierence etant au depart. Dans le cas complexe on est assure de l'existence d'une valeur propre. Dans le cas reel, ceci decoule de l'hypothese choisie. Exemples.Les exemples decrits dans le paragraphe precedent sont en fait des exemples de trigonalisation dans le cas reel.

3.2.Classication des matrices reelles d'ordre2.

Les resultats precedents, appliques aux matrices reeles d'ordre 2, montrent que toute matrice reelle carree d'ordre 2 est semblable a (1) Une matrice diagonale A 1=10 02 avec1;22R, avec eventuellement1=2. (2) Une matrice triangulaire A 2=11 01 avec12R. (3) Une matice du type A 3=a b b a une telle matrice n'admet pas de valeurs propres.

4.Endomorphismes trigonalisables

4.1.Endomorphismes triangulaires.

SoitEunK-espace vectoriel de dimensionnet soitfun endomorphisme deE. Supposons qu'il existe une baseB=fe1;e2;;engdeEpar rapport a laquelle la matriceMdefsoit triangulaire: M=0 B BBB@a

1;1a1;2a1;3a1;n1a1;n

0a2;2a2;3a2;n1a2;n..................

0 0 0an1;n1an1;n

0 0 00an;n1

C CCCA:

Elisabeth Remm 7

Ceci signie que

8>>>><

>>>:f(e1) =a1;1e1; f(e2) =a1;2e1+a2;2e2; f(en1) =a1;n1e1+a2;n1e2++an1;n1en1; f(en) =a1;ne1+a2;ne2++an1;nen1+an;nen: SoitFkle sous-espace vectoriel deEayantfe1;e2;;ekgcomme base. Tout vecteurvkdeFk s'ecrit donc de maniere uniquevk=x1e1=+xkek:Les relations precedentes montrent que les transformeesf(ei),i= 1;;ksont des combinaisons lineaires des vecteursfe1;e2;;ekg et appartiennet donc au sous-espaceFk. Ceci signie que chacun des sous-espacesFkest invariant parf. En resume les ous-espaces vectorielsF1;F2;;Fnverient: (1)F1F2 Fn1Fn=E, (2) dimFk=k,k= 1;;n (3)f(Fk)Fk, c'est-a-dire chacun des sous-espacesFkest un sous-espace vectoriel deE invariant parf. Dans ce cas, on dit que la famillefF1;F2;;Fngde sous-espaces vectoriels deEest un drapeau deE.

4.2.Cas complexes.

SiEest un espace vectoriel complexe de dimensionn, tout endomorphisme admetnvaleurs propres disctintes ou confondues. SiMest la matrice defrelative a une base quelconque donnee, alorsMest trigonalisable. On dira que tout endomorphisme sur un espace vectoriel complexe est trigonalisable.

4.3.Cas reels.

SoientEest un espace vectoriel rel de dimensionnetfun endomorphisme deE. Sif admetnvaleurs propres distinctes ou confondues, alors le matriceMdefrelative a une base quelconque donnee, alorsMest trigonalisable. Dans ce cas, on dira quefest trigonalisable.

8 L2PC Chapitre 1. Diagonalisation

EXERCICES

Exercice 1.

(1) Trigonaliser (dansRouCles matrices suivantes M 1=0 @1 24 01 6 01 41 A ; M2=0 @3 0 8 31 6
2 051 A (2) Montrer que la matriceM2est semblable a la matrice triangulaireTou T=0 @1 0 0 01 1 0 011 A

Exercice 2.

(1) Trigonaliser la matrice A=31quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13

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