[PDF] Formulaires de mathématiques 12 nov. 1998 Vous trouverez

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PARTIEI - NOTIONS DE SURVIE

ûPolynômes du 1erdegré

axÅbAE0()xAE¡bax axÅb¡1¡baÅ1 signe de(¡a)0signe deaûPolynômes du 2nddegréax

2ÅbxÅcAE0¢AEb2¡4acPas de racines dansRz

1,2AE¡b§ip¡¢2ax

0AE¡b2ax

P(x)¡1Å1

signe deax

P(x)¡1x

0Å1

signe dea0signe deax

P(x)¡1x

1x

2Å1

sig.a0sig.(¡a)0sig.aûIdentités remarquables ( aÅb)2AEa2Å2abÅb2 ( a¡b)2AEa2¡2abÅb2 ( a¡b)(aÅb)AEa2¡b2ûProportionnalité (produit en croix) ab AEcd ()a£dAEc£b ûPour résoudre une équation(sauf 1erdegré) j ep assetout da nsle membr ede gauche j ef actorise j "utilisel et héorèmedu p roduitnul : A£BAE0()AAE0 ouBAE0ûPour résoudre une inéquation mêmes éta pesqu "uneéqu ation j edr esseen p lusu nta bleaude sign es

ûLecture graphique²µ

0 ²A Ba f(a)Tangente en ade coeff. direct.f0(a)f

0(a)AEyB¡yAx

B¡xAûPour établir une inégalité du typeAÇB(ouAÈB...) 1. on c alculela différenceA¡Bet on la met sous la forme d"un produit ou d"un quotient 2. on en fait u ntableau de signes 3. on déduit qu esur u ncer tainint ervalle,A¡BÇ0AE)AÇB ûMes méthodes et formules(à compléter toi-même)Mathieu Ponsmathete.net

FORMULAIRETS

PARTIEII - SUITESNatureARITHMÉTIQUEGÉOMÉTRIQUEu nÅ1AEf(un)( up u nÅ1AEunÅr( vp v nÅ1AEqvnu nAEf(n)u nAEu0Ånr

AEu1Å(n¡1)r

AEu2Å(n¡2)r

AE¢¢¢v

nAEv0£qn

AEv1£qn¡1

AEv2£qn¡2

AE¢¢¢Somme deupàun(n¡pÅ1)|{z}

nombre de termes£ premierÅdernier2premier£1¡qn¡pÅ11¡qPour démontreru nÅ1¡unAE¢¢¢AErv nÅ1v nAE¢¢¢ AEq v nÅ1AE¢¢¢ AEqvnûLimites de suites lim n!Å1qnAE8 >>>:0 si¡1ÇqÇ0 ou 0ÇqÇ1

Å1siqÈ1

1 siqAE1

diverge siq6¡1ûThéorèmes de comparaison(limn!Å1unAEÅ1 v n>unAE)limn!Å1vnAEÅ1( limn!Å1unAE¡1 v n6unAE)limn!Å1vnAE¡1ûThéorème des gendarmes(vn6un6wn limn!Å1vnAElimn!Å1wnAE`AE)limn!Å1unAE`ûThéorème du point fixe8>< :fest continue u nÅ1AEf(un) (un) convergeAE)(un)convergeverslasolutionde f(x)AExûThéorèmes de convergence des suites monotones

T outesu itecr oissantemajorée c onverge;

T outesu itedécr oissantemin oréecon verge.

ûVariations de suites

u nÅ1¡un8 :È0AE)(un) est strictement croissante

Ç0AE)(un) est strictement décroissante

AE0AE)(un) est stationnaire ou constanteBSiuest définie explicitement c"est-à-dire queunAEf(n) alorsua les mêmes variations que la fonctionfqui

la définit surN.ûConstruction graphique des termes de(un)dans le cas d"une définition récurrente :unÅ1AEf(un)O~

|yAEf(x)yAExu

0"!"!"

u 1u 2u

3Croissante convergenteO~

|yAEf(x)yAExu 0"! u 1u 2u 3u

4"Escargot" convergent

1.

O npa rtde u0

2.

O npr endson image p arf:u1AEf(u0)

3. O nr abatu1sur l"axe des abscisses grâce àyAEx 4. O nrépète c ettep rocédureav ecu1, puisu2... ûRédaction-type du raisonnement par récurrence

1.Initialisation: On vérifie que la propriété est vraie au rangn0

2.Héredité: Supposons la propriété vraie au rangn, montrons qu"elle est vraie au rangnÅ1

[Écrire la propriété au rang n]AE)[Écrire la propriété au rang nÅ1]

DÉMO

3.Conclusion: La propriété étant vraie au rangn0et étant héréditaire, on en déduit que :

[Écrire la propriété au rang n]

ûAlgorithmes à connaître

Exemple à adapter en fonction de la suite étudiée, iciu0AE1 etunÅ1AE2unÅ5.Affecter àUla valeur 1Affecter àNla valeur 0Demander la valeur deKTANT QUE(NÇK)FAIREAffecter àUla valeur 2£UÅ5Affecter àNla valeurNÅ1FINTANT QUEAfficherU¬Calcul du terme de rangKAffecter àUla valeur 1Affecter àNla valeur 0Demander la valeur deMTANT QUE(UÇM)FAIREAffecter àUla valeur 2£UÅ5Affecter àNla valeurNÅ1FINTANT QUEAfficherNAlgorithme de seuil

BPour l"algorithme¬, si on veut faire affichertous les termes, il faut placer l"affichagedans la boucle.Mathieu Ponsmathete.net

FORMULAIRETS

PARTIEIII - FONCTIONS

ûTableaux des dérivées et des primitivesFonctionfDérivéef0x nnx n¡11 x n¡ nx nÅ1px1 2 px lnx1 x e xe xkuku 0u nnu

0un¡1uvu

0vÅuv01

u¡u0u 2u vu

0v¡uv0v

2puu 02 pu lnuu 0u e uu

0eucosu¡u0sinusinuu

0cosuFonctionfPrimitiveFx

n1 nÅ1xnÅ11 x n,n6AE1¡

1n¡1£1x

n¡11px2 px 1 xlnxe axÅb1 a eaxÅb1 axÅb1 a ln(axÅb)cos(axÅb)1 a sin(axÅb)sin(axÅb)¡ 1a cos(axÅb)u 0un1 nÅ1unÅ1u 0u n,n6AE1¡

1n¡1£1u

n¡1u

0ulnuu

0pu2 pu u 0eue uu

0cosusinuu

0sinu¡cosuûRédaction-type : CTVI ou th. de la bijection

•festcontinueetstrictement crois- sante (ou décroissante)surI. •fréalise une bijection deIsurJ(ou f(x) prend ses valeurs dansJ). •k2Jdonc l"équationf(x)AEkadmet une seule et unique solution®.x f® kI

J0²ln1AE0²

lneAE1²e

0AE1²e

1AEeyAElnxyAEexyAExûLimites du type :BFaire la règle des signes

k6AE0§1

AE0§k6AE00

§AE§1 §1£§1AE§1ûForme indéterminée (FI) : 11 00 utiliser les "croissances comparées".

ûCroissances comparées :

lim x!0ÅxnlnxAE0 limx!Å1lnxx nAE0 lim x!¡1xnexAE0 limx!Å1e xx nAEÅ1ûPropriétés du logarithme Népérien et de l"exponentielle : lnabAElnaÅlnb e aÅbAEea£eb ln ab

AElna¡lnb

e a¡bAEeae blnanAEnlna (e a)nAEena ln paAE12 lna e

¡aAE1e

aln 1b

AE ¡lnb

lne xAEx e lnxAEx

ûInterprétation graphique des limites :

lim x!§1f(x)AE`AE)Cfadmet en§1une asymptote horizontale d"équationyAE`. lim x!af(x)AE§1 AE)Cfadmet une asymptote verticale d"équationxAEa.

ûÉtude de position :

étudie le signe def(x)¡g(x).ûÉquation de la tangente ena: yAEf0(a)(x¡a)Åf(a)ûCalcul d"une aire à partir d"une intégrale :abAC fAAEZb af(x)dxV mAE1b¡aZ b af(x)dxabA C fC gAAEZb a(f(x)¡g(x))dxûPropriétés de l"intégrale : Z b a f(x)dxAE¡Z a b f(x)dxZ b a f(x)dxÅZ c b f(x)dxAEZ c a f(x)dx (Chasles)f(x)>0 sur[a;b]AE)Z b a f(x)dx>0(Positivité)Z b a (®fůg)AE®Z b a fůZ b a g (Linéarité)Mathieu Ponsmathete.net

FORMULAIRETS

PARTIEIV - COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIEO²M(z)²N(z)~ u~ vj zj¯ ¯z

¯¯AEjzjxy

¡yarg(z)arg(z)AE¡arg(z)ûMest le point d"affixezAExÅiyavec i2AE¡1. ûNest le point d"affixezconjugué deztel que :zAEx¡iy. ¡¡!ABest le vecteur d"affixez¡¡!ABAEzB¡zA.

ûModule dez:jzjAEqx

2Åy2(th. de Pythagore)

ûArgument dez:

arg(z)AEµÅ2k¼(k2Z) avec8 >:cosµAExj zjAEAdjHyp sinµAEyj zjAEOppHyp

ûÉcritures possibles dez:

zAExÅiy(forme algébrique) AE jzj(cosµÅisinµ) (forme trigonométrique) AE jzjeiµ(forme exponentielle)ûPropriétés des modules, des arguments et des conjugués

¯¯¯¯zz

0¯

¯¯¯AEjzj¯

¯z0¯¯

argµzz

AEarg(z)¡arg(z0)

arg

¡zn¢AEn£arg(z)zz

0AEz£z

0µ zz AEz z

0zÅz0AEzÅz

0¯ ¯z

¯¯AEjzj

arg(z)AE ¡arg(z) ûInterprétation géométrique des nombres complexes j jzB¡zAj AEABarg(zB¡zA)AE³¡!u;¡¡!AB´

¯¯¯zC¡zAz

B¡zA¯

¯¯¯AEACABarg

µzC¡zAz

AE³¡¡!AB;¡¡!AC´

ûRecherche d"ensembles de points

j z¡zAjAEjz¡zBj()AMAEBMj z¡zAjAEr()AMAEr ()M2à la médiatrice de [AB]()M2au cercle de centreAet de rayonr ûConfigurations géométriques et raisonnement à mettre en oeuvre A, B, C alignés()¡¡!ABAEk¡¡!AC(AB)?(AC)()¡¡!AB¢¡¡!ACAE0 A, B, C alignés()³¡¡!AB;¡¡!AC´

AE¼2

Åk¼

zC¡zAz

B¡zAAEun réel pur()

zC¡zAz B¡zAAEun imaginaire purûCercle trigonométrique et valeurs remarquablesO²0²¼

6²¼

4²¼

3²¼

2

²2¼3

²3¼4

²5¼6

¼6 ¼4

¼3²

¼2²

2¼3²

3¼4²

5¼6p32

12¡

p3212 p22 p22¡ p22p22 12 p32¡ 12p32

ûFormules de trigonométrie

cos

2aÅsin2aAE1

cos

2a¡sin2aAEcos2a

sin2aAE2sinacosa cos2aAE2cos2a¡1 cos(a¡b)AEcosacosbÅsinasinb sin(aÅb)AEsinacosbÅcosasinb sin(a¡b)AEsinacosb¡cosasinb tanaAEsinacosa ûRappels de collège : SOHCAHTOA ou CAHSOHTOAAC Bcos

AEABBC

sin

AEACBC

tan

AEACAB

Mathieu Ponsmathete.net

FORMULAIRETS

PARTIEV - GÉOMÉTRIE DANS L"ESPACEÉquation cartésienne de planReprésentation paramétrique de

planReprésentation paramétrique de droiteA~n 0 a b c1AA~u0@ 1A ~v0@ 0 0

01AP:axÅbyÅczÅdAE0

dAE¡axA¡byA¡czA8 >:xAE®tÅ®0t0ÅxA yAE¯tů0t0ÅyA zAE°tÅ°0t0ÅzA8 :xAE®tÅxA yAE¯tÅyA zAE°tÅzAûOn vérifie qu"un point ap- partient au plan en rempla-

çantx,yetzpar les coordon-

nées du point

ûOntrouveunpointduplan

en affectant à deux variables des valeurs quelconques et en déterminant la troisièmeûOn vérifie qu"un point appar- tient au plan en remplaçantx,y etzpar les coordonnées du point puis en résolvant le système d"in- connuestett0

ûOn trouve un point du plan en

affectant àtet àt0des valeurs quelconquesûOn vérifie qu"un point appar- tient à la droite en remplaçantx,y etzpar les coordonnées du point puis en résolvant le système d"in- connuet

ûOn trouve un point de la droite

en affectant àtune valeur quel- conque• ~uet~vcolinéaires()il existe un réelktel que~uAEk~v ~uet~vorthogonaux()~u.~vAE0()0 B @x y z1 C A.0 B @x 0 y 0 z 01 C

AAE0()xx0Åyy0Åzz0AE0

~u,~vet~wcoplanaires()il existe deux réels®et¯tel que~wAE®~uů~v ûRecherche d"intersections :on résout des systèmes d"équations

P lan\Plan :8

:Équation de (P1)quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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