Matrice de passage et changement de base
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Les formules de changement de repère s'écrivent aisément avec les matrices (étudiées en spécialité mathématiques en Terminale)
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Il s'agit d'un rappel élémentaire et compact de deux premiers chapitres 1 Matrice de passage "Changements de base" 1 1 E = R2 a Dans E =
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Matrice de passage Soit E un K?espace vectoriel de dimension n = 0 Soit (e1 en) une base de
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passage Définition 1 (Matrice de passage) Soit E un espace vectoriel dont on considère deux bases B = (ei)1?
Comment changer de base pour les vecteurs ?
– L'application linéaire qui intervient dans un changement de base est l'identité, car on ne change rien aux vecteurs. On change seulement les coordonnées des vecteurs dans une base. – La matrice de passage contient en colonnes les coordonnées des vecteurs de la nouvelle base (ei) exprimées dans l'ancienne base (ei) .Comment Ecrire la matrice d'une base ?
On écrit x dans la base b sous la forme : x = x1e1 + ··· + xnen, avec x1,,xn des scalaires. La matrice du vecteur x dans la base b est la matrice colonne à n lignes dont les coeffiY cients sont, de haut en bas, x1,,xn. On rappelle la définition suivante : Soit b et b? deux bases de E.- La matrice de passage de B1 à B2 permet de relier les coordonnées d'un vecteur dans B1 à celles dans B2 . Proposition : Soit w un vecteur de E , X1 ses coordonnées dans B1 , X2 ses coordonnées dans B2 et soit P1,2 P 1 , 2 la matrice de passage de B1 à B2 . Alors on a : X1=P1,2X2.
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