EXERCICES DE CALCUL STOCHASTIQUE DESS IM Evry option PDF

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EXERCICES DE CALCUL STOCHASTIQUE

DESS IM Evry, option ¯nance

Monique Jeanblanc

Octobre 2005

1 Rappels 7

1.1 Tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Variables gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 9

1.4 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5 Temps d'arr^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6 Temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14 15

1.8 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Mouvement Brownien 17

2.2 Processus Gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4 Temps d'atteinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5 Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25
26

2.7 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.8 Problµeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29
29

2.8.2 Partie II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.8.3 Partie III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30
33

3.2 Formule d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39
40
42

3.6 Le crochet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.7 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44
3

4CONTENTS

4.2 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54
56

5 Exemples 59

5.1 Processus de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59
61

5.3 Autres processus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4 Des calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Girsanov 67

6.2 Crochet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3 Processus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4 Cas multidimensionel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.5 Temps d'arr^et. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.6 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78
87
88
92

7.4 Temps local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.5Lois. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.6 Filtrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.7 Options barriµeres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95
96

7.9 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 Processus µa sauts 99

8.1 Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99
101

8.3 Formule d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

102
103
103

1.1 Tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107

1.2 Variables gaussiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

108
111

1.4 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

113

1.5 Temps d'arr^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

114

1.6 Temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115
115

1.8 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115

CONTENTS5

117

2.2 Processus Gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121

2.3 Multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

124

2.4 Temps d'atteinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

125

2.5 Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

127
127

2.7 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

129
131

3.2 Formule d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

132

3.3 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

137
138
139

3.6 Le crochet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

142

3.7 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

142
145

4.2 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

149
151

5.1 Processus de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

153
155

5.3 Autres processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

155

5.4 Des Calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

156
159

6.2 Crochet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

160

6.3 Processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

160

6.4 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

163

6.5 Temps d'arr^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

163

6.6 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

165
167
168
168

7.4 Temps local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

168

7.5Lois. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

170

7.6 Filtrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

170

7.7 Options barriµeres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

171
172

6Rappels

8.1 Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

175
177
178

Chapter 1 Rappels

1.1 Tribu

Exercice 1.1.1

Ensembles appartenant µa une tribu.

1. Montrer que siFest une tribu, et siAetBappartiennent µaFavec ne sont pas dansA. 2.

Montrer que 11

B¡A= 11B¡11A.

3. Montrer que siCetDappartiennent µaF, alorsC¢Ddef=fC\Dcg [ fCc\Dgaussi.

Exercice 1.1.2

Exemples de tribus.

1. 2.

Exercice 1.1.3

Fonctions indicatrices.

On note 11

Ala v.a. qui vaut 1 pour!2Aet 0 sinon.

Montrer que 11

A\B= 11A11B.

Montrer que, siA\B=;, on a 11A[B= 11A+ 11B.

Montrer que 11

A[B= 11A+ 11B¡11A\B.

Exercice 1.1.4

Union et intersection.

SoitF1etF2deux tribus. Montrer queF1\ F2est une tribu. Montrer qu'en

Exercice 1.1.5

Tribu grossie par un ensemble.(*)

8Rappels

Exercice 1.1.6

est la plus petite sous tribuFtelle queXsoit mesurable de (;F) dans (IR;B).

Exercice 1.1.7

Lois de v.a.

telles queXloi=ZetYloi=T. 1.

ComparerE(f(X)) etE(f(Z)).

ComparerE(X2Y) etE(Z2T).

ComparerE(f(X)g(Y)) etE(f(Z)g(T)).

ComparerE(f(X;Y)) etE(f(Z;T)).

1.2 Variables gaussiennes

Exercice 1.2.1

Moments.

SoitXune v.a.r. de loiN(0;¾2). CalculerE(X3),E(X4),E(jXj) etE(jX3j).

Exercice 1.2.2

Moments.SoitXun v.a. normale. Calculer les moments de e X.

Exercice 1.2.3

Exponentielles.SoitNune v.a. de loiN(0;1). Calculer

E(exp(aN2+bN)). Montrer queE(expa2

N2) =E(expaNN0) avecNetN0

i.i.d.

Exercice 1.2.4

Exercice 1.2.5

SoitXune v.a.r. de loiN(m;¾2).

Quelle est la loi de

X¡m

? CalculerEjX¡mj. 2.

Montrer queE(e¸X) = exp(¸m+1

¸2¾2). CalculerE(Xe¸X).

Soit ©(x) =1

2¼Z

x ¡1 e¡y2 2 dy. Calculer, dans le casm= 0 et¾= 1 la valeur deE(11X·bexp¸X) en fonction de (©;¸;b). 4. CalculerE(expf¸X2+¹Xg) pour 1¡2¸¾2¸0. 5. Montrer queE(eµXf(X)) =emµ+¾2µ2=2E(f(X+µ¾2) pourfcontinue 6. 7.

Montrer que siGest une va de loiN(0;1)

E(eaGN(bG+c)) =ea2=2N(c+ab

p 1 +b2

Exercice 1.2.6

Convergence.

Soit (Xn;n¸1) une suite de v.a. gaussiennes qui converge dansL2versX.

Quelle est la loi deX?

Exercice 1.2.7

Vecteur gaussien.SoitXun vecteur gaussien µa valeurs dans IR

Exercice 1.2.8

Exercice 1.2.9

Projection.(*)

Z=P

PrXdeAtel que

E((X¡PrX)Z) = 0;8Z2 A

Montrer queX= (X1;X2;:::;Xd) etY= (Y1;:::;Yn) sont deux vecteurs On supposed= 1. Montrer quePrXest une v.a. gaussienne¾(Y) mesurable,

Exercice 1.2.10

deux v.a.r. telles queYest gaussienne et la loi conditionnelle deXµaYest queE(exp(¸X)jY=y) = exp(¸(ay+b)+¸2 2

¾2). Montrer que le couple (X;Y)

est gaussien.

Exercice 1.3.1

Montrer que

E(Y E(XjG)) =E(XE(YjG))

10Rappels

Exercice 1.3.2

Montrer que siX2L2etE(XjG) =YetE(X2jG) =Y2alors

X=Y.

Exercice 1.3.3

Exercice 1.3.4

CalculerE(11X·tjM).

Exercice 1.3.5

met de variance¾2. On suppose queYestG-mesurable. CalculerE(X¡YjG):

Exercice 1.3.6

Vecteur gaussien(*)Suite de l'exercice 1.2.9

PrX.

Exercice 1.3.7

G, queX2estGmesurable et queX1est gaussienne.

CalculerE(XjG) et var (XjG).

CalculerE(e¸XjG).

Exercice 1.3.8

Cov(Z1;Z2jG) =E(Z1Z2jG)¡E(Z1jG)E(Z2jG):

Montrer que

Cov(Z1;Z2jG) =E[(Z1¡E(Z1jG))Z2jG]:

Exercice 1.3.9

Tribu grossie.

GetA. (Voir exercice 1.1.5). On admettra que les v.a.Zqui sontHmesurables

E(XjH) =E(X11AjG)

E(11AjG)11A+E(X11AcjG)

E(11AcjG)11Ac

Exercice 1.3.10

E(aX+bjZ) =aE(XjY) +b.

Exercice 1.3.11

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EXERCICES DE CALCUL STOCHASTIQUE

DESS IM Evry, option ¯nance

Monique Jeanblanc

Octobre 2005

Contents

1 Rappels 7

1.1 Tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Variables gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5 Temps d'arr^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6 Temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.8 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Mouvement Brownien 17

2.2 Processus Gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4 Temps d'atteinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5 Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.7 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.8 Problµeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.8.2 Partie II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.8.3 Partie III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Formule d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6 Le crochet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.7 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4CONTENTS

4.2 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Exemples 59

5.1 Processus de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3 Autres processus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4 Des calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Girsanov 67

6.2 Crochet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3 Processus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4 Cas multidimensionel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.5 Temps d'arr^et. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.6 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.4 Temps local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.5Lois. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.6 Filtrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.7 Options barriµeres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.9 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 Processus µa sauts 99

8.1 Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.3 Formule d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1 Tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Variables gaussiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5 Temps d'arr^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6 Temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.8 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CONTENTS5

2.2 Processus Gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4 Temps d'atteinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5 Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.7 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Formule d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6 Le crochet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.7 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1 Processus de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3 Autres processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4 Des Calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2 Crochet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3 Processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.5 Temps d'arr^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.6 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.4 Temps local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.5Lois. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.6 Filtrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.7 Options barriµeres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6Rappels

8.1 Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapter 1

Rappels

1.1 Tribu