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Qu'est-ce que le cours de mécanique?
Ce cours se compose de cours en RDM qui fait partie du calcul structure de bâtiment, du niveau ingénieur, ainsi que des exercices avec solutions. 0. Objet du cours et conventions de signe 1. Rappels de MMC utiles en RDM 2. Notions élémentaires de mécanique 3. Définitions 4. Hypothèses du cours de R.D.M.
MECANIQUE
2 3TABLE DES MATIERES
4 5 6 7 8 9UTILISATION DU COURS
Il est conseillé aux utilisateurs de ce cours d"étudier chaque chapitre en faisant, au fur et à mesure, les exercices d"application directe du cours proposés pratiquement à chaque paragraphe ( Exercice) Ensuite à la fin de chaque chapitre, faire les autres exercices proposés ( Exercice ) Ces exercices sont des exercices complémentaires, plus difficiles que les précédents ou portant sur l"ensemble du chapitre. C"est volontairement que certains exercices ont été proposés dans plusieurs chapitres de ce cours : il est intéressant de comparer les différentes méthodes de résolution d"un même exercice. Les corrigés de tous les exercices proposés se trouvent à la fin de chaque chapitre.Comment réussir en mécanique ?
Ce qu"il ne faut pas faire :
- lire le cours de manière superficielle - vouloir résoudre les exercices sans bien connaître le cours - se limiter à la comparaison des résultats avec ceux du corrigé ; on peut avoir un bon résultat et une méthode fausse. C"est très fréquent !Conseils :
Lire la totalité de l"énoncé ; l"analyser Faire un ou des schéma(s), même dans un cas simple Réfléchir au système physique proposé Essayer de voir à quelle partie du cours se rapporte l"exercice Définir le système que l"on va étudier et préciser le référentiel d"étude. Faire l"inventaire des actions mécaniques subies par le système Appliquer le principe fondamental ou utiliser l"énergie Mettre en équation et résoudre en faisant preuve de rigueur mathématique Présenter le résultat avec une unité et voir si l"ordre de grandeur du résultat est conforme au bon sens. 10 11CHAPITRE 1 INTRODUCTION
1.1 DERIVEES DUNE FONCTION.
1.1.1 Dérivée première
y" = f"(x), dérivée par rapport à x de la fonction y=f(x) est souvent notée en physique: Dans le cas où il s"agit d"une dérivée par rapport au temps, on pourra utiliser la notation suivante : &) ou '1.1.2 Dérivée seconde
y""= f ""(x), dérivée seconde par rapport à x, de la fonction y=f(x) est souvent notée en physique: &( Dans le cas où il s"agit d"une dérivée par rapport au temps, on pourra utiliser la notation suivante : &) ou'Exemple :
1.1.3 Expressions de quelques dérivées de fonctions.
y=f(x) &( y=f(x) axn a n xn-1 tan x ),-(./0(=+=+=+=+ sin x cosx eax a eax cos x -sin x sin (a x+b) a cos(a x+b) ( 121.1.4 Intérêt de la notation différentielle des dérivées
Premier exemple : Si y est fonction de u et si u est fonction de x : y = sin3x y = sinu avec u = 3x La dérivée de y par rapport à u est cos u La dérivée de y par rapport à x est (cos u).u" c©est-à-dire (cos3x).3On peut écrire
&'./01&1==== &1&(==== &'&'&1&(&1&(==== &'2./013./0(&(======== Deuxième exemple :Si y est fonction de u, si u est fonction de
q et si q est fonction du temps , on peut écrire &'&'&1&&1&====qqqqqqqq et &'&'&1&&)&1&&) qqqq====qqqqExemple y = sin
2(3t+2)
y= u2 avec u =sin( q +2) et q= 3t
&'1&1==== &1./023&=q+=q+=q+=q+qqqq &&)q qqq==== &'&'&1&12./02331./023&)&1&&)q qqq==q+=q+==q+=q+==q+=q+==q+=q+qqqq Troisième exemple : Calculer la variation dZ de l"impédance d"un dipôle RC série lorsque l"on fait varier la pulsation de w à w+dw. 13 4 4 4 523&5 &2323&& &5 2323&
&5 &&6/7&5 ---=+=+w=+=+w=+=+w=+=+wwwww +w+w+w+w=+w=+w=+w=+wwwwwwwww =+w-w=+w-w=+w-w=+w-wwwww w www=-=-=-=-wwww++++wwww w www=-=-=-=- w+w+w+w+wwww
1.2 DERIVEES D"UN VECTEUR
Soit un vecteur
dépendant d"un paramètre, par exemple, le temps (*'89:=++=++=++=++ x, y et z étant des fonctions du temps. Par définition, on appelle dérivée du vecteur par rapport au temps, le vecteur ayant pour composantes &(&'&9+;)&)&)&). Ce vecteur est noté & &&(&'&9*8:&)&)&)&)=++=++=++=++ ou &(*'89:&)La dérivée seconde du vecteur est:
&&(&'&9*8:&)&)&)&)=++=++=++=++ ou &(*'89:&)La dérivée d"un vecteur est un vecteur
Exemple :
0*2))3*)8:=+++=+++=+++=+++
&2)3*8&)==++==++==++==++ 141.3 PRIMITIVES
y=f(x) Primitives y=f(x) Primitives ./02,(<3&(++++0*-2,(<3,
0*-2,(<3&(++++
./02,(<3,1.4 DEVELOPPEMENTS LIMITES
Expression Expression approchée Condition
(1+e)n -»+e»+e»+e»+e Si e<1.5 RELATIONS TRIGONOMETRIQUES
0*-(./0(
cos(a+b)=cosa cosb-sina sinb sin(a+b) =sina cosb+cosa sinb sin 2a= 2 sina cosa >?>?0*->0*-?0*-./01+cos2a=2cos
2a1-cos2a=2sin
2a1.6 RESOLUTION D"UN TRIANGLE
Soit un triangle ABC quelconque; a, b et c sont les longueurs des côtés respectivement opposés aux anglesD"après le théorème d"Al Kashi :
,<.<../0=+-=+-=+-=+-De même :
<,.,../0=+-=+-=+-=+- et .,<,<./0=+-=+-=+-=+-Cas particulier :
Si le triangle est rectangle en A, on obtient
,<.=+=+=+=+ relation de Pythagore.Autre relation :
,<.0*-0*-0*-============ R étant le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC. a b c A C B 161.7 VECTEURS.
1.7.1 Egalité de deux vecteurs
Deux vecteurs
et 66 sont égaux lorsqu"ils ont même direction, même sens et même norme.1.7.2 Différentes catégories de vecteurs
L"égalité
66==== n"a pas la même signification suivant la catégorie de
vecteur utilisée.1.7.2.1 Cas des vecteurs liés .
66==== signifie dans ce cas que A et A" sont confondus et que A"et B"sont
confondus.1.7.2.2 Cas des vecteurs glissants.
66==== signifie dans ce cas que les deux vecteurs et 66 ont même
support.1.7.2.3 Cas des vecteurs libres.
Les deux vecteurs n"ont dans ce cas ni origine déterminée ni support déterminé.Remarque :
Ces trois catégories de vecteurs sont utilisées en physique ;Le poids d"un corps est un vecteur lié.
A B B" A"A B B" A"
A, A" B, B"
17 La tension d"un fil, inextensible et de masse négligeable, se transmet de proche en proche le long du fil et est représentée par un glisseur. Dans une région où on peut le considérer comme uniforme, le champ de pesanteur est représenté par un vecteur libre : le vecteur1.7.3 Produit d"un vecteur par un scalaire
Quand on multiplie un vecteur par un scalaire on obtient un vecteur. Si les supports des vecteurs sont parallèles ou confondus les vecteurs ont même sens si k>0 et ont des sens contraires si k<01.7.4 Somme de vecteurs
Soit01AB=++=++=++=++
Le vecteur
0 est obtenu de la façon suivante : Par un point O de l"espace on trace un vecteur égal au vecteur 1 . Par l"extrémité de 1 on trace un vecteur égal au vecteur A . Par l"extrémité de A on trace un vecteur égal au vecteur B . Le vecteur qui a pour origine O et pour extrémité celle de B est le vecteur somme. Dans le cas général, la norme du vecteur somme est différente de la somme des normes des vecteurs composant la somme. 1 A B 0 O 18Cas général
01AB¹++¹++¹++¹++
Cas particulier :
si les trois vecteurs composant la somme ont même direction et même sens :01AB=++=++=++=++
1.7.5 Projection d"une somme vectorielle sur un axe.
On considère la somme vectorielle :
En projetant cette somme vectorielle sur l"axe x"x, on peut écrire.66666666=++=++=++=++
La mesure algébrique de la projection sur un axe du vecteur somme est égale à la somme des mesures algébriques des projections sur cet axe des vecteurs composant la somme. Ceci se traduit, dans le cas particulier de la figure, par :66./0./0./0=a+b-d=a+b-d=a+b-d=a+b-d
A B D CA" B" D" C"
x" x a b d 191.7.6 Composantes d"un vecteur
(*'8=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+ (*'8=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+ *%8=+=+=+=+X et Y sont les composantes du vecteur
1.8 PRODUIT SCALAIRE DE DEUX VECTEURS.
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