[PDF] Chapitre 7 : écoulements en charge

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Chapitre7:écoulementsencharge

Mecanique des

uides

Christophe Ancey

Problematique : pertes de charge dans une

conduite

Ecoulement permanent uniforme lisse entre

deux plans paralleles (Poiseuille plan) sous-couche visqueuse zone logarithmique zone centrale

Eet de la rugosite sur le prol de vitesse

Dissipation d'energie et pertes de charges

Pertes de charge singuliere

Exemple traite : vidange d'un reservoir

my headerMecanique des uides 2 o

Quizderelaxation

1.

Dansun ecoulementen cha rge,p eut-on

negliger la pression hydrostatique? oui elle est faible par rapport a la pression cinetique. cela depend des problemes. 2.

Uneconduite dont les pa roissont rugueuses

dissipe plus d'energie qu'une conduite lisse? oui, la rugosite accentue toujours la dissipation d'energie. il n'y a pas d'eet de la rugosite sur l'ecoulement si l'ecoulement est laminaire. my headerMecanique des uides 3 o

Problématique

En hydraulique a surface libre (chap. 5) on a montre que le theoreme de Bernoulli

E=%gz+%u22

+p (en principe valable uniquement pour des uides non visqueux) peut se generaliser en introduisant une perte de charge lineairement repartie le long du bief. La charge est denie comme l'equivalent en hauteur d'eau de l'energie : H=E%g et la perte de charge est introduite comme la pente de la ligne de charge (on dit pente d'energie m^eme si c'est une charge) j f=dHdx my headerMecanique des uides 4 o

Problématique

Cette perte de chargelineaire(c.-a-d. lineairement repartie) peut ^etre estimee a l'aide de formules empiriques telles que l'equation de Manning-Strickler j f=u2K 2R4=3 h: On va montrer ici que pour des ecoulements en charge dans des conduites, l'equation de perte de charge est dHdx=f1D h u22g; avec :Dhle diametre hydraulique de la conduite,ula vitesse debitante,fle coecient de frottement qui depend du nombre de Reynolds

Re=Dhu:

my headerMecanique des uides 5 o

Problématique

Comme en hydraulique a surface libre, cette equation suppose que l'ecoulement est uniforme et que la conduite ne change pas de caracteristiques. Comme la vitesse est constante si le diametre ne change pas (cela resulte de la conservation de la masse), on a pour une conduite de longueurL

H=H1H2=fLD

h u22g: Si la conduite change de caracteristiques, il faut introduire dans les calculs une perte de charge singulierequi traduit une dissipation d'energie locale due, par exemple, a un changement brutal de direction ou de section. my headerMecanique des uides 6 o Considerons un ecoulement permanent de Poiseuille plan entre deux plans paralleles espaces de2b. La turbulence depend fortement de la rugosite de la paroi. On est amene a distinguer : les parois lisses; les parois rugueuses. On peut faire une anatomie simpliee de l'ecoulement en considerant qu'il comporte trois couches que l'on peut distinguer en fonction de l'ordonnee adimensionnelle : =yu ouuest la vitesse de frottement (ou de cisaillement) :u=p p=%(avecpla contrainte a la paroi). my headerMecanique des uides 7 o

Écoulementpermanentuniformelisse

Les experiences montrent que les trois couches sont

025: la couche laminaire, incluant pour03la sous-couche

visqueuse;

25500: la zone logarithmique;

500: la zone centrale.y

x y=b entrée sous-couche visqueusezone logarithmique zone transitoire my headerMecanique des uides 8 o

Sous-couchevisqueuse

La resolution des equations de Navier-Stokes dans un ecoulement de Poiseuille entre deux plans (mu par un gradient de pression@xp) montre que le prol des vitesses dans la directionxest parabolique u=12 @p@x y(y2b); donc au premier ordre enyquandy!0, on a : u12 @p@x y(2b) =1 py; et sous forme adimensionnelle u=u: Experimentalement cela est valable tant que3. Pour le reste de la couche laminaire (325) il n'y a pas d'approximation analytique. my headerMecanique des uides 9 o

Zonelogarithmique

Rappelons que les equations de Navier-Stokes

%@u@t +uru =%g rp+r T: peuvent se moyenner en introduisant la decomposition de Reynolds u=hui+u0 avecu0la uctuation de vitesse ethuila vitesse moyennee (moyenne d'ensemble).

On obtient les equations suivantes :

%@hui@t +huirhui =rhpi+r hTi %r hu0u0i: my headerMecanique des uides 10 o

Zonelogarithmique

Le tenseur

t=%hu0u0i est appeletenseur de Reynolds. Il re ete les contraintes turbulentes. Pour l'estimer on se sert d'equations de fermeture. Une des equations les plus simples est le modele de longueur de melange de Prandl : t= 2thDi; avectla viscosite turbulente qui varie avec le gradient moyen de vitesse t=%(y)2dhuidy; avecla constante de von Karman (=0,41). my headerMecanique des uides 11 o

Zonelogarithmique

En negligeant les contraintes visqueux, on tire des equations de Navier-Stokes moyennees@@y t@hui@y =@hpi@x et par integration sury, on deduit l'equation t@hui@y =@hpi@x y+c; aveccune constante d'integration. En negligeant l'epaisseur de la sous-couche visqueuse, on exprime la condition aux limites eny= 0; t@hui@y =p: my headerMecanique des uides 12 o

Zonelogarithmique

En supposantp=%u2connu, on peut donc ecrire l'equation precedente t@hui@y =@hpi@x y+p; et au premier ordre enyeny= 0, on deduit l'equation t@hui@y =p+O(y): En se servant du modele de Prandtl, on doit resoudre dhuidy=r p% 1y L'integration fournit un prol logarithmique de vitesse hui=r p%1 lny+c=u lny+c: my headerMecanique des uides 13 o

Zonelogarithmique

La constante d'integration est determinee en imposant un raccord avec la couche laminaire. On obtient alors huiu =1 ln+ 5;52;5ln+ 5;5; qui est valable pour25500. my headerMecanique des uides 14 o

Écoulementpermanentuniformelisse

Les experiences montrent que le prol de vitesse a la paroi verie bien la loi logarithmique my headerMecanique des uides 15 o

Zonecentrale

On suit les m^emes equations que precedemment, mais on prend en compte une nouvelle loi de fermeture qui re ete l'in uence moindre du taux de cisaillement sur la viscosite turbulente : t= 0;080bu: La viscosite est independante du taux moyen de cisaillement, mais depend de l'espacement entre les plans (ce qui donne la taille maximale des tourbillons) et de la vitesse de frottement. La resolution des equations de Navier-Stokes moyennees pour cette equation de fermeture nous donne un prol de vitesse parabolique comme pour le regime laminaire puisque la viscosite turbulente est constante. my headerMecanique des uides 16 o

Zonecentrale

Prol de vitesse :

um hui(y)u = 6;3 1yb 2; pour0;2b < y <1;8b, et ouumest la vitesse maximale atteinte eny=b u mu = 2;5lnr+ 5;5; avecr= 0;2bu=l'ordonnee de la transition zone centrale/logarithmique. my headerMecanique des uides 17 o La contribution de la sous-couche visqueuse est negligeable. Le debit s'obtient par integration du champ de vitesse : q= 2`bu

2;5lnbu

+ 3;21 tandis que la vitesse de frottement u =r p% b% @p@x 1=2 Pour montrer cela, on se sert de l'equation de conservation de la quantite de mouvement eny=b. Comme le prol de vitesse y atteint son maximum, on a dhui=dy= 0. La dissipation d'energie est =pu=b@p@xu

2;5lnbu+ 3;21

=%u3

2;5lnbu+ 3;21

my headerMecanique des uides 18 o

Extensionàdesparoisrugueuses

Lorsque la rugosite adimensionnalisee (construite comme le nombre de Reynolds) k +s=ksu >3;1; on dit que la paroi estrugueuse. Les equations de fermeture sont modiees. Pour une paroi rugueuse se pose le probleme de la denition du plan moyeny= 0. Les formules sont imprecises lorsquek+s70.y=0 u y=0 s k my headerMecanique des uides 19 o

Extensionàdesparoisrugueuses

La rugosite augmente la turbulence de paroi, ce qui change la vitesse dans la zone logarithmique :huiu = 2;5lnyk s+ 8;34; mais pas dans la zone centrale. Le debit s'ecrit alors pour une canalisation plane rectangulaire (Poiseuille plan) : q= 2`bu

2;5lnbk

s+ 6;04 et pour un ecoulement dans un conduit circulaire (Poiseuille cylindrique) : q=R2u

2;5lnRk

s+ 4;87 my headerMecanique des uides 20 o

Dissipationd'énergiedanslesconduites

On va maintenant capitaliser nos connaissances sur le comportement de l'ecoulement turbulent pour etendre le theoreme de Bernoulli a des ecoulements reelsLS nV my headerMecanique des uides 21 o

Biland'énergie

Rappelons que theoreme de l'energie cinetique s'obtient en prenant le produit scalaire de l'equation de conservation de la quantite de mouvement et de la vitesse u: %ududt=%ugu rp+u r T: En se servant de Green-Ostrogradski et en supposant l'etablissement d'un regime permanent, on simplie cette equation (voir chap. 4)Z S un%juj22 +p dS |{z} ux d'energie=Z S n(uT)dS |{z} puissance dissipee a la frontiereZ V

T:DdV;

|{z} , puissance dissipee dans le volume avecpla pression generalisee,Vle volume de contr^ole etSsa surface enveloppe. my headerMecanique des uides 22 o

Biland'énergie

On suppose egalement :

les eets de bord (a l'entreeS1et sortieS2de la conduite) sont negliges; la section ne change pas avecx; l'ecoulement est etabli :@u=@x= 0; la composante selony(ren coordonnees cylindriques) de la vitesse est nulle : u= (u;0;0). La pression generaliseep(on supprime l'indice) est consideree comme constante dans une section droite. Cela permet de simplier encore l'equation de conservation de l'energie Z S 1 %u22 +p udS+Z S 2 %u22 +p udS=Z V

T:DdV:

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Biland'énergie

On noteq=S1u1=S2u2le debit volumique,p1etP2la pression (qui est uniformement repartie) surS1etS2et =T:Dla fonction dedissipation interne. En divisant l'energie parq, on aboutit a l'equation de conservation de la charge (attention, il s'agit de la charge selon le sens employe en genie industriel) p

1p2=%2q

Z S

2u3dSZ

S 1u3dS |{z}

0siS1=S2+

1q Z V dV: Dans une conduite de section constante en regime permanent et uniforme, la dierence de pression motrice equivaut a la dissipation d'energie (aux pertes de charge). Dit autrement, pour mouvoir le uide, il faut exercer un gradient de pression qui contrebalance exactement la dissipation d'energie. my headerMecanique des uides 24 o

Biland'énergie

En hydraulique, on denit la charge comme un equivalent en hauteur d'eau, donc on va diviser l'equation de la charge par%g. La charge enSs'ecrit H=p%g +12qgZ S u3dS; et donc compte tenu de la conservation du debit dans des conduites de m^eme section (S1=S2=S),p1p2=H1H2, on a nalement H

1H2= H=1%gq

Z V dV: La dierence de charge est egale a la perte de charge totaleH, qui represente l'energie dissipee dansV.

Comment estimer cette dissipation d'energie?

my headerMecanique des uides 25 o

Biland'énergie

Pour estimer la dissipation d'energie, on peut ecrire que =puSc; ou uest la vitesse moyenne,pest la contrainte exercee par le uide sur la paroi de la conduiteScentre les deux sectionS1etS2. SiPest le perimetre de la conduite (pas necessairement circulaire) etLsa longueur, alors S c=PL: On noteCfle coecient de frottement (dit coecient de Fanning). On peut exprimer la contrainte parietale comme une fraction de l'energie cinetique p=12

Cf%u2:

my headerMecanique des uides 26 o

Biland'énergie

De facon equivalente, on peut employer la loi de Darcy-Weisbach (voir chap. 5) p=18 f%u2; ouf= 4Cfest le coecient de Darcy-Weisbach. On introduit le diametre hydraulique (pendant du rayon hydraulique pour les ecoulements a surface libre) D h= 4SP On verie queDh= 2Rpour une conduite circulaire de rayonRtandis que pour une conduite prismatique a section rectangulaireS=b` D h= 4SP = 2b`b+`: Attention : en regle generale, le nombre de Reynolds est deni a partir deDh:

Re=uDh=.

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Biland'énergie

En resume on a

=puSc=18 f%u2uPL; et si on exprime cela en termes de perte de charge (voir chap. 5) H=%gq

Soit nalement

H=%gq =18gfu2PS

L=fu22gLD

h: Comme en hydraulique a surface libre, la perte de chargeHest exprimee en m (equivalent metre colonne d'eau). my headerMecanique des uides 28 o

CoefficientdefrottementfEn regime laminaire, on montre en resolvant les equations de Navier-Stokes que

f=64Re Pour ce regime,fest independant de la taille des rugosites. Pour un ecoulement turbulent,fdepend de l'echelle de rugositekset du nombre de ReynoldsRe=uDh=. La separation entre regime lisse et rugueux se fait a l'aide du nombre sans dimensionk+s=ksu=: sik+s<5, le regime estlisse; sik+s>70, il est (pleinement)rugueux. La viscosite n'est plus importante, etfquotesdbs_dbs31.pdfusesText_37

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