[PDF] Recueil des oraux de mathématiques PC* — lycée Henri Poincaré

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Lycee Henri Poincare | PC

*| mathematiques | recueil des exercices oraux | ete 20161

Recueil des oraux de mathematiques

PC *| lycee Henri PoincareExercice 1. (Mines-Ponts PC, 2016, Meryem Ragbaoui) On denit une suite reelle (an)n2Nen posant (a0;a1) = (1;1) puisan+1=an+2n+ 1an1pour tout entiern>1.

1.Trouver le rayon de convergence de la serie entierePanxn.

2.Calculer S(x) =+1P

n=0a nxn.

Interlude.

Enoncer les theoremes d'integration terme a terme.Exercice 2. (Mines-Ponts PC, 2016, Meryem Ragbaoui)

Soit E un espace vectoriel de dimension nie. Soitfun endomorphisme de E.

Prouver l'inegalite dim(Ker(f2))62dim(Ker(f)).

Commentaire de la candidate.L'examinateur etait correct et respectueux.Exercice 3. (Centrale-Supelec PC, 2016, Mathilde Zoch)

On note (E) l'equation dierentiellejxjy0+ (1x)y=x.

Montrer que (E) admet une unique solution surR.Exercice 4. (Centrale-Supelec PC, 2016, Hugo Dupeyras)

On posefn(x) =Z

+1

0dt(t2+x4)n.

a.Pour toutn2N, montrer que la fonctionfnest denie sur ]0;+1[. b.Pour toutx >1, prouver que la suite (fn(x))n>1converge vers 0. c.Pour toutx >1, prouver que la seriePfn(x) est convergente et exprimer sa somme.

d.Prouver que la seriePfn(1) est divergente. On raisonnera par l'absurde.Exercice 5. (Centrale-Supelec PC Python, 2016, Mathilde Zoch)

On se donne un entierp>2. On appellematrice-bande associeeau triplet (a;b;c) la matrice deMp(R) dont les coecients diagonaux valentb, les coecients juste au-dessus de la diagonale valentcet les coecients juste en dessous de la diagonale valenta, les autres coecients etant tous nuls. On note A la matrice-bande associee au triplet (1;3;1).

1.Montrer que la matrice A est inversible.

2.On note B la colonne deRpdont tous les coecients valent 1. Montrer que l'equation AX = B

possede une unique solution, notee X

3.Trouver une matrice C telle que AX = B soit equivalent a X = CX + B=3.

On denit alors T : X7!CX + B=3. Que vaut T(X)?

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*| mathematiques | recueil des exercices oraux | ete 20162 4. Ecrire une fonctionmatBande(p, a, b)qui prend en entree un entierpet deux ottantsa etb, et qui renvoie la matrice bande deMp(R) associee au triplet (b;a;b). 5.

Ecrire une fonctionT(p, X)qui renvoie CX + B=3.

6.On munitRpde la norme innie. Montrer que T est lipschitzienne relativement a cette norme

et trouver la meilleure constante de Lipschitz, c'est-a-dire la plus petite constantektelle que

8(X;Y)2(Rp)2;jjT(X)T(Y)jj16kjjXYjj1:

7.On xe X0dansRppuis on pose Xn+1= T(Xn) pour toutndansN. Obtenir une majoration

dejjXnXjj1. Qu'en deduit-on?

8.Pour chaque valeur depdans [[2;7]], determiner Xpar cette methode iterative et comparer

avec le resultat que donnenumpypar inversion directe de la matrice A.Exercice 6. (ENS Lyon PC, 2016, Leonor Groell)

Trouver tous les polyn^omes P deC[X] tels que P(X2) = P(X)2.Exercice 7. (Centrale PC, 2016, Imane Benhayoun)

Pour toutndansN, on poseun=1n!Z

n 0 ettndt. a.Prouver que la suite (un)n2Nconverge.

b.Prouver que sa limite est inferieure ou egale a 1=2.Exercice 8. (Mines-Ponts PC, 2016, Maxime Verges)

Nature de la serie de terme generalnnY

p=1

1 +(1)ppp

.Exercice 9. (Mines-Ponts PC, 2016, Maxime Verges) Soit E un espace vectoriel de dimension nie. Soient A et B deux sous-espaces vectoriels de E.

On suppose que A et B ont la m^eme dimension.

Prouver que A et B possedent un supplementaire commun dans E.Exercice 10. (Mines-Ponts PC, 2016, Maxime Verges)

Une urne contient M pommes vertes et N pommes rouges. On les mange une par une et on s'arr^ete quand on a mange la derniere pomme rouge.

Calculer la probabilite d'avoir mange toutes les pommes.Exercice 11. (Mines-Ponts PC, 2016, Guillaume Peiert)

Trouver toutes les fonctionsf2 C0(R;R) telles que

8x2R; f(x) = 1 + 2Z

x 0 f(t)cos(xt) dt: Interlude.Tout sur l'integration terme a terme.Exercice 12. (Mines-Ponts PC, 2016, Guillaume Peiert) Pour tout polyn^ome reel P, on posef(P) = (X3X)P0(X21)P. Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres def.

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*| mathematiques | recueil des exercices oraux | ete 20163 Exercice 13. (Centrale PC avec Python, 2016, Imane Benhayoun) Une urne contient des boules numerotees de 1 an. Le premier joueur tire des boules de l'urne sans remise; il s'arr^ete quand il obtient la boule portant le numeron. On note X1le nombre de tirages eectues par le premier joueur. Le deuxieme joueur eectue ensuite des tirages sans remise jusqu'a ce qu'il obtienne la boule portant le numero maximal parmi les boules restantes. On note X 2 le nombre de tirages eectues par le deuxieme joueur (avec la convention X

2= 0 si X1=n).

a.Determiner la loi, l'esperance et la variance de X1. b.Determiner la loi de X2sachant [X1=j]. En deduire la loi de X2ainsi que son esperance. c.

Ecrire une fonction qui simule X1et X2.

Note du transcripteur.C'est bien s^ur l'exercice 16 de la cheMaths avec Python, que nous avons corrige le samedi 11 juin.Exercice 14. (Centrale PC, 2016, Stevie Gayet) Soit M une matrice stochastique deMn(R) (cela signie que ses coecients sont positifs et que sur chaque ligne, la somme des coecients vaut 1). a.Verier que 1 est une valeur propre de M. b.Montrer que les valeurs propres de M ont un module majore par 1.

c.Soitune valeur propre de M de module 1. Montrer quevaut 1.Exercice 15. (Centrale PC, 2016, Thibaut Froeliger)

Soitn2N. On note nle graphe de la fonctionfn:x7!cosn(x) sur [0;=2]. On notednla distance de l'origine O a n, c'est-a-dire le nombre deni par d n= inffOM ; M2ng: a.Montrer qu'il existe exactement un point M de nqui verie l'egalitedn= OM. L'abscisse de ce point est noteexn. b.Montrer la relation cos2n1(xn) =xnnsin(xn). c.Montrer quexntend vers 0 quandntend vers +1.

d. (Ajout du transcripteur.)Trouver un equivalent dexnquandntend vers +1.Exercice 16. (CCP PC, 2016, Beno^t Supiot)

On note (E) l'equation dierentielle 2(xx2)y00+ (x2)y0y= 0.

1.Montrer que la fonctiony0:x7!x2 est solution de (E) surR.

Dans les questions 2 et 3, la lettre I designe indieremment l'intervalle ]1;2[ ou ]2;+1[.

2.Soityune fonction deux fois derivable sur I. Pour toutxdans I, on pose

z(x) =y(x)x2: Montrer queyest solution de (E) sur I si, et seulement si, la fonctionz0est solution sur I d'une equation dierentielle lineaire d'ordre 1 a determiner.

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3.On denit la fonction:x7!(x1)1=2x2sur l'intervalle I.

3.a.Montrer queest derivable sur I et calculer sa derivee.

3.b.Resoudre (E) sur I. On pourra utiliser le calcul suivant

43x2x(x1)(x2)=2x

1x24x2:

4.Resoudre (E) sur ]1;+1[.Exercice 17. (CCP PC, 2016, Beno^t Supiot)

Soitfun endomorphisme d'un espace vectoriel de dimensionn.

1.Sifest un projecteur, quel est le lien entre rg(f) et tr(f)?

2.Si rg(f) = tr(f) = 1, montrer quefest un projecteur.Exercice 18. (Mines-Telecom PC, 2016, Beno^t Supiot)

Pour toutndansN, on note Anla matrice deMn(R) denie par (A n)i;j=8 :2 sii=j

1 sijijj= 1

0 sinon.

On notednle determinant de la matrice An.

1.Montrer la relationdn+2= 2dn+1dn.

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