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V = S * ?h S : surface plane ?h : hauteur moyenne, en déblai, en remblai, ou en eau dans un bassin.- G?f = Gd + ?(Hgj ) – (n + 1) . 200 n étant le nombre de côtés de la polygonale. L'erreur de fermeture angulaire fa est alors la différence entre ce gisement de fermeture observé et le gisement de fermeture théorique GCD, noté Gf , issu des coordonnées des points connus C et D.
DidierBouteloup
IGN/ENSG
TOPOMETRIE
CALCULS
TOPOMETRIQUES
ÉCOLENATIONALE DESSCIENCESGEOGRAPHIQUES.
6et 8avenueBlaise Pascal
77455Marne laValléeCedex 2
www.ensg.ign.fr©IGN 2006
Tabledes matières
ChapitreI. Gisementd'unedirection ... ... .............................51.Qu'est-ce qu'ungisement? ... ... .........................................5
ChapitreII. Calculgisementet distanceentre2 points.. ... ... ... ... 71.Calcul gisementetdistance entre2points ... ... ... ... ....................7
Exercicen°1. CalculdeV0 etrayonnement. ... ... ... ...... ... ... ... ... ... .9 ChapitreIII. Intersection.. ................................................111.Intersection ................................................................11
ChapitreIV. Relèvement.. ................................................151.Relèvement ...............................................................15
ChapitreV. Stationexcentrée. ... ........................................191.Station excentrée.. ........................................................19
ChapitreVI. Cheminementpolygonal. ... ...............................231.Cheminement polygonal.. ................................................23
Corrigésdes exercices.. ...................................................27ChapitreI
Gisementd'une
direction1.Qu'est-ce qu'ungisement?
Définition
Legisement estl'angleformé parladirection orientéeABavec l'axeparallèleà l'axedes ordonnées(axeY) delareprésentation. Lesgisements sontcomptéspositivement de0à 400gradesdans lesensdes aiguillesd'une montre. SCH.1ChapitreII
Calculgisement et
distanceentre 2 points1.Calcul gisementetdistance entre2points
1.1.Conversion Polaire-->Rectangulaire
Calculdes coordonnéesd'unpoint Minconnupar ladonnéedes coordonnéesd'un pointA connuetde lamesuredu gisementetde ladistanceAM.1.2.Conversion Rectangulaire-->Polaire
Calculdu gisementetde ladistanceAB àpartirdes coordonnéesdespoints AetB connus.Remarque
laformule (2)permetde leverl'ambiguïtéde 200gradessur lecalculde "arctan ».1.3.G0 etRayonnement
Orientationdu limbe
Unthéodolite permetd'effectuerdes lecturesd'angleshorizontaux. Ceslectures sontcomptées positivementdansle sensdesaiguilles d'unemontrepar rapportà unedirection originecorrespondantà lalecture" zéro». SCH.28TOPOMETRIE
Legisement d'unedirectionpeut sedéduiredu gisementdel'origine deslectures d'angleshorizontaux mesuréeslorsdu tourd'horizon.Celui ciappelé G0d'orientation peutsecalculer àpartirde l'observationdepoints connusen coordonnées.Définition
Lamoyenne decesvaleurs individuellesdonnel'orientation moyenneduzéro dulimbe aumomentdu tourd'horizon ¨nest lenombrede pointsvisésconnus encoordonnéesdepuis lastation L'analysedes écartsentreles G0individuelset cegisementmoyen d'orientation permetde décelerleséventuelles erreursdecalculs etd'observationsmais ausside montrerun éventueldéplacementdes pointsconnusen coordonnées(bornedéplacée, mauvaiseidentification depointsvisés. ..) . Legisement d'unedirectionà déterminersecalcule simplementensuite:Exercicen°1. CalculdeV0 etrayonnement
Ungéomètre procèdeàla déterminationde2 pointsnouveaux80 et81à partirde pointsgéodésiques lesplusproches 50,51,52 ,53et54 decoordonnéesplanes suivantes.PointsE(m)N(m)
50982591.010 3155 242.710
51983111.450 3157 891.810
52986130.980 3154 407.730
53979758.400 3154 999.820
54982679.857 3154 794.980
TAB.1 Ilstationne lepoint50 etmesurele angleshorizontauxsuivants :Calculgisement etdistanceentre 2points9
PointVisé Moyennedes lecturesréduites(grades)800.0000
5252.7859
81156.6256
53232.5948
51350.3884
54125.5665
TAB.2 Ilmesure égalementlesdistances horizontalesréduitesà laprojectiondepuis lastation 50:PointVisé Distanceshorizontales (m)
80300.460
81216.612
TAB.3Question1
¨Calculerpour chaquepointconnu leG0individuel
¨Calculerle G0moyende lastation50
Question2
¨Calculerles coordonnéesplanesdes points80et 8110TOPOMETRIE
ChapitreIII
Intersection
1.Intersection
1.1.Problématique
Methode
Commentdéterminer lescoordonnées(X M,Y M)d'un pointMinaccessible (clocher,château d'eau,pylône,cible, ... )àpartir d'unréseaude points géodésiques Ladistance n'étantpasmesurable directement,pourrésoudre ceproblèmeà2inconnues, 2sériesde mesuressontnécessaires.
Apartir d'unpointconnu A,un tourd'horizonest effectués'orientantsur des pointsconnus (1,2, 3)et lepointMinconnu.Ces mesuresd'angleshorizontaux vontpermettre dedéterminerle gisementdela directionAM. Lamême opérationdepuisun pointconnuBpermettrade définirlegisement dela directionBM.Lecalcul consisteàdéterminer lelieud'intersection deces deuxlieux géométriquesainsidéfinis. SCH.31.2.Calcul d'unpointisolé àpartirde 2viséesd'intersection
Solutiontrigonométrique
1.Calculdes G0moyend'orientation enAeten Bavec
2.Calculet validationduG0 moyen
12TOPOMETRIE
3.Calculdes gisementsGAMetG BM
4.Calculdu gisementetde ladistanceAB
avec5.Résolutiondu triangleABM(voirschéma cidessous)
Larelation dessinusappliquée autriangleABM permetd'écrire: d'où6.Calculdes coordonnéesdeMàpartir deA
Intersection13
SCH.4 :RÉSOLUTIONDU TRIANGLEABM
Solutionanalytique
Cettesolution reposesurl'écriture deséquationsdes droitesAMetBM,elle est plusfacile àmettreen oeuvred'un pointdevue informatique ouRemarque
Pourdes questionsdestabilité numérique,ilest préférabledecalculer laplus petitevaleur de àpartir delaplus grandedeces deuxvaleurs.Le contrôleducalcul consisteà comparerle gisementGBMcalculéau gisementissudes observations.14TOPOMETRIE
ChapitreIV
Relèvement
1.Relèvement
1.1.Arc capable
Définition
L'ensembledes pointsMsous lequelonpeut voir2points AetB sousun angleconstant aestune portiondecercle decentreO appeléarccapable ABPropriété
L'angleobservé aucentredu cercleestle doubledel'angle observéenun point quelconquede l'arccapable. SCH.51.2.Relèvement
L'ensembledes pointsMsous lequelunopérateur aperçoitlesegment ABsousun angleaetle segmentBCsous unanglebsesitue doncàl'intersection de2arcs capables.Solutiongéométrique
SCH.61.Calculdes gisementsetdistances ABetBC.
2.Calculdes coordonnéesdescentres O1etO 2descercles supportdesarcs
capables demême3.Résolutiondu triangleO1O2M
4.Calculdes coordonnéesdeM àpartirde O1etcontrôle ducalculen calculant
àpartir deO2.
SolutionAnalytique
Lasolution Mestle barycentredespoints A,Bet Caffectésdes coefficientsp, m,n :16TOPOMETRIE
SCH.7 SoientA etalesangles quiintersectentle segmentBCrespectivement enAet M SoientB etblesangles quiintersectentle segmentACrespectivement enB etM SoientC etglesangles quiintersectentle segmentABrespectivement enC etMLespoids p,met ns'obtiennentcomme suit:
Relèvement17
ChapitreV
Stationexcentrée
1.Station excentrée
Problématique
Afinde déterminerlescoordonnées depointsnouveaux 1et2etlorsque les conditionsd'observation durepèreconnu Rn'autorisentpas lecentragedu théodolitesur cedernieril estnécessaired'effectuer desobservationsà partir d'unpoint auxiliairetemporaireS: Mesuresd'angles horizontauxsurdes pointsconnusA,B, C,.. .etinconnus1,2, ..(notation :1i)
Mesuresde distancesurle repèreprocheR(notation :dsr) Mesuresde distancessurles pointsàdéterminer 1,2,. ..(notation :Dsi) SCH.8Calculs
Unesolution consisteàcalculer aupréalableles coordonnéesdela station excentréeS. Pourcalculer lesgisementsSi,il suffitdecorriger legisementRid'unpetit angleeavec:1.Calculdes gisementsetdistances entrelastation connueetles points
d'orientation2.Calculde lacorrectionà appliquerauxgisements
20TOPOMETRIE
3.Calculdu gisementmoyend'orientation enS
4.Ilsuffit ensuitedecalculer lescoordonnéesde Sàpartir :
-Coordonnéesde R -GisementRS : -Distancemesurée drs5.Enfinde calculerlescoordonnées despointsnouveaux àpartirde S:
-Coordonnéesde S -Distancemesurée dsiSCH.9 :CASD 'UNPOINT IINCONNU
Stationexcentrée 21
SCH.10 :CASD 'UNPOINT ICONNU
22TOPOMETRIE
ChapitreVI
Cheminement
polygonal1.Cheminement polygonal
1.1.Definition
Uneligne polygonaleoupolygonation estunensemble desommetsformant une lignebrisée dontona prissoinde mesurerlesangles ainsiquela longueurdes cotéspour ainsidéterminerles coordonnéesdechacun desessommets. Cecheminement estditencadré lorsquelescoordonnées depointde départet d'arrivéesont connues,ilest ditenantenne lorsqueseuleles coordonnéesdu pointde départsontconnues, etfermélorsque lespointsde départetd'arrivée sontconfondus.1.2.Calculs
Transmissiondes gisements
L'orientationdu premiercotédu cheminementestcalculée àpartirde visées d'orientationsur d'autrespointsconnus, latransmissionde cetteorientation s'effectueà l'aidedel'angle observéàchaque sommet.(voirchapitre 1.3G0 et rayonnement)SCH.11
Fondamentaux
L'angleaiest calculépardifférence delecturesazimutales entrelavisée "avant »etla visée"arrière »soit:SCH.12
Exemplede calculd'uncheminement encadré
Coordonnéesdes pointsS0et S5:
Xs0= 782875,12Xs5 =783228,94
Ys0= 215320,46Ys5 =215327,80
Lesgisements GAS0etG S5Bontété précedemmentcalculésà partirdes coordonnéesde A,S0,S 5etB24TOPOMETRIE
IMG.1Compensationdes gisements
L'imprécisiondes anglesobservés,fait quelegisement d'arrivéecalculé,diffère dugisement connuGS5B.Cette quantités'appellel'écart defermetureangulaire (f L'écartde fermetureangulaire(f )estréparti soit:¨uniformémentsur chaquegisement
¨proportionnellementà lalongueurdes côtés,Cheminementpolygonal 25
IMG.2Compensationdes DXet DY
Pourchaque coté,onpeut calculeràpartir dugisementcompensé etdela distancemesurée (réduiteàla projection)DXet DY.L'imprécision des angleset desdistancesobservées, cumuléeàl'imprécision descoordonnéesdes pointsde départetd'arrivée provoqueunedifférence entre: Lescoordonnées calculéesdupoint d'arrivée etles coordonnéesconnuesdu pointd'arrivée Cesquantités s'appellentécartsde fermetureplanimétriqueselon lesaxesde la projection,respectivement (fx)selon l'axedesabscisses Xet(f y)selon l'axedes ordonnéesY. Cesécarts defermeturesont ensuiterépartisproportionnellement àlalongueur descotés :26TOPOMETRIE
Corrigésdes exercices
Corrigéde l'exercicen°1: CalculdeV0 etrayonnementQuestionn°1
StationPtVisé GisementDistanceLecturesV0iPoidspV0ieiToléranceDistances gradesmgradesgradesgradesm TAB.4Gisementmoyen 61,9610grades
écartmoyen d'orientation0,0012grades
TAB.5Questionn°2
StationPointVisé
LecturesDistancesDXDYXY
gradesmmmTAB.6 :CALCULDES POINTSRAYONNÉS
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