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IFT 6150
TRAITEMENT D"IMAGES
OPÉRATIONS PONCTUELLES
Max Mignotte
Département d"Informatique et de Recherche Opérationnelle. Http : //www.iro.umontreal.ca/≂mignotte/ift6150E-mail : mignotte@iro.umontreal.ca
OPÉRATIONS PONCTUELLES
SOMMAIRE
Introduction . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . 2 Moyenne et Contraste . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . 3 Histogramme des Niveaux de Gris .. . . .. . . .. . 5 Amélioration du Contraste . . .. . . .. . . .. . . .. . . 7 Spécification de l"Histogramme . . .. . . .. . . .. . 16 Opération Algébriques entre Images . . . .. . . .. 17 1OPÉRATIONS PONCTUELLES
INTRODUCTION
f f gg f g (a) (b) (c) (a)Opération Ponctuelle?g(x0,y0) =T[f(x0,y0)] (b)Opération Locale?g(x0,y0) =T?f?V(x0,y0)??
V(x0,y0): Voisinage du point(x0,y0)
(c)Opération Globale?g(x0,y0) =T[f(x,y)]
Note T(.)est quelconque (linéaire, non-linéaire, monotone, non monotone, etc.) mais est la même pour tous les points de l"imageOPÉRATIONS PONCTUELLES
Modification de la Moyenne (ou Brillance, Luminance) et du Contraste de l"image 2OPÉRATIONS PONCTUELLES
MOYENNE ET CONTRASTE (1)
Moyenne
La Moyenne (ou Luminance, Brillance) d"une image est définie comme étant la moyenne des pixels dans l"image f(x,y)Moy=1NMN-1?
x=0M-1? y=0f(x,y)Contraste
Le Contraste (C) dans une image peut être définie de plusieurs façon Écart-type des variations des niveaux de gris dans l"imageC=????1
MNN-1?
x=0M-1? y=0? f(x,y)-Moy? 2 3OPÉRATIONS PONCTUELLES
MOYENNE ET CONTRASTE (2)
Variation entre valeurs de niveaux de gris min et max dans l"image C=max[f(x,y)]-min[f(x,y)]max[f(x,y)] + min[f(x,y)]Mesurerelativedes différences dans l"image
4OPÉRATIONS PONCTUELLES
HISTOGRAMME DES NIVEAUX DE GRIS (1)
L"Histogramme d"une image représente le nombre (ou la proportion) de pixels en fonction du niveau de gris dans l"image, i.e., la distribution des valeurs de niveaux de gris dans une image 5OPÉRATIONS PONCTUELLES
HISTOGRAMME DES NIVEAUX DE GRIS (2)
Exemples
6OPÉRATIONS PONCTUELLES
AMÉLIORATION DU CONTRASTE (1)
Transformation Linéaire
Transformation Linéaire avec Saturation
Transformation Linéaire par Morceau
Égalisation de l"Histogramme
7OPÉRATIONS PONCTUELLES
AMÉLIORATION DU CONTRASTE (2)
Transformation Linéaire
min max f?(x,y) =255max -min? f(x,y)-min? f(x,y)-min? max -min?[0,1] 8OPÉRATIONS PONCTUELLES
AMÉLIORATION DU CONTRASTE (3)
Transformation Linéaire avec Saturation
min max f?(x,y) =255Smax - Smin? f(x,y)-Smin? f ?(x,y)≥255-→f?(x,y) = 255 9OPÉRATIONS PONCTUELLES
AMÉLIORATION DU CONTRASTE (4)
Transformation Linéaire par morceau
min maxRemarque
Paliers horizontaux?Perte d"information
Sauts verticaux?Discontinuité et artefacts
Pentes négatives?Inversion locale de contraste 10OPÉRATIONS PONCTUELLES
AMÉLIORATION DU CONTRASTE (5)
Égalisation d"Histogramme
min maxC[i]Densité de probabilité cumulative
Étapes
h(i), i?[0,255]Histogramme non normalisée
hn(i) =h(i)
NMHistogramme normalisée (proportion)
C(i) =i?j=0h
n(j)Densité de probabilité cumulative f?(x,y) =?C[f(x,y)]?255]?(avecC[f(x,y)]?[0,1]) 11OPÉRATIONS PONCTUELLES
AMÉLIORATION DU CONTRASTE (6)
Démonstration (cas continue et normalisée)
SiT(r)est strictement monotone,
p r(r)dr=ps(s)ds p s(s) =pr(r)dr ds=pr(r)1ds drSi on pose que, s=T(r) =? r 0 p r(w)dw=C(r)(DDP cumulative) ds dr=pr(r) ps(s) = 1?s 12OPÉRATIONS PONCTUELLES
AMÉLIORATION DU CONTRASTE (7)
Égalisation d"Histogramme (cas discret)
Histogramme plat autant que possible
L"ordre des NdeG est maintenu (fonction croissante) Les rectangles (barres) ne sont pas fragmentés0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Ancien
0 0 0 1 1 1 3 5 8 9 9 11 Nouveau
13OPÉRATIONS PONCTUELLES
AMÉLIORATION DU CONTRASTE (8)
Égalisation obtenue (cas discret)
Exemple
f?(x,y) =?C[f(x,y)]?11?3/120?11 = 0
6/120?11 = 0
10/120?11 = 0
14/120?11 = 1
17/120?11 = 1
18/120?11 = 1
38/120?11 = 3
14OPÉRATIONS PONCTUELLES
AMÉLIORATION DU CONTRASTE (9)
Égalisation d"Histogramme -Exemple-
15OPÉRATIONS PONCTUELLES
SPÉCIFICATION DE L"HISTOGRAMME
?Il est quelquefois interéssant de donner à l"histogramme une forme particulière, par exemple pour favoriser cer- taines plages de densité où l"on recherche des détailsÉtapesPR(r)?PZ(z)
Égalisation d"Histogramme dePR(r)?PS(s)
Obtention de la fonction de répartition de l"imaged"arrivéePZ(z)Transformation finale,f?(x,y)?
image z=?G-1[f(x,y)???? image v]?255? 16OPÉRATIONS PONCTUELLES
OPÉRATION ALGÉBRIQUES ENTRE IMAGES (1)
Sommation & Réduction du Bruit par Moyennage
Exemple de réduction de bruit par moyennage
(a) Image bruitée ; (b)-(f) Résultat du moyennage après2,8,16,32,128sommations et moyennage ?Recalage adéquatRapport Signal sur Bruit
?f B? moy =⎷n?fB? Avecn, le nombre d"image impliqué dans le moyennage 17OPÉRATIONS PONCTUELLES
OPÉRATION ALGÉBRIQUES ENTRE IMAGES (2)
Démonstration
Soitnimages d"une même scène. Chaque imagegi(x,y) est composée de g i(x,y) =f(x,y) +bi(x,y) Avecbi(x,y)≂N(0,σ2)(bruit gaussien de moyenne nulle et de varianceσ2). On suppose ce bruit blanc (i.e., non corrélé),E{bi(x,y)bj(x,y)}= 0sii?=j
Pour chaque imagei, un rapport signal sur bruit (RSB) (f/σ)ipeut être défini. ?Sommation et moyennage denimages : g(x,y) =1nn i=1g i(x,y)Nouveau RSB deg?
g(x,y) =1nn i=1? f(x,y) +bi(x,y)?=f(x,y) +1nn i=1b i(x,y) b(x,y) ?Signal inchangé ?Bruitb(x,y)a un écart typeσbtq,2b=E{?1
nn i=1b i(x,y)?2} 18OPÉRATIONS PONCTUELLES
OPÉRATION ALGÉBRIQUES ENTRE IMAGES (2)
2b=E??1
nn i=1b i(x,y)?2? 1 n2E??b1(x,y) +b2(x,y) +...+bn(x,y)?2?MaisE{bi(x,y)bj(x,y)}= 0sii?=j, sinon (sii=j)
E{bi(x,y)bj(x,y)}=σ2
2b=1 n2nσ2 σ2 nσb=σ⎷n
RSB de(g/σb)
(g/σb) =⎷n(f/σ)Conclusion
Pour128images (sommées et moyennées entre elle), le bruit est réduit d"un facteur⎷ 12819
OPÉRATIONS PONCTUELLES
OPÉRATION ALGÉBRIQUES ENTRE IMAGES (3)
Soustraction d"images & Détection des changementsImages aérienne de la ville de Cincinnati
Applications
Détection des changements
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