Actuariat de lAssurance Non-Vie # 1 A. Charpentier (Université de PDF

ASSURANCE NON-VIE

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Assurance Non-Vie provisionnement

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Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

Actuariat de l"Assurance Non-Vie # 1

A. Charpentier(Université de Rennes 1)

ENSAE 2017/2018

credit: Arnold Odermatt Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

Rapide Introduction

A. Charpentier(Université de Rennes 1)

Professor Economics Department, Univ. Rennes 1

(previously Actuarial Sciences, UQàM & ENSAE Paristech actuary in Hong Kong, IT & Stats FFA) PhD in Statistics (KU Leuven), Fellow of the Institute of Actuaries MSc in Financial Mathematics (Paris Dauphine) & ENSAE

Research Chair

ACTINFO

(valo risationet nouveaux usages a ctuarielsde l"info rmation)

Editor of the

freak onometrics.hypotheses.org "s blog

Editor of

Computational A ctuarialScience

, CRC

Autor of

Mathématiques de l"Assurance Non-Vie

(2 vol.), Economica Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

Quelques références

Denuit & Charpentier (2005).

Mathématiques de l" AssuranceNon-Vie

. Economica. Dhaeneet al.(2005).Mo dernA ctuarialRisk Theo ry. Springer Verlag.

Ohlsson & Johansson (2010)

No n-lifeInsurance Pricing with Gener alizedLinea rMo dels . Springer de Jong & Heller (2008).

Generalized Linea rMo delsfo rInsuran ceData

. Cambridge University Press. Denuitet al.(2007)A ctuarialMo dellingof Claims Counts . Wiley.

Cameron & Trividi (2013)

Regression Analysis of Coun tData Bo ok

. Cambridge University Press

Hilbe (2011)

Negative Binomial Regression

Camb ridgeUniversit yPress

McCullagh & Nelder (1989)

Generalized Linea rMo dels

. CRC.

Wood (2006)

Generalized A dditiveMo dels

. CRC Hastieet al.(1001)The Elements of Statistical Lea rning. Springer.

Charpentier. (2015).

Computational A ctuarialPricing, with R

. CRC.

Wüthrich & Merz. (2008).

Sto chasticClaims Reserving Metho dsin Insurance

. Wiley. Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

Plan du Cours

Introduction Générale à la tarification en assurance non-vie Classification, régression logistique et arbres de classification Régression de Poisson et surdispersion (Binomiale Négative, Zero-Inflated) Tarification a posteriori, modèles de crédibilité Modélisation des coûts individuels, grands risques Modèle collectif vs. modèle individuel, régression Tweedie

Provisions pour Sinistres à Payer

CfFSA: Applications of Statistical Techniques Module@freakonometricsfreakonometricsfreakonometrics.hypotheses.org4

Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

La notion de 'prime pure"

Pour une variable de comptage

E(N) =?

n?NnP(N=n) =? n?NP(N > n)

Pour une variable continue positive

E(X) =?

x?R+xf(x)dx=? x?R+P(X > x)dx oùP(X > x) =F(x) =? x Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

La notion de 'prime pure"

Plus généralement,

E(X) =?

x?RxdF(x) dF(x) =? ?F(dn)-F(d-n)six=dn f(x)sinon où

F(x) =?

Etant donné un risqueX, la prime pure estπX=E[X].@freakonometricsfreakonometricsfreakonometrics.hypotheses.org6

Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

Calcul pour des lois classiques

Pour les

lois discrètes classiques •siN≂ B(n,p),P(N=k) =?n k? p k[1-p]n-k, alorsE(X) =np, et

Var(X) =np(1-p) •siN≂ P(λ),P(N=k) =e-λλkk!, alorsE(X) =λ, et Var(X) =λ=E(X) •siN≂NB(r,p),P(N=k) =Γ(r+k)k!Γ(r)pr[1-p]k, alorsE(X) =r[1-p]p , et Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017
Calcul pour des lois classiques

Pour les
lois con tinues classiques •siN≂ N(μ,σ2),?(x) =1σ ⎷2πexp? (x-μ)22σ2? , alorsE(X) =μ, •siN≂LN(μ,σ2),f(x) =1xσ ⎷2πexp? [ln(x)-μ]22σ2? , alors
E(X) = exp?

μ+σ22
•siN≂ G(α,β),f(x) =xα-1βαe-β xΓ(α), alorsE(X) =αβ Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017 Espérance mathématique d"une loi composée Dans un modèle collectif, on s"intéresse àS=N? n=1X isiN≥1,0sinon.
Si lesXisont i.i.d., indépendants deN, alors

E[S] =E[E(S|N)] =+∞?
k=1P[N=k]·E? k? i=1X i? k=1P[N=k]·k?
E[X1] =E[N]·E[X1].
où •E[N]est lafr équence •E[X1]est lec oûtmo yen@freakonometricsfreakonometricsfreakonometrics.hypotheses.org9 Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017
Espérance, Fair Price et Prime Pure
Pascal, Fermat ou Condorcet (XVIIIème siècle) proposaient d"évaluer le "produit scalaire des probabilités et des gains", =n? i=1p ixi=EP(X), selon la "règle des parties"=?garantie un équilibre du système, en moyenne. L"espérance mathématique est un prix "juste"Feller (1968), •moindres carrés,E(X)= argmin{?X-c??2,c?R} •loi des grands nombres,X1+...+Xnn
P→E(X),
•théorème central limite,X1+...+Xnn
L≂ N?

E(X),V ar(X)⎷n
•probabilité de ruine,limn→∞P?X1+...+Xnn = 1pourπ Prime Pure Sans Segmentation

?E(Y) =argmin m?R{?Y-m??2}=argmin m?R{E?[Y-m]2?}

Var(Y) =minm?R{E?[Y-m]2?}=E?[Y-E(Y)]2?

???y=argmin m?R{n? i=11n [yi-m]2} s

2=minm?R{n?

i=11n [yi-m]2}=n? i=11n Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

Éxcédant Moyen de Sinistre

L" excédant moyen de sinistre (encore app elédurée de vie mo yennere stanteen assurance sur la vie) est défini par e

X(x) =E[X-x|X > x]

1F X(x)? x (s-x)dFX(s), x≥0.@freakonometricsfreakonometricsfreakonometrics.hypotheses.org12 Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

Éxcédant Moyen de Sinistre

Loi de probabilitée

X(x)E(λ)1

G(α,β)α

1-Γ(α+ 1,βx)1-Γ(α,βx)-xLN(μ,σ2)exp(μ+σ22

?ln(x)-μ-σ2σ ?ln(x)-μσ -xPareto(α,x0)x Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

Primes Stop-Loss ou Contrat avec Franchise

Etant donné un risqueX, lapri mestop-loss p ourune franc hised≥0est définie par

X(d) =E[(X-d)+] =eX(d)F(d).

Un traité de réassurance stop-loss (ou excédent de perte) consiste à faire prendre en charge par le réassureur la partie de la charge totaleSdes sinistres qui dépasse une certaine sommed. La portion réassurée, notéeSR, est donc définie par S

R= (S-d)+=?

S-d,siS > d.

La prime pure que la cédante devra verser au réassureur pour un tel contrat, appelée prime stop-loss, est donnée par E[SR] =E[(S-d)+].@freakonometricsfreakonometricsfreakonometrics.hypotheses.org14 Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017 Etant donné un risqueX, la prime stop-loss pour une rétentiont≥0est définie par

X(t) =E[(X-t)+].

La fonctionπXest encore appelée la transformée stop-loss de la variable aléatoirequotesdbs_dbs5.pdfusesText_9

[PDF] Actuariat de lAssurance Non-Vie # 1 A. Charpentier (Université de

Actuariat de l"Assurance Non-Vie # 1

A. Charpentier(Université de Rennes 1)

ENSAE 2017/2018

Rapide Introduction

A. Charpentier(Université de Rennes 1)

Professor Economics Department, Univ. Rennes 1

Research Chair

ACTINFO

Editor of the

Editor of

Computational A ctuarialScience

Autor of

Mathématiques de l"Assurance Non-Vie

Quelques références

Denuit & Charpentier (2005).

Mathématiques de l" AssuranceNon-Vie

Ohlsson & Johansson (2010)

Generalized Linea rMo delsfo rInsuran ceData

Cameron & Trividi (2013)

Regression Analysis of Coun tData Bo ok

Hilbe (2011)

Negative Binomial Regression

Camb ridgeUniversit yPress

McCullagh & Nelder (1989)

Generalized Linea rMo dels

Wood (2006)

Generalized A dditiveMo dels

Charpentier. (2015).

Computational A ctuarialPricing, with R

Wüthrich & Merz. (2008).

Sto chasticClaims Reserving Metho dsin Insurance

Plan du Cours

Provisions pour Sinistres à Payer

La notion de 'prime pure"

Pour une variable de comptage

E(N) =?

Pour une variable continue positive

E(X) =?

La notion de 'prime pure"

Plus généralement,

E(X) =?

F(x) =?

Calcul pour des lois classiques

Pour les

Calcul pour des lois classiques

Pour les

E(X) = exp?

μ+σ22

Si lesXisont i.i.d., indépendants deN, alors

E[S] =E[E(S|N)] =+∞?

E[X1] =E[N]·E[X1].

Espérance, Fair Price et Prime Pure

P→E(X),

L≂ N?

E(X),V ar(X)⎷n

Var(Y) =minm?R{E?[Y-m]2?}=E?[Y-E(Y)]2?

2=minm?R{n?

Éxcédant Moyen de Sinistre

X(x) =E[X-x|X > x]

Éxcédant Moyen de Sinistre

Loi de probabilitée

X(x)E(λ)1

G(α,β)α

1-Γ(α+ 1,βx)1-Γ(α,βx)-xLN(μ,σ2)exp(μ+σ22

Primes Stop-Loss ou Contrat avec Franchise

X(d) =E[(X-d)+] =eX(d)F(d).

R= (S-d)+=?

S-d,siS > d.

X(t) =E[(X-t)+].