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M´ecanique des fluides

Auteur:Yann MARCHESSE

D´epartement:G´enie´Energ´etique et M´ecanique

´Edition:Ann´ee universitaire 2016-2017

ECOLE CATHOLIQUE D"ARTS ET M´ETIERS

40 Mont´ee Saint-Barth´elemy - 69321 Lyon Cedex 05

T´el. : 04 72 77 06 00 - Fax : 04 72 77 06 11

www.ecam.fr iii

M´ecanique des fluides

Yann MARCHESSE

D´epartement de G´enie´Energ´etique et M´ecanique´Ecole Catholique d"Arts et M´etiers

-Lyon

Date de compilation du document : 11 avril 2016

´ECOLE CATHOLIQUE D"ARTS ET M´ETIERS

40 Mont´ee Saint-Barth´elemy - 69321 Lyon Cedex 05

T´el. : 04 72 77 06 00 - Fax : 04 72 77 06 11

www.ecam.fr

Sommaire

1 D´efinitions et rappels. . . . . . . . . . .3

1.1 G´en´eralit´es3

1.2 Conservation de la masse7

1.3 Bilan de quantit´e de mouvement9

1.4 Th´eor`eme de Bernoulli12

1.5 Pertes de charge13

1.6 Mesure du d´ebit dans les conduites18

1.7 Exercices22

2 Principe de fonctionnement des pompes centrifuges. . . .25

2.1 G´en´eralit´es sur les turbomachines26

2.2 G´en´eralit´es sur les pompes centrifuges28

2.3 Vitesse sp´ecifique31

2.4 Similitudes35

2.5 Analyse externe d"une pompe centrifuge36

2.6 Analyse interne d"une pompe centrifuge63

2.7 Analyse interne d"une pompe axiale74

2.8 Adaptation des conditions de fonctionnement77

2.9 Exercices82

3 Ph´enom`enes transitoires dans les conduites. . . . . .95

3.1 Origine des ph´enom`enes transitoires95

3.2 Cons´equences des ph´enom`enes transitoires96

3.3´Equations g´en´erales du mouvement dans une conduite en r´egime transitoire96

3.4 Coup de b´elier de masse98

3.5 Coup de b´elier d"ondes103

3.6 Consid´erations pratiques111

3.7 Moyens de protection des conduites112

3.8 M´ethode graphique de Bergeron114

3.9 Exercices130

4 Introduction `a l"a´erodynamique. . . . . . . . .141

4.1 La r´esultante a´erodynamique141

4.2 Origine de la portance143

4.3 Origine des forces de r´esistance (traˆın´ee)144

4.4´Etude simple de la couche limite147

4.5 Coefficients sans dimension159

4.6 Estimations des efforts a´erodynamiques167

2SOMMAIRE

4.7 Exercices175

Bibliographie sommaire. . . . . . . . . . . .183

A Annexes. . . . . . . . . . . . . . .187

A.1 Quelques dates essentielles en m´ecanique des fluides187

A.2 Principaux nombres sans dimensions190

A.3 Propri´et´es de l"eau et de l"air192

A.4 Conversion d"unit´es193

B R´eponses `a certains exercices propos´es. . . . . . .195 C Traduction de termes techniques anglais. . . . . . .199

Chapitre 1

D´efinitions et rappels

Le but de ce chapitre est d"une part de rappeler les deux expressions math´ematiques obtenues par application de la conservation de la masse et dubilan de quantit´e de mou- vement, deux principes fondamentaux de la m´ecanique des fluides. Ces expressions seront

´ecrites sous les formes int´egrales et locales. On rappellera ensuite le th´eor`eme de Bernoulli

utile `a toute ´etude d"´ecoulements dans les canalisations. Enfin, le ph´enom`ene de pertes

de charge sera abord´e. Toutes ces notions seront utilis´ees par la suite dans le document. On attachera une importance non n´egligeable aux ´equations de conservations de masse

et de quantit´e de mouvement, celles-ci apr`es quelques hypoth`eses av´er´ees se d´eclinant en

de multiples expressions non moins utiles. Notons qu"´ecrire ces grands principes est une premi`ere ´etape, les comprendre en est une autre. En effet, la th´eorie insuffisante pour construire des machines permet au moins de s"en servir intelligemment et les transformer si besoin est.

1.1 G´en´eralit´es

Cette partie pr´esente bri`evement quelques aspects li´es`a la physique des ´ecoulements. Ceci nous permettra essentiellement de d´efinir le concept de particule fluide bas´e sur l"hypoth`ese d"un milieu continu. Celle-ci est tr`es utilecar le mouvemement d"un fluide

peut alors ˆetre d´ecrit sans faire l"analyse d´etaill´ee de la dynamique des particules discr`etes

qui le composent.

4D´efinitions et rappels

1.1.1 Quelques hypoth`eses

Hypoth`ese de continuit´e: les propri´et´es d"un milieu, qu"il soit solide ou fluide, ne

sont pas uniform´ement distribu´ees. Cette distribution apparaˆıt d"autant moins uniforme

que l"´echelle d"observation est petite. Dans le cadre de notre ´etude, on se place `a une

´echelle telle qu"un ´el´ement de volume appel´eparticule fluide, suffisamment petit pour

que la mesure puisse ˆetre consid´er´ee comme locale, soit suffisamment grand pour contenir un grand nombre de mol´ecules. La mati`ere apparaˆıt alors comme unmilieu continu.

Les quantit´es associ´ees `a la mati`ere, telles que la vitesse, la pression et la temp´erature

sont consid´er´ees comme r´eparties sur tout le domaine d"´etude. On les repr´esente par

des fonctions continues. L"hypoth`ese d"un milieu continune permet donc pas l"´etude des ´ecoulements `a basse densit´e, des ´ecoulements `a travers les milieux poreux et des

ph´enom`enes d"ondes de choc (ceux-ci se caract´erisant par des discontinuit´es des propri´et´es

de l"´ecoulement telles que la temp´erature, la pression,...).

Homog´en´eit´e et isotropie: une sp´ecificit´e du fluide est d"ˆetre un ´etat condens´e mais

d´esordonn´e de la mati`ere. Il est alors naturel de supposer ses propri´et´es physiques comme

´etant identiques en tout point du domaine d"´etude (homog´en´eit´e) et demeurant ind´ependan-

tes d"un changement de direction (isotropie).

1.1.2 Les contraintes appliqu´ees aux particules fluides

Les particules fluides d"un ´ecoulement ne sont pas isol´ees, mais interagissent entre elles en ´echangeant de la quantit´e de mouvement. Ce paragraphe se propose de caract´eriser les contraintes mises en jeu. Consid´erons pour cela une surface ´el´ementairedSsitu´ee dans

un ´ecoulement. Les efforts-→dFexerc´es sur cette surface par les particules fluides voisines

permettent de d´efinir un vecteur unitaire d"effort (ou densit´e surfacique d"effort)-→T tel

que-→dF=-→TdSappel´evecteur contrainte, et li´e au tenseur des contraintes

σ, tenseur

d"ordre deux, tel qu"en tout point M on ait : -→T =

σ-→nou Ti=σijnj(1.1)

Le tenseur des contraintes rassemble tous les efforts s"exer¸cant sur les surfaces des parti- cules fluides

1. Ces contraintes sont caract´eris´ees par des efforts normaux li´es `a la pression,

et tangents `a la surface appel´ees contraintes de cisaillement. Contraintes de pression: la pression agit de fa¸con isotrope sur le fluide, et sa valeur ne

d´epend que de l"´etat thermodynamique du fluide. La contrainte li´ee `a la pression s"´ecrit

sous forme indic´ee-pδijo`uδijest le tenseur de Kroenecker (δij= 1 sii=j,δij= 0 sinon). Une autre ´ecriture est possible sous forme matricielle : -p p0 0 0p0

0 0p))

1.`A ces efforts, il faut rajouter ensuite les efforts s"appliquant sur le volume de la particule fluide (les

efforts de pesanteur par exemple).

G´en´eralit´es5

Contraintes de cisaillement: dans un ´ecoulement, les particules fluides sont en mou- vement et sont en contact entre elles. Les contraintes ext´erieures s"appliquant sur leur

surface g´en´erent alors une d´eformation de leur volume aucours du temps caract´eris´ee

par untaux de d´eformation. Ce dernier peut ˆetre exprim´e en fonction du champ de vitesse : d ij=1 2? ∂ui∂xj+∂uj∂xi?

Lorsque le taux de d´eformation est lin´eaire avec la contrainte appliqu´ee, le fluide est dˆıt

newtonienet le rapport est ´egal `a la viscosit´e dynamique donn´ee enPa.s :

μ=contrainte de cisaillement

2(taux de d´eformation).(1.2)

L"exp´erience montre que pour une augmentation de la temp´erature, la viscosit´e d"un gaz augmente tandis que celle du liquide diminue. Dans le casdu gaz, la viscosit´e est ind´ependante de la pression, ce qui n"est plus vrai en pr´esence d"un liquide. Dans beau- coup de probl`emes o`u les contraintes visqueuses doivent ˆetre prises en compte, il est plus commode d"utiliser laviscosit´e cin´ematiqueν=μ/ρ(m2/s).

Pour les gaz, la loi de Sutherland permet d"estimer la viscosit´e `a partir de sa temp´erature :

μ(T)

μ0=?TT0?

3/2T0+ST+S

o`uμ0est la viscosit´e `a la temp´eratureT0etSla temp´erature de Sutherland ´egale `a 110,4

K pour l"air.

Notons d`es `a pr´esent que la viscosit´e d"un fluide est une des origines des pertes de charge lin´eaires d"un ´ecoulement. Le tenseur des contraintes visqueuses s"´ecrit pour des fluides dˆıt newtonien (comme l"air, l"eau et beaucoup de liquide) : ij=μ?∂ui ∂xj+∂uj∂xi? -23μ∂uk∂xkδ ij(1.3)

o`u le deuxi`eme terme devient nul dans le cas d"´ecoulementincompressible, caract´eris´e par

la relation div-→V= 0. Le terme-2/3 provient de l"hypoth`ese de Stokes

2. Si on consid`ere

ce type d"´ecoulement, la matrice du tenseur des contraintes visqueuses s"´ecrit alors dans la base de vecteurs (-→x ,-→y ,-→z) :

τ=μ((((((((((((2

∂u ∂x? ∂v∂x+∂u∂y? ? ∂w∂x+∂u∂z? ∂u ∂y+∂v∂x?

2∂v∂y?

∂w∂y+∂v∂z? ∂u ∂z+∂w∂x? ? ∂v∂z+∂w∂y?

2∂w∂z))))))))))))

2. Afin de satisfaire certaines conditions math´ematiques sur ce tenseur, celui-ci s"´ecritτij=

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