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Modélisation dynamique des structures de conversion DC/DC pour la régulationJulien Flamant-julien.flamant@ens-cachan.fr

Motivation :Jusqu"à présent, nous avons analysé les structures de conversion DC/DC dans un cadre

purement statique. En pratique, une étude dynamique de ces structures s"impose en vue de prédéterminer

les asservissements et les correcteurs dont ils sont couramment munis. La difficulté principale de cette étude

réside dans le principe même de ces convertisseurs : le phénomène de découpage impose des topologies de

circuit différentes au cours d"une même période de découpage. Cette non-linéarité induite peut néanmoins

être contournée en transformant le système en un système moyen invariant, puis en linéarisant autour d"une

position d"équilibre. Cette approche est d"autant plus valide que la période de découpage est très souvent

inférieure aux constantes de temps des différentes grandeurs filtrées.

Pour l"étude des convertisseurs DC/DC, nous supposerons que l"on se trouve dans le cas d"uneconduction

continue.

Table des matières

1 Valeur moyenne d"une variable d"état et période de découpage 1

1.1 Variables d"état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2 Exemple introductif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.4 Conservation du système différentiel par passage à la valeur moyenne. . . . . . . . . . . . . . .

3

2 Modélisation par la méthode des générateurs moyens 4

3 Modélisation par modèle d"état moyen 6

3.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

3.2 Démarche générique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1 Valeur moyenne d"une variable d"état et période de découpage

Dans toute la suite, on noteTla valeur de la période de découpage du convertisseur considéré. Celle-ci sera

supposée constante au cours de l"étude. Les interrupteurs sont supposésidéaux, ainsi que les composants

passifs.

1.1 Variables d"état

Le choix des variables d"état d"un système se porte principalement vers les deux grandeurs physiques toujours

continues : le flux dans les circuits magnétiques'et la charge dans les composants diélectriquesQ. On rappelle

les relations fondamentales : '=Lil Q=Cvc

Si le système peut être supposé invariant (pas de vieillissement des composants par exemple), alors les variables

d"état deviennent le courant dans une inductanceilet la tension aux bornes d"un condensateurvc.

1.2 Exemple introductif

Considérons le montage suivant :

1 Modélisation dynamique des convertisseurs DC/DC

E(t)Li

lRv sFigure1 -Exemple introductif : un circuit L-R alimenté par une source de tension découpée.

La tensionE(t)est telle que :

8k2ZE(t) =(

1V sit2[kT;(k+)T[

0V sit2[(k+)T;(k+ 1)T]

Par exemple choisissons le rapport cyclique= 0:8. On simule ce circuit électrique des plus simple à l"aide

deSimulink. On s"intéresse particulièrement à l"évolution du courantil(t)au cours du temps, en imposant

i

l(0) = 0. Cette évolution est représentée sur la figure 2.0510311021:5102210202102410261028102Temps (s)i

l(t)Figure2 -Simulation du circuit présenté. Les valeurs des composants sontL= 10mH etR= 10 pour une fréquence de découpageF= 1kHz. La courbe en vert correspond à la réponse du système à un échelon d"amplitudeE= 0:8V

On constate que la réponse du système à une excitation découpée de rapport cycliquecorrespond à la somme

de deux signaux, la réponse à un échelon de tension d"amplitudeEet un réponse haute fréquence due au

découpage. Cela nous mène à écrire l"égalité suivante, qui décompose le courantil(t)en deux composantes,

basse fréquence d"une part et haute fréquence d"autre part. i l(t) =hiliT(t) +ilHF(t)

L"intérêt de cette décomposition est quelle sépare les effets du découpage de la dynamique basse fréquence sous-

jacente. C"est pour cela que l"on note la composante basse fréquence sous la forme d"une moyenne temporelle

glissante sur une période de découpage. En effet, on peut écrire : hiliT(t) =1T Z t+T t i l()d

Cette approximation est bien entendue valide dans le cas où la période de découpage est très faible vis à vis

des constantes caractéristiques du système, comme c"est le cas ici. 2 Modélisation dynamique des convertisseurs DC/DC

1.3 Propriétés

Dans ce qui suit, nous allons établir plusieurs propriétés utiles lors de la modélisation des convertisseurs

DC-DC.

Evolution de la composante basse fréquence.Précédemment, nous avons introduit la notationhxiT(t)

qui dénote la composante basse fréquence de la grandeurx. Cette composante basse fréquence évolue bien

entendu dans le temps, et l"on notera à présent : hxiT(t) =Xe+ ~x(t)

oùXedésigne la valeur à l"équilibre de la grandeurx, et~xdésigne une variation basse fréquence (par rapport

à la fréquence de découpage) de cette grandeur. On verra dans les parties suivantes toute l"importance de cette

grandeur~x, puisque c"est elle qui interviendra lorsque l"on cherchera à exprimer des fonctions de transfert.

Lien entre dérivée et valeur moyenne sur une période de découpage.On s"intéresse maintenant à

la quantitéhdxdt iT. Soitx(t)une grandeur d"état. On a : h dxdt iT=1T Z t+T t dx=x(t+T)x(t)T

Or on se rappelle que l"on peut décomposerx(t)sous la formex(t) =hxiT+xHF(t). Il convient alors de

remarquer que la composantexHF(t)est périodique de périodeT(voir exemple introductif). Il vient alors :

h dxdt iT=hxiT(t+T) hxiT(t)T

Cette grandeur peut alors être approximée en général par la dérivée dehxiT(t), la période de découpageT

étant très faible :

h dxdt iT'dhxiTdt Valeur moyenne sur une période de découpage d"un produit de deux grandeurs.Considérons

deux grandeurs,x(t)une grandeur d"état etu(t)la commande. On cherche à exprimer la moyenne sur une

période de découpage du produitx(t)u(t): hxuiT=h(hxiT+xHF)(huiT+uHF)iT ' hxiThuiT

Ce résultat fondamental est obtenu ici en se rappelant quehxHFiT=huHFiT= 0et en considérant que le

termehxHFuHFiTest négligeable, étant donné que le termexHFest d"amplitude très faible carxest une

grandeur filtrée (par les éléments passifsL,RetC) : on peut alors considérer quehxHFuHFiT'0.

1.4 Conservation du système différentiel par passage à la valeur moyenne.

Revenons à présent sur l"exemple introductif. La variable d"état est ici le courantildans l"inductance. On peut

écrire le système différentiel suivant, en fonction de la valeur de la tensionE(t). On noteE= 1V.

E(t) = 1E=Ldildt

+Ril(t)

E(t) = 0 0 =Ldildt

+Ril(t) Ce système peut se mettre sous la forme condensée suivante : L dildt +Ril(t) =E(t) 3 Modélisation dynamique des convertisseurs DC/DC

Passons à présent à la valeur moyenne sur une période de découpage. A l"aide des résultats précédents, on

obtient donc : L dhiliTdt +RhiliT(t) =hEiT(t)

On vient donc de montrer que l"évolution basse fréquence deil(autrement dit la moyenne sur une période de

découpage) et deE(t)obéit à la même équation différentielle que le système découpé.Ceci justifie

donc l"utilisation dehili(t)pour étudier la dynamique du système : on s"affranchit donc du phénomène de

découpage.

RemarqueBien qu"ici on se soit placé dans le cas d"un circuitLR, on aurait exactement le même résultat

dans le cas d"un circuitRC, à savoir qu"il y aurait conservation de l"équation d"Ohmic=dvcdt par passage

à la valeur moyenne.

2 Modélisation par la méthode des générateurs moyens

Dans toute la suite, on supposera que l"on est en conductioncontinue. Nous illustrerons cette méthode au

travers d"un exemple, le hacheur "buck".Eu(t)Li lCRv sFigure3 -Schéma du hacheur série, dit "buck"

La méthode des générateurs moyens, aussi appelée modèle de Vorperian, consiste à remplacer les interrupteurs

de puissance par des générateurs de tension (resp. courant) de valeur égale à la valeur moyenne de la tension

(resp. courant) sur une période de découpage. Les valeurs de ces tensions et courants moyens seront exprimées

préférentiellement en fonction des grandeurs d"étatil(t)etvs(t).

Dans le cas présent du hacheur série, nous allons chercher le générateur de courant moyen correspondant à

l"interrupteur, et le générateur de tension moyen correspondant à la diode.

Etude en fonction deu(t)Pouru(t) = 1, l"interrupteur est fermé et donc le courant dans l"interrupteur

est égal àiK=il. De même, la tension aux bornes de la diode estvd=E. Pouru(t) = 0, on a immédiatement

i K= 0etvd= 0. On peut alors écrire l"expression deiketvdà tout instantt: i k(t) =u(t)il(t)etvd(t) =u(t)E

Passage à la moyenne sur un période de découpageEn utilisant la propriété sur le produit à la section

1.3, on obtient :

hikiT(t) =huiThiliTethvdiT(t) =huiTE

Cela donne le schéma équivalent suivant :

4 Modélisation dynamique des convertisseurs DC/DC EhuiThiliThuiTELhiliTCRhvsiTFigure4 -Schéma équivalent moyen du hacheur série.

On constate tout d"abord quetoutes les grandeurs électriques instantanées sont transformées en leur

valeurs moyenne sur une période de découpage. De plus, on peut tout de suite simplifier ce schéma en

"oubliant" la partie la plus à gauche, celle-ci étant court-circuitée par une source de tension. Ce schéma va à

présent nous permettre d"obtenir à la fois les valeurs d"équilibre et la dynamique des grandeurs d"étatiletvs.

Dans toute la suite, on pose :

huiT=e+ ~ hiliT=Ile+~il hvsiT=Vse+ ~vs

Etude en régime statique.L"étude en régime statique se fait en remplaçant les grandeurs moyennées par

leur valeurs d"équilibre. On trouve immédiatement : I le=eER V se=eE

Etude en régime dynamiqueOn s"intéresse maintenant aux fonctions de transfert~vs~et~il~. Pour cela,

on cherche le schéma petits signaux du dispositif : une manière simple de l"obtenir est d"éteindre les sources

continues, à l"instar de l"étude du régime dynamique des montage amplificateurs à transistors.~EL~

ilCR~vsFigure5 -Schéma équivalent petits signaux du hacheur série.

A partir de ce schéma, on peut obtenir facilement les fonctions de transfert recherchées. On a les relations :

~vs=11 R +CpLp+11 R +Cp~E il=~ELp+11 R +Cp On obtient alors les fonctions de transfert recherchées : ~vs~=E1 + LR p+LCp2~ il~=ER

1 +RCp1 +

LR p+LCp2 5 Modélisation dynamique des convertisseurs DC/DC

Remarque.Cette méthode, bien que très simple à mettre en oeuvre, comporte un inconvénient majeur. En

effet, l"étude de structures plus complexes se transforme vite en "bouillabaisse équationnelle" de par la multi-

plication des générateurs moyens associés aux interrupteurs. Dans la suite, on présentera une autre méthode

basée sur l"étude d"un système d"état, et qui à l"avantage de résoudre en partie ce problème d"accumulation

des équations.

3 Modélisation par modèle d"état moyen

3.1 Exemple

Le principe de la modélisation par modèle d"état, oustate-space averagingrepose sur l"expression du modèle

d"état pour chaque état de la commandeu(t). Voyons comment cette méthode s"articule au travers d"un

exemple, le hacheur "boost".ELi lu(t)CRv sFigure6 -Schéma du hacheur parallèle, dit "boost"

Les grandeurs d"état sont ici le courant dans l"inductanceilet la tension aux bornes du condensateurvs. On

pose le vecteur d"étatx=ilvs T.

Etat 1 :u(t) = 1L"interrupteur est fermé, on obtient alors les relations suivantes faisant intervenir les

différentes grandeurs d"état :

E=Ldildt

C dvsdt +vsR = 0 On peut réécrire ce système d"équations sous la forme d"une équation d"état : _x=0 0 01RC |{z} A 1x+ EL 0 |{z} B

1=A1x+B1(1)

Etat 2 :u(t) = 0L"interrupteur est ouvert, on a alors les relations suivantes :

E=Ldildt

+vs i l=Cdvsdt +vsR

On obtient l"équation d"état suivante :

_x=01L 1C 1RC |{z} A 2x+ EL 0 |{z} B

2=A2x+B2(2)

6 Modélisation dynamique des convertisseurs DC/DC

Obtention du modèle d"état instantanéPour obtenir le modèle d"état instantané, il suffit de combiner

les équations (1) et (2). (1)u(t) + (2)(1u(t)) =)_x= (A1u(t) +A2(1u(t)))x+B1(3)

où l"on a remarqué queB1=B2. Ce système d"état est donc valable à tout instantt, et quelque soitu(t).

Passage au modèle moyenPour passer au modèle moyen - c"est à dire s"affranchir du découpage -

nous allons utiliser un certain nombre de propriétés démontrées au 1.3. Tout d"abord, on pose les grandeurs

moyennes : huiT(t) =e+ ~ hxiT(t) =Xe+ ~x

On applique l"opération de moyennage au système d"état instantané (3). On obtient alors :

dhxiTdt = (A1huiT+A2(1 huiT))hxiT+B1(4) où l"on a utilisé les propriétésh_xiT=dhxiTdt ethxuiT=hxiThuiT.

Etude de l"état d"équilibreOn va tout d"abord étudier l"état d"équilibre du système. On a donc :

huiT(t) =e hxiT(t) =Xe En remplaçant dans l"équation du modèle moyen, on obtient : X e=[A1e+A2(1e)]1B1

Ce qui donne le résultat suivant, bien connu puisque correspondant à l"approche statique des convertisseurs :

IleV se

ER(1e)2

E1e! (5)

Linéarisation autour de l"état d"équilibre(Xe;e)Pour obtenir le modèle d"état petit signaux du

hacheur, nous allons linéariser le modèle d"état moyen autour de l"état d"équilibre(Xe;e). Remarquons tout

d"abord que le modèle d"état moyen peut s"écrire sous la forme : _x=f(hxiT;huiT) On utilise alors un développement limité de Taylor à l"ordre 1 : _ ~x=@f@hxiTj(Xe;e)~x+@f@huiTj(Xe;e)~(6) Après un calcul immédiat, le système d"état linéarisé s"écrit : _ ~x= (A1e+A2(1e))~x+ (A1A2)Xe~(7) 7 Modélisation dynamique des convertisseurs DC/DC

Obtention des fonctions de transfertPour obtenir les fonctions de transfert~vs~et~il~, il faut à présent

définir une équation d"observation du typey=C~x, oùC=0 1pour obteniry= ~vsetC=1 0pour obteniry=~il. On a alors le modèle d"état suivant : (_~x= (A1e+A2(1e))~x+ (A1A2)Xe~ y=C~x Un calcul classique donne la fonction de transfert y~: y~= [pI(A1e+A2(1e))]1(A1A2)Xe(8) soit : ~vs~=E(1e)21LR(1e)2p1 +

LR(1e)2p+LC(1e)2p2et~il~=2ER(1e)31 +

RC2 p1 +

LR(1e)2p+LC(1e)2p2(9)

Remarque.Dans le cas du hacheur boost en conduction continue, on remarque que les différentes fonctions

de transfert dépendent de l"état d"équilibree. Ceci sera bien entendu à prendre en compte dans le calcul d"un

correcteur pour la régulation (compensation de pôle non possible par exemple).0510411031:51030102030

Temps (s)v

s(t)Figure7 -Simulation du démarrage du hacheur boost pour= 0:5etE= 10V. En bleu la tension v s(t)et en vert la tensionvs(t)obtenue par la méthode du modèle d"état moyen. Les valeurs des composants utilisés sontL= 100H,C= 10F,R= 10 . La fréquence de découpage utilisée estF= 100kHz.

3.2 Démarche générique

Ce que nous venons de voir au travers de cet exemple illustre la démarche générale pour l"étude dynamique

de structures de conversion DC/DC en conduction continue. En résumé, voici la démarche à suivre :

(a) Etablir le mo dèled"état p ourc hacundes états des de la commande. (b) En déduire le mo dèled"état instan tané. (c) A partir du mo dèled"état instan tané,en déduire le mo dèled"état mo yen. (d) Déterminer l"état d"équilibre du système.quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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