[PDF] Dérivation - Compléments Exercices Corrigés en vidéo avec le

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Derivation - Complements

Exercices

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jaicompris.com Calculer rapidement des derivees avec des quotients et des puissances Dans chaque cas, calculer la derivee de la fonction sur l'intervalle I indique : a)f(x) =5x42

34x223

et I=] 1;0[. b)f(t) =5(t2+ 1)3et I=R.Calculer la derivee de la fonctionfdenie sur ]0;+1[ parf(x) = 3 +2x 1x 2 2 .Calculer la derivee de la fonctionfdenie sur ] 1;1[ parf(t) =t+ 2t1 2

.Calculer la derivee de la fonctionfdenie surRparf(x) = (2x3)41x27.Calculer des derivees avec des racines

On considere la fonctionfdenie sur [1;2] parf(x) =px2+x+ 2. 1.

Justier que fest derivable sur ]1;2[.

2.

P ourtout xde ]1;2[, calculerf0(x).Derivee deun

On rappelle que :

Siuetvsont deux fonctions derivables sur un intervalle I alorsla fonctionuvest derivable sur I (uv)0=u0v+uv0Soituune fonction derivable sur I. 1. D emontrerque u2est derivable sur I et determineru20. 2. D emontrerque u3est derivable sur I et determineru30. 3.

Quelles conjectures p eut-onfaire ?

4. D emontrerces conjectures. Probleme de derivabilite avec des racines

1) Soitfla fonction denie sur [0;+1[ parf(x) =px. Justier quefn'est pas derivable en 0.

2) Soitgla fonction denie sur [0;+1[ parf(x) =xpx. Justier quegest derivable en 0.Variations d'une famille de fonctions

Pour tout entiern1, on note la fonctionfndenie surRparf(x) = (x22x)n. 1. A l'aide de v otrecalculatr ice,conjecturer les v ariationsdes fonctions fnselon les valeurs den. 2. D emontrerv otreconjecture. Points xes d'une famille de fonctions Pour tout entiern1, on note la fonctionfndenie surRparf(x) = (x22x)n.

Demontrer que toutes les courbes representatives des fonctionsfnpassent par 4 points xes, c'est a dire dont les coordonnees

ne dependent pas den. Donner les coordonnees de ces 4 points xes.Tangente passant par un point donne

On considere la fonctionfdenieRparf(x) =px

2+ 3 et on noteCsa courbe representative.

1) Justier quefest derivable surRet calculer sa derivee.

2) Existe-t-il une tangente aCpassant par le point A(1;0)? Justier.1

Etude des variations d'une fonction

On considere la fonctionfdenie surRnf0gparf(x) =(1x)3x 2. Etudier les variations de la fonctionf.Tangente parallele a une droite donnee On considere la fonctionfdenie surRparf(x) =(1x)31 +x2. On noteCla courbe representative def. Peut-on trouver des points deCou la tangente aCest parallele a la droite d'equationy=x+ 4? Dans l'armative, preciser le nombre de ces points et leur abscisse.

Pour traiter le probleme, on a obtenu a l'aide d'un logiciel de calcul formel, le resultat suivant que vous pouvez utiliser :Developper

3(1x)2(1 +x2)2x(1x)3(1 +x2)2!

x4+ 4x3x

4+ 2x2+ 1Tangente commune a 2 courbes

Soitfla fonction denie surRparf(x) =x2etgla fonction denie surRnf0gparg(x) =1x

L'objectif de ce probleme est de montrer que les courbes defetgadmettent une tangente commune dont on

donnera une equation. On noteraCfla courbe defetCgla courbe deg, representees ci-dessous : 1.

R esoudrele probl emegraphiquemen t.

2. D eterminerune equationde la tangen te aCfau point d'abscissea. 3. D eterminerune equationde la tangen te aCgau point d'abscisseb. 4. D emontrerque l' existenced'une tangen tecomm unerevien t a resoudre :8 :2a=1b 2 a2=2b 5. Justier qu el' equationx3=8 admet une unique solution surR.

Donner la valeur de cette solution.

6.

Conclure. Distance d'un point a une courbe

Soitfla fonction denie sur [0;+1[ parf(x) =px. On noteCfla courbe def.

Soit M un point deCfet A le point de coordonnees (2;0).1) A l'aide du graphique ci-dessus, Determiner graphiquement les

coordonnees de M pour que la distance AM soit minimale.

Le but de la question 2) est de determiner par le calcul les coordonnees de M pour que la distance AM soit

minimale.

2) On notexl'abscisse de M et on poseg(x) =AM.

a) Montrer que pour toutx0,g(x) =px

23x+ 4.

b) Justier quegest denie et derivable sur [0;+1[ et determinerg0(x). c) En deduire les variations deg. d) Conclure. 2

3) On suppose maintenant que le point M a pour abscisse

32
a) On appelle T la tangente aCfen M. Determiner le coecient directeur de T. b) Tracer T sur le graphique ou est traceeCf. Quelle conjecture peut-on faire concernant T et la droite (AM)? c) Demontrer cette conjecture.Reconna^tre les courbes defetf0graphiquement

On a trace deux courbesC1etC2.

L'une est la courbe d'une fonctionfderivable surR. L'autre est la courbe de sa deriveef0.1) Associer a chaque courbe, la fonction qui lui correspond en justiant.

2) A l'aide du graphique, determiner une equation de la tangente a la courbe defau point d'abscisse 1.3

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