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Transformation de Fourier

2ou ( )i px(f)(p) F(p) f x e dxπ+∞-

-∞=∫F f (f) F(p)=F ( ) ( )1 2af t bf t+ ( ) ( )1 2aF p bF p+ ( ) avec 0f at a≠ 1 pFa a 2 (théorème du retard) i at f t a e f tπ 2( ) i pae F p F p a 2 ( ) f t i t f tπ 2 ( ) i pF p F P (Produit de convolution de Fourier) ( ) ( ) f t g t f x g t x dx f t g t ( ) ( )F p G p× ( )* ( )F p G p

Théorème de Parseval

2 2( ) ( )

f x dx F p dp f fonction périodique de période T

On note

0f la restriction

de fà []0 0, t t T+

On démontre que

( )n nnF p c pTδ ( )0( ) ( )* nf t f t t nTδ Où

δ est l'impulsion de Dirac

( )et ( ) ng t t nTδ

Est appelé peigne de Dirac

De période T

01avec

nnc FT T ()0 0F f=F

On démontre que l'on peut

aussi écrire

01( ) ( )

n nF p F p pT Tδ

Exercices sur la transformation de Fourier

Exercice n° 1

( ) 1 , 1 0

Soit 1 , 0 1

0 , 1

f x x x x x

Cette fonction est appelée fonction triangle

1°) Donner le graphe de f.

2°) Calculer la transformée de Fourier de f notée F.

3°) En déduire

4 4

0sin.xdxx

Solution

1°) On obtient

Ainsi, l'on comprend mieux pourquoi cette fonction est appelée fonction triangle. f0(t)

0 1 2 t

2°) On a

0 12 2 2

1 0( ) ( ) (1 ) (1 )ip x ip x ip xF p f x e dx x e dx x e dxπ π π+∞- - -

Or (Intégration par parties)

02 2012

10 1 (1 ) (1 )2 2 ip x ip x ip xe ex e dx x dxip ip 002 2 1 1 (1 ) 1

2 2 2ip x

ip xx i eep ip ipπ

0 02 2

2 2 1 1

1(1 )2 4ip x ip xix e ep pπ π

( )2

2 21(1 0) 12 4ipiep pπ

2

2 2 2 21

2 4 4ipi e

p p pπ

De même

12 2112

00 0 (1 ) (1 )2 2 ip x ip x ip xe ex e dx x dxip ip 112
2 0 0 (1 ) 1

2 2 2ip x

ip xx i eep ip ipπ

1 12 2

2 2 0 0

1(1 )2 4ip x ip xix e ep pπ π

( )2

2 21(0 1) 12 4

ipiep pπ 2

2 2 2 21

2 4 4ipi e

p p pπ

Ainsi en sommant

2 2

2 2 2 2

2cos22 1( )4 4ip ip

p

F p e ep pπ π

== - +14243 d'où 2 2 2

1 (1 2sin ( ))

1( ) 1 cos22

p

F p pp

= -1442443 2

2 2sin ( )( )pF ppπ

Conclusion

2

2 2sin ( )( )pF ppπ

3°) Il semble évident de songer à utiliser le théorème de Parseval

On a

2 2( ) ( )F p dp f x dx

42

4sin ( )d'où ( )pdp f x dxp

Mais

0 12 2 2

1 0( ) 1 1f x dx x dx x dx

0 13 3

1 01 11 1 2.3 3 3 3 3

x x 4

4sin ( ) 2donc ,3

pdppπ

Posons

d'oùx pπ= 4

4sin 2 3

x dx xπ Car les bornes ne changent pas puisque quand p tend vers ∞, x aussi et de même en - ∞ 4

4sin 2soit 3

xdx x 4

4sinmais est paire d'oùxx

x→ 4 4

0sin 3

xdxxπ+∞=∫

Exercice n° 2

Soit f0 la fonction triangle donnée dans l'exercice N° 1 On considère f la fonction de période 2 dont la restriction à [] 1, 1-est f0, appelée signal triangulaire.

1° a) Exprimer f à l'aide de l'impulsion de Dirac.

b) Donner une interprétation graphique.

2° a) En déduire l'expression de

F, la transformée de Fourier de f.

b) Donner une interprétation graphique.

Solution

1° a) D'après la table des transformées de Fourier,

( )0( ) ( )* avec T = 2. nf t f t t nTδ Soit ( )0 ( ) ( )* 2 nf t f t t nδ b) Donner une interprétation graphique.

Représentons f

0.

Représentons

( )2 nt nδ -∑soit g cette fonction. ()2 0 sauf si 2t n t nδ- = = Ainsi ( ) 0g t= sauf quand t est un entier pair où ( ) 1g t= d'où la représentation graphique suivante f0(t)

0 1 2 t

0 1 2 t

g(t) 1

Ainsi on a de manière graphique

Ou encore

Fonction triangle

* peigne de Dirac = signal triangulaire de période 2

2° a) On a vu dans l'exercice N° 1

2

0sin( )pF ppπ

Donc d'après la table des transformées de Fourier (transformées d'une fonction périodique)

( )n nnF p c pTδ Avec 01 nnc FT T 0 donc ( ) 2

1 avec .2 2

n n nnF P c p n c Fδ b) Comme il est stipulé dans la table, on peut écrire :

0 1 2 t

f(t) f0(t)

0 1 2 t 0 1 2 t

g(t) 1

01( ) ( ) 2 2n

nF p F p pδ Interprétons graphiquement : on a le graphe de F 0

Ensuite, donnons le graphe de la fonction

1( ) où ( ) 2 2n

np h p h p pδ h est un peigne de Dirac de période 1 2

D'où

Désormais explicitons 01( ) ( ) ( )2F p F p h p= × ( ) 0h p= sauf si p est un entier divisé par 2, c'est-à-dire 2 np=tr Ainsi ( ) 0F p=sauf si p = n/2 auquel cas 01( ) 2 2

On peut résumer le travail effectué par

x = F

0(p) 1/2h(p) F(p)

Ou encore par

Transformation de f

0 x peigne de Dirac = transformée du

De période 1 signal triangulaire

à un coefficient

1/2 près

Il faut retenir de cet exemple que pour calculer la transformée de Fourier d'une fonction périodique,

comme avec la transformation de Laplace, il suffit de calculer la transformée de Fourier de la fonction

sur une période, ensuite via une multiplication par un peigne de Dirac, on en déduit directement sans

calcul, la transformée cherchée.

Les courbes et tracés avec Python

Le signal triangulaire

Sa transformée de Fourier (On considère qu'on a ici aussi la partie positive de la TFD bilatérale)

Fonction triangle et peigne de Dirac

Convolution : Fonction triangle par peigne de Dirac

Transformée de Fourier de la fonction triangle

Peigne de Dirac dans le domaine fréquentiel de période 1/2 Produit : Transformée de Fourier de la fonction triangle par peigne de Dirac

Comparaison

Analyse spectrale unilatérale avec Python

Le spectre unilatéral n'est pas la version tronquée du spectre bilatéral :

les harmoniques ont le double d'amplitude par rapport à ce dernier. Il faut voir que le spectre bilatéral

d'un signal sinusoïdal est donné par les deux fréquences : la positive et la négative, et leur amplitude

est la moitié de celle de la fréquence du spectre unilatéral

Avec LatisPro

Avec Regressi

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