Généralités sur les fonctions:Exercices corrigés
Partie B. Dresser le tableau de variations de la fonction k en s'aidant de la représentation graphique donnée. Exercice 2. Seconde/Fonctions-Généralités/exo-024
Généralités sur les fonctions numériques dune variable réelle
Fonctions de plusieurs variables a) Dérivées partielles et différentielles b) Calcul incertitude. 3. Exercices corrigés. Page 3. I. Définitions. ➢. Fonction d
1sex Exercices avec solutions FONCTIONS - Généralités PROF
Exercice 12 : Soit f et g les fonctions numériques tel que: ( ). f x x. = et ( ) 1. g x x. = Comparer les fonctions f et g. Exercice 13 : Soient les deux.
Seconde générale - Généralités des fonctions - Exercices - Devoirs
Discuter suivant les valeurs du réel m le nombre de solutions de l'équation : f (x)=m. 2/5. Généralités des fonctions – Exercices - Devoirs.
CHAPITRE 3 GENERALITES SUR LES FONCTIONS NUMERIQUES
Essebil Au Bac 7D Généralités sur les fonctions numériques Horma Hamoud 106. III. ENONCES DES EXERCICES CORRIGES. Exercice 1. Calculer les limites suivantes
exercices corrigés sur letude des fonctions
Généralités. 1-1 : Comme une interro… 1. La courbe représentative d'une Exercices corrigés Fonctions. 3-20 : Rationnelle 5 (c). On considère la fonction. 4. 2.
FONCTIONS - Généralités
a)Les fonctions numériques sont le plus souvent
Série dexercices no2 Les fonctions Exercice 1 : images et
1. Calculer le domaine de définition des fonctions f définies de la façon suivante : a. f(x) = 5x + 4.
Exercices de mathématiques - Exo7
e2ix = 1. Correction ▽. Vidéo □. [000108]. Exercice 6. Dans R2 on définit les fonctions suivantes sont les fonctions caractéristiques d'ensembles que l'on ...
Chapitre 1: Généralités sur les fonctions
Exercice 1.4: Soit la fonction f définie par f(x) = 2x2 + 5x – 7. a) Déterminer les abscisses où la
Généralités sur les fonctions numériques dune variable réelle
Fonctions de plusieurs variables a) Dérivées partielles et différentielles b) Calcul incertitude. 3. Exercices corrigés. Cours 1
exercices corrigés sur letude des fonctions
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Seconde générale - Généralités des fonctions - Exercices - Devoirs
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Soit une fonction numérique à variable réel le graphe de la fonction est Exercice : Démontrer par récurrence sur la propriété précédente.
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Écrire une fonction somme avec un argument « tuple de longueur variable » qui calcule la somme des nombres contenus dans le tuple. Tester cette fonction par des
de la 1`ere S `a la TS. Chapitre 4 : Études de fonctions Exercice n?1
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Mathématiques pour léconomie et la gestion
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Cours danalyse 1 Licence 1er semestre
4.2 Propriétés de la limite d'une fonction . 7 Corrigé des exercices ... valeur approchée (utilisée dans le calcul numérique) d'un nombre réel ...
Exercice n°1:
On donne la fonctionfd´efinie surRpar :f(x) =-x4+ 2x2+ 1. On appelle Γ la courbe repr´esentative defdans un rep`ere orthonorm´e (O;?ı,??) . 1.´Etudier la parit´e def.
2. D´eterminer les limites defaux bornes de son domaine de d´efinition.
3. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.
4. Dresser le tableau de variations def.
5. Tracer la courbe repr´esentative def.
Corrig´e
Exercice n°2:
Soit la fonction d´efinie surR- {1}, parf(x) =x2+x+ 1x-1. On note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.1. Montrer que (Cf) admet un centre de sym´etrie en un point d"abscisse 1.
2. D´eterminer les limites defaux bornes de son domaine de d´efinition. Que peut-on
en d´eduire pour (Cf)?3. D´eterminer trois r´eelsa, betctels que :f(x) =ax+b+x
x-1.4. En d´eduire l"existence d"une asymptote oblique pour (Cf) en +∞.
5. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.
6. Dresser le tableau de variation def.
7. Tracer (Cf).
Corrig´e
Exercice n°3:
On donne la fonctionfd´efinie parf(x) =3x2+ 2x-3, et on note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.1. D´eterminer le domaine de d´efinitionDfde la fonctionf.
2. Montrer que la droite d"´equationx=-1 est axe de sym´etrie de (Cf).
Dans la suite de l"exercice, la fonctionfsera ´etudi´ee sur [-1;1[?]1;+∞[.3. D´eterminer les limites en 1 et la limite en +∞. Que peut-on en d´eduire pour (Cf)?
4. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.
5. Dresser le tableau de variations def.
6. Tracer (Cf).
Corrig´e
L.BILLOT 1DDL
de la 1`ereS `a la TS. Chapitre 4 :´Etudes de fonctionsExercice n°4:
On donne la fonctionfd´efinie parf(x) =x2x2-2x+ 2, et on note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.1. D´eterminer le domaine de d´efinition def.
2. D´eterminer les limites defaux bornes du domaine, en d´eduire l"existence d"une
asymptote horizontale (Δ) pour (Cf). 3. ´Etudier les positions relatives de (Cf)et de (Δ).4. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.
5. Dresser le tableau de variations def.
6. Tracer (Cf).
Corrig´e
Exercice n°5:
On donne la fonctionfd´efinie parf(x) =2x3+ 272x2et on note (Cf) sa courbe repr´e- sentative dans un rep`ere orthonorm´e.1. D´eterminer l"ensemble de d´efinitionDfdef.
2. D´eterminer les limites defaux bornes de son ensemble de d´efinition.
3. Montrer que la droite d"´equationy=xest asymptote oblique `a la courbe en +∞
et en-∞.4. (a) Justifier l"´equivalence :x?3?x3?27.
(b) Calculer la fonction d´eriv´ee def. (c)´Etudier le signe def?.
5. Dresser le tableau de variations def.
6. Tracer la courbe repr´esentative def.
Corrig´e
Exercice n°6:
On donne la fonctionfd´efinie surRparf(x) = cos2x-2cosxet on note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.1. (a) Montrer quefest 2π-p´eriodique.
(b) Montrer quefest paire.2. (a) Montrer que la fonction d´eriv´ee defs"´ecrit :f?(x) = 2sinx(1-2cosx).
(b)´Etudier le signe def?sur [0;π].
3. Dresser le tableau de variations defsur [0;π].
4. Tracer (Cf) sur un intervalle de longueur 4π.
Corrig´e
L.BILLOT 2DDL
de la 1`ereS `a la TS. Chapitre 4 :´Etudes de fonctionsExercice n°7:
On donne la fonctionfd´efinie surRparf(x) =sinx1-sinxet on note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.1. Montrer quefest d´efinie ssix?=π
2+ 2kπaveck?Z.
2. Montrer quefest 2π-p´eriodique.
Pour la suite de l"exercice, on ´etudiera la fonction sur l"intervalle? -3π2;π2?
3. D´eterminer les limites defen :
(a)-3π2par valeurs sup´erieures,
(b)2par valeurs inf´erieures,
4. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.
5. Dresser le tableau de variations def
6. Tracer (Cf) sur?
-3π2;5π2?
Corrig´e
Exercice n°8:
On donne la fonctionfd´efinie surRparx2-|x|et on note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.1. Montrer quefest paire.
2. Donner l"expression defsans valeur absolue surR+puis surR-.
3.´Etudier la d´erivabilit´e defen 0.
4.´Etudier la fonctionfsurR+.
5. Tracer (Cf) surR.
Corrig´e
Exercice n°9:
On donne la fonctionfd´efinie surRparx-?|x-1|et on note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.1. Donner l"expression defsans valeur absolue sur [1;∞[ et sur ]- ∞;1].
2.´Etudier la d´erivabilit´e defen 1.
3.´Etudier la fonction sur ]- ∞;1].
4.´Etudier la fonction sur [1;+∞[.
5. Dresser le tableau de variations defsurR.
6. Tracer la courbe (Cf).
Corrig´e
L.BILLOT 3DDL
de la 1`ereS `a la TS. Chapitre 4 :´Etudes de fonctions D´efinition :soitxun nombre r´eel, on appelle partie enti`ere dexet on noteE(x), le plus grand entier inf´erieur ou ´egal `ax.Exemples :
E(5,4) = 5E(⎷
2) = 1E(4) = 4E(-2,5) =-3.
Exercice n°10:
Tracer la courbe repr´esentative de la fonction partie enti`ere :x?→E(x) sur l"intervalle [-3,3[.Corrig´e
Exercice n°11:
On d´efinit surRla fonctionfpar :f(x) =x-E(x).
1. Montrer queEest p´eriodique de p´eriode 1.
2. Donner l"expression defsur [0,1[ puis sur [1,2[.
3. Tracer la courbe repr´esentative defsur [-3,3[.
Corrig´e
L.BILLOT 4DDL
de la 1`ereS `a la TS. Chapitre 4 :´Etudes de fonctionsExercice n°1:
1. Pour toutx?R,-x?R. (On peut aussi dire que le domaine de d´efinition est
centr´e en 0.) soitx?R,f(-x) =-(-x)4+2(-x)2+1 =-x4+2x2+1 =f(x), doncfest paire2. lim
x→+∞f(x) = limx→+∞-x4=-∞et par sym´etrie : limx→-∞f(x) =-∞.
3.fest d´erivable surRet pour toutx?R, on a :f?(x) =-4x3+ 4x= 4x(1-x2).
D"une part 4x?0?x?0, d"autre part 1-x2?0?x?[-1;1] (r`egle du signe du trinˆome), ce qui donne : x0 1 +∞ 4x0++1-x2+0-
f?(x)0+0-4.x0 1 +∞
f?(x)0+0- 2 f(x)1-∞
5. 123-1 -2 -3 -4 -51 2 3 4-1-2-3-4-5 Dans un graphique doivent apparaˆıtre toutes les droites dont il a ´et´e question dans le sujet, auquel s"ajoutent les tangentes horizontales.
Retour
L.BILLOT 5DDL
de la 1`ereS `a la TS. Chapitre 4 :´Etudes de fonctionsExercice n°2:
1. Le domaine de d´efinition est centr´e en 1, de plus pour touth?= 0, on a :
12[f(1 +h) +f(1-h)] =12?
(1 +h)2+ (1 +h) + 11 +h-1+(1-h)2+ (1-h) + 11-h-1? 1 2?3 + 3h+h2h+3-3h+h2-h?
1 2?3 + 3h+h2-3 + 2h-h2h?
=12×6hh= 3 Donc le point Ω de coordonn´ees (1;3) est centre de sym´etriede (Cf).2.limx→+∞f(x) = limx→+∞x
2 x= limx→+∞x= +∞et par sym´etrie, limx→-∞f(x) =-∞.limx→1(x2+x+ 1) = 3 et lim
x >→1x-1 = 0+, donc lim x >→1f(x) = +∞, et par sym´etrie : lim x <→1f(x) =-∞.3. Pour toutx?= 1,ax+b+c
x-1=(ax+b)(x-1) +cx-1=ax2+ (b-a)x+c-bx-1, en identifiant le num´erateur de cette fraction avec celui def(x), on obtient :???a= 1 b-a= 1 c-b= 1????a= 1 b= 2 c= 3, doncf(x) =x+ 2 +3 x-1.4. lim
x→+∞3 x-1= 0, donc limx→+∞(f(x)-(x+2)) = 0 et la droite (d) d"´equationy=x+2 est asymptote `a la courbe en +∞. Puisque Ω?(d), nous pouvons d´eduire que (d) est aussi asymptote `a (Cf) en-∞.5. Pourx?= 1,fest d´erivable comme quotient de deux polynˆomes, et :
f ?(x) =(2x+ 1)(x-1)-(x2+x+ 1) (x-1)2=x2-2x-2(x-1)2. Pour toutx?= 1,(x-1)2>0, doncf?(x) est du signe dex2-2x-2, polynˆome ayant pour racines 1-⎷3 et 1 +⎷3 qui, d"apr`es la r`egle du signe du trinˆome est
positif ssix?]- ∞;1-⎷3[?]1 +⎷3;+∞[.
6. x-∞1-⎷3 1 1 +⎷3 +∞ f?(x)+0--0+3-2⎷3+∞+∞
f(x) -∞ -∞3 + 2⎷3Remarque : il ´etait possible de ne faire que
la moiti´e du tableau de variations.2468 -2 -4 -62 4 6-2-4-6Retour
L.BILLOT 6DDL
de la 1`ereS `a la TS. Chapitre 4 :´Etudes de fonctionsExercice n°3:
1.fest d´efinie ssix2+ 2x-3?= 0 ssix?= 1 etx?=-3, doncDf=R- {-3;1}.
2.Dfest sym´etrique par rapport `a 1, et pour touth?=±2, on a :
f(-1 +h) =3 (-1 +h)2+ 2(-1 +h)-3=3h2-4, etf(1 +h) =3 (1 +h)2+ 2(1 +h)-3=3h2-4. Doncf(-1+h) =f(-1-h) et la droite d"´equationx=-1 est axe de sym´etrie de (Cf).3.lim
x <→1x2+ 2x-3 = 0-, donc lim x <→1f(x) =-∞, d"autre part :lim x >→1x2+ 2x-3 = 0+, donc lim x >→1f(x) = +∞. (Cf) admet une asymptote verticale d"´equationx= 1.Remarque : Le signe (0
+ou 0-) est facile `a d´eterminer ici, cela serait plus com- pliqu´e avec par exemple :x2-2x.limx→+∞x2+ 2x-3 = +∞, donc limx→+∞f(x) = 0, (Cf) admet une asymptote hori-
zontale d"´equationy= 0 en +∞.4.fest d´erivable surDf, et pour toutx? Df:f?(x) =-3(2x+ 2)
(x2+ 2x-3)2. Le d´enominateur ´etant strictement positif,f?(x)?0? -3(2x+ 2)?0?x?-1. 5. x-1 1 +∞ f?(x)0-- -34+∞ f(x) -∞0 2 -22-2-4-6Retour
L.BILLOT 7DDL
de la 1`ereS `a la TS. Chapitre 4 :´Etudes de fonctionsExercice n°4:
1. Le polynˆomex2-2x+ 2 a pour discriminant Δ =-4<0, donc ce polynˆome ne
s"annule pas surRet le domaine de d´efinition defestR.2. lim
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